Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (2)


1.  Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru hadir.” adalah …

A. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir.

B. Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.

C. Beberapa siswa tidak hadir dan semua guru tidak hadir.

D. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.

E. Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir.

Pembahasan

Misal :

p = semua siswa hadir

q = beberapa guru hadir

INGAT : p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q

Jadi, pernyataan di atas ekuivalen dengan “Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir.”

Jawaban : A

2.  Diketahui vektor \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\p\\3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} -1\\2\\-3 \end{pmatrix} dan \vec{c} = \begin{pmatrix} 4\\7\\0 \end{pmatrix}. Apabila \vec{a} tegak lurus vektor \vec{b}, hasil dari 2\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = \ldots

A. \begin{pmatrix} 7\\-15\\0 \end{pmatrix}

B. \begin{pmatrix} -3\\-15\\-6 \end{pmatrix}

C. \begin{pmatrix} -3\\5\\3 \end{pmatrix}

D. \begin{pmatrix} 7\\5\\-6 \end{pmatrix}

E. \begin{pmatrix} -3\\-15\\0 \end{pmatrix}

Pembahasan

\vec{a} tegak lurus vektor \vec{b}, artinya \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

\begin{pmatrix} 1\\p\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\2\\-3 \end{pmatrix} = 0

-1+2p-9 = 0

2p=10 \Rightarrow p=5

2\vec{a}+\vec{b}-\vec{c} = 2\begin{pmatrix} 1\\5\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\2\\-3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 4\\7\\0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 2-1-4\\10+2-7\\6-3+0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -3\\5\\3 \end{pmatrix}

Jawaban : C

3.  Diketahui vektor-vektor \vec{u} = 9i+aj+bk dan \vec{v} = ai-bj+ak. Sudut antara vektor \vec{u} dan vektor \vec{v} adalah \theta dengan \cos \theta = \dfrac{6}{11}. Proyeksi \vec{u} pada \vec{v} adalah \vec{p}=4i-2j+4k. Nilai b = \ldots

A. \sqrt{2}

B. 2

C. 2\sqrt{2}

D. 4

E. 4\sqrt{2}

Pembahasan

Proy_u v = \dfrac{\vec{u}\vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}

= n \vec{v} untuk n suatu bilangan rasional

(4,-2,4) = n(a,-b,a)

Diperoleh,

4=na \Rightarrow n = \dfrac{4}{a}

-2=-nb \Rightarrow n = \dfrac{2}{b}

Selanjutnya \dfrac{2}{b} = \dfrac{4}{a}. Jadi, a=2b.

\cos \theta = \dfrac{\vec{u}\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{(9,a,b) (a,-b,a)}{\sqrt{9^2+a^2+b^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2}}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{(9,2b,b) (2b,-b,2b)}{\sqrt{9^2+(2b)^2+b^2} \sqrt{(2b)^2+b^2+(2b)^2}}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{18b-2b^2+2b^2}{\sqrt{81+4b^2+b^2} \sqrt{4b^2+b^2+4b^2}}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{18b}{\sqrt{81+5b^2} \sqrt{9b^2}}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{18b}{\sqrt{81+5b^2} 3b}

\dfrac{6}{11} = \dfrac{6}{\sqrt{81+5b^2}}

11 = \sqrt{81+5b^2} kuadratkan kedua ruas

121 = 81+5b^2

40 = 5b^2

b^2 = 8

b = 2\sqrt{2}

Jawaban : C

4.  Diketahui \vec{p} = \begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix}, \vec{q} = \begin{pmatrix} 1\\2x\\2 \end{pmatrix}, dan proyeksi skalar vektor \vec{q} pada \vec{p} adalah 1\dfrac{1}{7}. Nilai x=\ldots

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan

proyeksi skalar vektor \vec{q} pada \vec{p} adalah  \dfrac{\vec{q} \vec{p}}{|\vec{p}|}

1\dfrac{1}{7} = \dfrac{\begin{pmatrix} 1\\2x\\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\3\\6 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}

