Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)


1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke CT adalah …

A. 5\sqrt{3}~cm

B. 6\sqrt{2}~cm

C. 6\sqrt{3}~cm

D. 6\sqrt{6}~cm

E. 7\sqrt{3}~cm

Pembahasan

un_math_2014_21Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga ATC. Perhatikan.

AT = \sqrt{AE^2+ET^2}

= \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EG \right)^2}

= \sqrt{9^2+ \left( \dfrac{9}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{81+\dfrac{162}{4}}

= \sqrt{\dfrac{324}{4}+\dfrac{162}{4}}

= \sqrt{\dfrac{486}{4}}

= \sqrt{\dfrac{2.3.81}{4}}

= \dfrac{9}{2}\sqrt{6}

Dengan cara yang sama diperoleh CT = \dfrac{9}{2}\sqrt{6}. Jadi, segitiga ATC adalah segitiga sama kaki.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan AC sebagai alas, diperoleh tinggi segitiga tersebut adalah TO, Dimana panjang TO sama dengan panjang sisi kubus yaitu 9 cm.

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga ATC dengan CT sebagai alas, diperoleh

\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot TO = \dfrac{1}{2} \cdot CT \cdot AP

\dfrac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot 9 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{9}{2}\sqrt{6} \cdot AP

9\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{6} \cdot AP

AP = \dfrac{9\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}\sqrt{6}}

= \dfrac{18\sqrt{2}}{\sqrt{6}}

= \dfrac{18\sqrt{12}}{6}

= 3\sqrt{12}

= 6\sqrt{3}

Jawaban : C

2.  Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} y&-3\\ 5&z \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix}. Jika B^T adalah trasnpose dari matriks B, dan A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}, maka nilai w+x+y+z adalah …

A. 8

B. 9

C. 11

D. 14

E. 17

Pembahasan

A+B^T-C = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3&w\\ x&-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y&5\\ -3&z \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5&5\\ 5&10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3+y-5&w+5-5\\ x-3-5&-1+z-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} y-2&w\\ x-8&+z-11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&4\\ -3&-5 \end{pmatrix}

Diperoleh,

y-2 = \Leftrightarrow y=2

w = 4

x-8 = -3 \Leftrightarrow x=5

z-11 = -5 \Leftrightarrow z=6

Jadi, w+x+y+z = 4+5+2+6 = 17

Jawaban : E

3.  Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 8 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah \alpha. Nlai \sin \alpha = \ldots

A. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. \dfrac{3}{4} \sqrt{3}

Pembahasan

un_math_2014_23Dalam menyelesaikan soal ini, pertama buat segitiga siku-siku yang melewati garis AE dan bidang AFH, yaitu segitiga AEO yang siku-siku di titik E, dimana garis EO adalah setengah diagonal EG. Jadi, sudut antara AE dan AFH adalah \angle EAO. Perhatikan

EO = \dfrac{1}{2} EG = 4\sqrt{2}

AO = \sqrt{EO^2 + AE^2}

= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 8^2}

= \sqrt{32+64}

= \sqrt{96}

= \sqrt{2.2.2.2.6} = 4\sqrt{6}

\sin \alpha = \dfrac{EO}{AO}

= \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}

= \dfrac{\sqrt{12}}{6}

= \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}

Jawaban : C

4.  Nilai dari \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \ldots

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

E. 1

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-3x+1) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-(3x-1))

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+6x-2}-\sqrt{(3x-1)^2})

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2-6x-2}-\sqrt{9x^2-6x+1})

= \dfrac{6-(-6))}{2\sqrt{9}}

= \dfrac{12}{6} = 2

Jawaban : D

5.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \ldots

A. 16

B. 12

C. 8

D. 4

E. 2

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 8x}{\sin 2x \tan 2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2\sin^2 4x)}{\sin 2x \tan 2x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 4x}{\sin 2x \tan 2x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 4x}{\sin x} \dfrac{\sin 4x}{\tan 2x}

