Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke CT adalah …

A. $5\sqrt{3}~cm$

B. $6\sqrt{2}~cm$

C. $6\sqrt{3}~cm$

D. $6\sqrt{6}~cm$

E. $7\sqrt{3}~cm$

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga ATC. Perhatikan.

$AT = \sqrt{AE^2+ET^2}$

$= \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EG \right)^2}$

$= \sqrt{9^2+ \left( \dfrac{9}{2}\sqrt{2} \right)^2}$

$= \sqrt{81+\dfrac{162}{4}}$

$= \sqrt{\dfrac{324}{4}+\dfrac{162}{4}}$

$= \sqrt{\dfrac{486}{4}}$

$= \sqrt{\dfrac{2.3.81}{4}}$

$= \dfrac{9}{2}\sqrt{6}$

Dengan cara yang sama diperoleh $CT = \dfrac{9}{2}\sqrt{6}$ . Jadi, segitiga ATC adalah segitiga sama kaki.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan AC sebagai alas, diperoleh tinggi segitiga tersebut adalah $TO$ , Dimana panjang $TO$ sama dengan panjang sisi kubus yaitu 9 cm.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan CT sebagai alas, diperoleh

$\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot TO = \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AP$

$\dfrac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot 9 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \cdot AP$

$9\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \cdot AP$

$AP = \dfrac{9\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{6}}$

$= \dfrac{18\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

$= \dfrac{18\sqrt{12}}{6}$

$= 3\sqrt{12}$

$= 6\sqrt{3}$

Jawaban : C

2. Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} y&-3\\ 5&z \end{pmatrix}$ , dan $C = \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix}$ . Jika $B^T$ adalah trasnpose dari matriks $B$ , dan $A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}$ , maka nilai $w+x+y+z$ adalah …

A. 8

B. 9

C. 11

D. 14

E. 17

Pembahasan

$A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y&5\\ -3&z \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3+y-5&w+5-5\\ x-3-5&-1+z-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} y-2&w\\ x-8&+z-11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}$

Diperoleh,

$y-2 = \Leftrightarrow y=2$

$w = 4$

$x-8 = -3 \Leftrightarrow x=5$

$z-11 = -5 \Leftrightarrow z=6$

Jadi, $w+x+y+z = 4+5+2+6 = 17$

Jawaban : E

3. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 8 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah $\alpha$ . Nlai $\sin \alpha = \ldots$

A. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

C. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

D. $\dfrac{2}{3} \sqrt{2}$

E. $\dfrac{3}{4} \sqrt{3}$

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, pertama buat segitiga siku-siku yang melewati garis AE dan bidang AFH, yaitu segitiga AEO yang siku-siku di titik E, dimana garis EO adalah setengah diagonal EG. Jadi, sudut antara AE dan AFH adalah $\angle EAO$ . Perhatikan

$EO = \dfrac{1}{2} EG = 4\sqrt{2}$

$AO = \sqrt{EO^2 + AE^2}$

$= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 8^2}$

$= \sqrt{32+64}$

$= \sqrt{96}$

$= \sqrt{2.2.2.2.6} = 4\sqrt{6}$

$\sin \alpha = \dfrac{EO}{AO}$

$= \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}$

$= \dfrac{\sqrt{12}}{6}$

$= \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$

Jawaban : C

4. Nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \ldots$

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

E. 1

Pembahasan

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-(3x-1))$

$= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-\sqrt{(3x-1)^2})$

$= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-2}-\sqrt{9x^2-6x+1})$

$= \dfrac{6-(-6))}{2\sqrt{9}}$

$= \dfrac{12}{6} = 2$

Jawaban : D

5. Nilai dari $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \ldots$

A. 16

B. 12

C. 8

D. 4

E. 2

Pembahasan

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2\sin^2 4x)}{\sin 2x \tan 2x}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 4x}{\sin 2x \tan 2x}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 4x}{\sin x} \dfrac{\sin 4x}{\tan 2x}$

$= \left(\dfrac{8}{1}\right)\left(\dfrac{4}{2}\right) = 16$

Jawaban : A

6. Diagonal jajargenjang PQRS seperti gambar. Panjang diagonal PR = …

A. $5\sqrt{3}~cm$

B. $6\sqrt{3}~cm$

C. $7\sqrt{2}~cm$

D. $7\sqrt{3}~cm$

E. $8~cm$

Pembahasan

Dalam menyelesiakan soal ini, akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Tapi sebelumnya, akan dicari terlebih dahulu sudut berhadapan lainnya, yaitu $\angle PQR$ dan $\angle PSR$ .