\dfrac{8}{7} = \dfrac{2+6x+12}{\sqrt{4+9+36}}

\dfrac{8}{7} = \dfrac{14+6x}{\sqrt{49}}

\dfrac{8}{7} = \dfrac{14+6x}{7}

8 = 14+6x

6x = -6

x = -1

Jawaban : B

5.  Penyelesaian pertidaksamaan ^3\log x \cdot ^{1-2x}\log 9 > 2- ^{1-2x}\log 9 adalah …

A. 0 < x < \dfrac{1}{5}

B. 0 < x < \dfrac{1}{2}

C. 0 < x < \dfrac{2}{5}

D. \dfrac{1}{5} < x < \dfrac{1}{2}

E. \dfrac{2}{5} < x < \dfrac{1}{2}

Pembahasan

^3\log x \cdot ^{1-2x}\log 9 > 2- ^{1-2x}\log 9

^{1-2x}\log 3^2 \cdot ^3\log x > 2- ^{1-2x}\log 3^2

2 \cdot ^{1-2x}\log 3 \cdot ^3\log x > 2- 2 \cdot ^{1-2x}\log 3

2 \cdot ^{1-2x}\log x > 2- 2 ^{1-2x}\log 3

4 \cdot ^{1-2x}\log x > 2

^{1-2x}\log x > \dfrac{1}{2}

x > (1-2x)^ {\frac{1}{2}} (kuadratkan kedua ruas)

x^2 > 1-2x

x^2+2x-1 > 0

x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}

= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}

= -1 \pm \sqrt{2}

Jawaban :

6.  Persamaan bayangan lingkaran x^2+y^2=4 bila dicerminkan terhadap garis x=2 dan dilanjutkan dengan translasi \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} adalah …

A. x^2+y^2-2x-8y+13=0

B. x^2+y^2+2x-8y+13=0

C. x^2+y^2-2x+8y+13=0

D. x^2+y^2+2x+8y+13=0

E. x^2+y^2+2x-8y+13=0

Pembahasan

Pencerminan :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2)-x\\y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 4-x\\y \end{pmatrix}

Trasnlasi :

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4-x\\y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1-x\\y+4 \end{pmatrix}

Hasil transformasi :

x''^2+y''^2=4

(1-x)^2+(y+4)^2=4

x^2-2x+1 + y^2+8y+16 = 4

x^2+y^2-2x+8y+13 = 0

Jawaban : C

7.  Himpunan penyelesaian dari 9^x-3^{x+1}>54 adalah …

A. \{ x | x > 2, x \in R \}

B. \{ x | x < -6, x \in R \}

C. \{ x | x > 4, x \in R \}

D. \{ x | x < -3, x \in R \}

E. \{ x | x > 9, x \in R \}

Pembahasan

9^x-3^{x+1}>54

(3^2)^x-3.3^{x}>54

(3^x)^2-3.3^{x}-54 > 0

misal m=3^x, diperoleh

m^2-3m-54 > 0

(m-9)(m+6) > 0

m=9 atau m=-6

Untuk m=9

3^x=3^2

x=2

Untuk m=-6

3^x = -6

Tidak ada bilangan x yang memenuhi persamaan di atas.

Jadi, diperoleh x>2.

Jawaban : A

8.  Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang potong-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang tali terpendek 6 cm dan potongan tali terpanjang 96 cm, maka panjang tali semula adalah …

A. 96 cm

B. 185 cm

C. 186 cm

D. 191 cm

E. 192 cm

Pembahasan

Panjang tali terpendek = a = 6~cm

Panjang tali terpanjang = u_5 = ar^4 = 96~cm

Sehinga diperoleh

6r^4 = 96

\Leftrightarrow r^4 = 16

\Leftrightarrow r = 2

Panjang tali semula adalah S_5.

S_n = \dfrac{ar^n}{(r-1)}

S_5 = \dfrac{ar^5}{(r-1)}

= \dfrac{6(2)^5}{(2-1)}

= 6(32) = 192

Jawaban : E

9.  Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari di depannya. Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukkan tersebut adalah …

A. 1.200 kursi

B. 800 kursi

C. 720 kursi

D. 600 kursi

E. 300 kursi

Pembahasan

Soal ini merupakan salah satu aplikasi dari Deret Artimatika, dengan diketahui suku awal a=20, beda b=4 dan n=15. Yang ditanya adalah S_{15}.

S_{n} = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{15} = \dfrac{15}{2}(2(20)+(15-1)4)

= \dfrac{15}{2}(2(20)+(14)4)

= 15(20+(14)2)

= 15(48) = 720

Jawaban : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s