= \left(\dfrac{8}{1}\right)\left(\dfrac{4}{2}\right) = 16

Jawaban : A

6.  Diagonal jajargenjang PQRS seperti gambar. Panjang diagonal PR = …un_math_2014_26

A. 5\sqrt{3}~cm

B. 6\sqrt{3}~cm

C. 7\sqrt{2}~cm

D. 7\sqrt{3}~cm

E. 8~cm

Pembahasan

Dalam menyelesiakan soal ini, akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Tapi sebelumnya, akan dicari terlebih dahulu sudut berhadapan lainnya, yaitu \angle PQR dan \angle PSR.

\angle PQR + \angle PSR + \angle SPQ + \angle SRQ = 360^0

\angle PQR + \angle PSR + 60^0 + 60^0 = 360^0

\angle PQR = \angle PSR = 120^0

PR^2 = PQ^2+QR^2-2(PQ)QR) \cos 120^0

= 6^2+6^2-2(6)(6) \left( -\dfrac{1}{2} \right)

= 6^2+6^2+6^2

= 3 \cdot 6^2

PR = 6\sqrt{3}

Jawaban : B

7.  Nilai dari \cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = \ldots

A. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

C. \dfrac{1}{2}

D. -\dfrac{1}{2}

E. -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Pembahasan

\cos \alpha-\cos \beta = -2 \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \cdot \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)

\sin \alpha-\sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)

\cos 145^0 + \cos 35^0 = -2 \cos \dfrac{1}{2}(145^0+35^0) \sin \dfrac{1}{2}(145^0-35^0)

= -2 \cos 90^0 \sin (-55^0)

= 0

\cos 145^0+\cos 35^0-\cos 45^0 = 0-\cos 45^0 = -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Jawaban : E

8.  Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 \cos 3x^0 = 1 pada 0^0 \leq x \leq 180^0 adalah …

A. \{ 0, 20, 60 \}

B. \{ 0, 20, 100 \}

C. \{ 20, 60, 100 \}

D. \{ 20, 100, 140 \}

E. \{ 100, 140, 180 \}

Pembahasan

2 \cos 3x^0 = 1

\cos 3x^0 = \dfrac{1}{2}

3x^0 = 60^0, 300^0, 420^0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = \{ 20, 100, 140 \}

Jawaban : D

9.  Hasil dari \int 3x^2 \sqrt{(2x^3+5)}~dx = \ldots

A. \dfrac{3}{4}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

B. \dfrac{1}{2}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

C. \dfrac{2}{5}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

D. \dfrac{1}{3}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

E. \dfrac{6}{6}(2x^3+5) \sqrt{(2x^3+5)}+C

Pembahasan.

misal : u=2x^3+5

du=6x^2~dx \Rightarrow \dfrac{du}{2}=3x^2~dx

\int 3x^2\sqrt{2x^3+5} ~dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2}

= \dfrac{1}{3/2} u^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{2} + C

= \dfrac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

= \dfrac{1}{3} u \sqrt{u} + C

= \dfrac{1}{3} (2x^3+5) \sqrt{2x^3+5}+C

Jawaban : D

10.Hasil \int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2)~dx = \ldots

A. 12\dfrac{1}{4}

B. 8\dfrac{1}{4}

C. 7\dfrac{3}{4}

D. 4\dfrac{1}{4}

E. 3\dfrac{3}{4}

Pembahasan.

\int_{-1}^2 (x^3-6x^2+8x+2) ~dx = \left( \dfrac{1}{4}x^4 -2x^3 +4x^2 +2x \right)_{-1}^2

= \left( \dfrac{1}{4}2^4 -2(2)^3 +4(2)^2 +2(2) \right)- \left( \dfrac{1}{4}(-1)^4 -2(-1)^3 +4(-1)^2 +2(-1) \right)

= \left( 4-16+16+4 \right)- \left( \dfrac{1}{4}+2+4-2 \right)

= \dfrac{1}{4}+12

= 12\dfrac{1}{4}

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s