$\angle PQR + \angle PSR + \angle SPQ + \angle SRQ = 360^0$

$\angle PQR + \angle PSR + 60^0 + 60^0 = 360^0$

$\angle PQR = \angle PSR = 120^0$

$PR^2 = PQ^2+QR^2-2(PQ)QR) \cos 120^0$

$= 6^2+6^2-2(6)(6) \left( -\dfrac{1}{2} \right)$

$= 6^2+6^2+6^2$

$= 3 \cdot 6^2$

$PR = 6\sqrt{3}$

Jawaban : B

7. Nilai dari $\cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = \ldots$

A. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $-\dfrac{1}{2}$

E. $-\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

Pembahasan

$\cos \alpha-\cos \beta = -2 \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)$

$\sin \alpha-\sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)$

$\cos 145^0 + \cos 35^0 = -2 \cos \dfrac{1}{2}(145^0+35^0) \sin \dfrac{1}{2}(145^0-35^0)$

$= -2 \cos 90^0 \sin (-55^0)$

$= 0$

$\cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = 0-\cos 45^0 = -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

Jawaban : E

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2 \cos 3x^0 = 1$ pada $0^0 \leq x \leq 180^0$ adalah …

A. $\{ 0, 20, 60 \}$

B. $\{ 0, 20, 100 \}$

C. $\{ 20, 60, 100 \}$

D. $\{ 20, 100, 140 \}$

E. $\{ 100, 140, 180 \}$

Pembahasan

$2 \cos 3x^0 = 1$

$\cos 3x^0 = \dfrac{1}{2}$

$3x^0 = 60^0, 300^0, 420^0$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x = \{ 20, 100, 140 \}$

Jawaban : D

9. Hasil dari $\int 3x^2 \sqrt{(2x^3+5)}~dx = \ldots$

A. $\dfrac{3}{4}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C$

B. $\dfrac{1}{2}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C$

C. $\dfrac{2}{5}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C$

D. $\dfrac{1}{3}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C$

E. $\dfrac{6}{6}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C$

Pembahasan.

misal : $u=2x^3+5$

$du=6x^2~dx \Rightarrow \dfrac{du}{2}=3x^2~dx$

$\int 3x^2\sqrt{2x^3+5} ~dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2}$

$= \dfrac{1}{3/2} u^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{2} + C$

$= \dfrac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

$= \dfrac{1}{3} u \sqrt{u} + C$

$= \dfrac{1}{3} (2x^3+5) \sqrt{2x^3+5}+C$

Jawaban : D

10.Hasil $\int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2)~dx = \ldots$

A. $12\dfrac{1}{4}$

B. $8\dfrac{1}{4}$

C. $7\dfrac{3}{4}$

D. $4\dfrac{1}{4}$

E. $3\dfrac{3}{4}$

Pembahasan.

$\int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2) ~dx = \left( \dfrac{1}{4}x^4 -2x^3 +4x^2 +2x \right)_{-1}^2$

$= \left( \dfrac{1}{4}2^4 -2(2)^3 +4(2)^2 +2(2) \right)- \left( \dfrac{1}{4}(-1)^4 -2(-1)^3 +4(-1)^2 +2(-1) \right)$

$= \left( 4-16+16+4 \right)- \left( \dfrac{1}{4}+2+4-2 \right)$

$= \dfrac{1}{4}+12$

$= 12\dfrac{1}{4}$

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)”

Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Root Finding Algorit… di Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Deret Maclaurine… di Kenapa Menggunakan Metode Nume…
	aim di Pembahasan Latihan Soal SNMPTN…
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…
	aim di Koleksi Buku
	aim di Turunan log x, ln x, a^x dan e…
	aim di sin 18 derajat ?
	aim di sin 18 derajat ?
	aim di Metode Bagi-Dua (Bisection…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan