Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)


1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke CT adalah …

A. 5\sqrt{3}~cm

B. 6\sqrt{2}~cm

C. 6\sqrt{3}~cm

D. 6\sqrt{6}~cm

E. 7\sqrt{3}~cm

Pembahasan

un_math_2014_21Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga ATC. Perhatikan.

AT = \sqrt{AE^2+ET^2}

= \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EG \right)^2}

= \sqrt{9^2+ \left( \dfrac{9}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{81+\dfrac{162}{4}}

= \sqrt{\dfrac{324}{4}+\dfrac{162}{4}}

= \sqrt{\dfrac{486}{4}}

= \sqrt{\dfrac{2.3.81}{4}}

= \dfrac{9}{2}\sqrt{6}

Dengan cara yang sama diperoleh CT = \dfrac{9}{2}\sqrt{6}. Jadi, segitiga ATC adalah segitiga sama kaki.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan AC sebagai alas, diperoleh tinggi segitiga tersebut adalah TO, Dimana panjang TO sama dengan panjang sisi kubus yaitu 9 cm.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan CT sebagai alas, diperoleh

\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot TO = \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AP

\dfrac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot 9 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \cdot AP

9\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \cdot AP

AP = \dfrac{9\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{6}}

= \dfrac{18\sqrt{2}}{\sqrt{6}}

= \dfrac{18\sqrt{12}}{6}

= 3\sqrt{12}

= 6\sqrt{3}

Jawaban : C

2.  Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} y&-3\\ 5&z \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix}. Jika B^T adalah trasnpose dari matriks B, dan A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}, maka nilai w+x+y+z adalah …

A. 8

B. 9

C. 11

D. 14

E. 17

Pembahasan

A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y&5\\ -3&z \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3+y-5&w+5-5\\ x-3-5&-1+z-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} y-2&w\\ x-8&+z-11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

Diperoleh,

y-2 = \Leftrightarrow y=2

w = 4

x-8 = -3 \Leftrightarrow x=5

z-11 = -5 \Leftrightarrow z=6

Jadi, w+x+y+z = 4+5+2+6 = 17

Jawaban : E

3.  Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 8 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah \alpha. Nlai \sin \alpha = \ldots

A. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. \dfrac{3}{4} \sqrt{3}

Pembahasan

un_math_2014_23Dalam menyelesaikan soal ini, pertama buat segitiga siku-siku yang melewati garis AE dan bidang AFH, yaitu segitiga AEO yang siku-siku di titik E, dimana garis EO adalah setengah diagonal EG. Jadi, sudut antara AE dan AFH adalah \angle EAO. Perhatikan

EO = \dfrac{1}{2} EG = 4\sqrt{2}

AO = \sqrt{EO^2 + AE^2}

= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 8^2}

= \sqrt{32+64}

= \sqrt{96}

= \sqrt{2.2.2.2.6} = 4\sqrt{6}

\sin \alpha = \dfrac{EO}{AO}

= \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}

= \dfrac{\sqrt{12}}{6}

= \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}

Jawaban : C

4.  Nilai dari \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \ldots

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

E. 1

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-(3x-1))

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-\sqrt{(3x-1)^2})

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-2}-\sqrt{9x^2-6x+1})

= \dfrac{6-(-6))}{2\sqrt{9}}

= \dfrac{12}{6} = 2

Jawaban : D

5.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \ldots

A. 16

B. 12

C. 8

D. 4

E. 2

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2\sin^2 4x)}{\sin 2x \tan 2x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 4x}{\sin 2x \tan 2x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 4x}{\sin x} \dfrac{\sin 4x}{\tan 2x}

= \left(\dfrac{8}{1}\right)\left(\dfrac{4}{2}\right) = 16

Jawaban : A

6.  Diagonal jajargenjang PQRS seperti gambar. Panjang diagonal PR = …un_math_2014_26

A. 5\sqrt{3}~cm

B. 6\sqrt{3}~cm

C. 7\sqrt{2}~cm

D. 7\sqrt{3}~cm

E. 8~cm

Pembahasan

Dalam menyelesiakan soal ini, akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Tapi sebelumnya, akan dicari terlebih dahulu sudut berhadapan lainnya, yaitu \angle PQR dan \angle PSR.

\angle PQR + \angle PSR + \angle SPQ + \angle SRQ = 360^0

\angle PQR + \angle PSR + 60^0 + 60^0 = 360^0

\angle PQR = \angle PSR = 120^0

PR^2 = PQ^2+QR^2-2(PQ)QR) \cos 120^0

= 6^2+6^2-2(6)(6) \left( -\dfrac{1}{2} \right)

= 6^2+6^2+6^2

= 3 \cdot 6^2

PR = 6\sqrt{3}

Jawaban : B

7.  Nilai dari \cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = \ldots

A. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

C. \dfrac{1}{2}

D. -\dfrac{1}{2}

E. -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Pembahasan

\cos \alpha-\cos \beta = -2 \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)

\sin \alpha-\sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)

\cos 145^0 + \cos 35^0 = -2 \cos \dfrac{1}{2}(145^0+35^0) \sin \dfrac{1}{2}(145^0-35^0)

= -2 \cos 90^0 \sin (-55^0)

= 0

\cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = 0-\cos 45^0 = -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Jawaban : E

8.  Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 \cos 3x^0 = 1 pada 0^0 \leq x \leq 180^0 adalah …

A. \{ 0, 20, 60 \}

B. \{ 0, 20, 100 \}

C. \{ 20, 60, 100 \}

D. \{ 20, 100, 140 \}

E. \{ 100, 140, 180 \}

Pembahasan

2 \cos 3x^0 = 1

\cos 3x^0 = \dfrac{1}{2}

3x^0 = 60^0, 300^0, 420^0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = \{ 20, 100, 140 \}

Jawaban : D

9.  Hasil dari \int 3x^2 \sqrt{(2x^3+5)}~dx = \ldots

A. \dfrac{3}{4}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

B. \dfrac{1}{2}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

C. \dfrac{2}{5}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

D. \dfrac{1}{3}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

E. \dfrac{6}{6}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

Pembahasan.

misal : u=2x^3+5

du=6x^2~dx \Rightarrow \dfrac{du}{2}=3x^2~dx

\int 3x^2\sqrt{2x^3+5} ~dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2}

= \dfrac{1}{3/2} u^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{2} + C

= \dfrac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

= \dfrac{1}{3} u \sqrt{u} + C

= \dfrac{1}{3} (2x^3+5) \sqrt{2x^3+5}+C

Jawaban : D

10.Hasil \int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2)~dx = \ldots

A. 12\dfrac{1}{4}

B. 8\dfrac{1}{4}

C. 7\dfrac{3}{4}

D. 4\dfrac{1}{4}

E. 3\dfrac{3}{4}

Pembahasan.

\int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2) ~dx = \left( \dfrac{1}{4}x^4 -2x^3 +4x^2 +2x \right)_{-1}^2

= \left( \dfrac{1}{4}2^4 -2(2)^3 +4(2)^2 +2(2) \right)- \left( \dfrac{1}{4}(-1)^4 -2(-1)^3 +4(-1)^2 +2(-1) \right)

= \left( 4-16+16+4 \right)- \left( \dfrac{1}{4}+2+4-2 \right)

= \dfrac{1}{4}+12

= 12\dfrac{1}{4}

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s