Apr 18 2016

Ruang Vektor


Definisi 1.

Diberikan (F,+,\cdot) adalah sebarang lapangan dan misalkan V suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas F jika terdapat operasi biner + (penjumlahan vektor dan \cdot (perkalian skalar) sehingga untuk setiap u,v,w \in V dan \alpha, \beta \in F memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini.

1.  Tertutup dibawah penjumlahan vektor

u+v \in V

2.  Asosiatif

u + (v + w) = (u + v) + w

3.  Terdapat identitas penjumlahan

\exists 0_V \in V \ni 0_V + u = u + 0_V

4.  Terdapat invers penjumlahan

\forall u \in V, \exists -u \in V \ni u+(-u) = (-u)+u = 0_V

5.  Komutatif

u + v = v + u

6.  Tertutup dibawah perkalian skalar

\alpha u \in V

7.  Distributif

\alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v

8.  Distributif

(\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u

9.  \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u

10.1_F \cdot u = u

Jika diperhatikan aksioma 1 sampe aksioma 5 merupakan aksioma-aksioma Grup Komutatif. Perlu diperhatikan juga bahwa operasi yang ada pada ruang vektor ini ada empat. Yang pertama, operasi penjumlahan “+” pada vektor itu sendiri. Kedua, ada penjumlahan pada lapangan (skalar). Selanjutnya ada operasi perkalian “\cdot” antar skalar. Dan yang terakhir operasi perkalian antar vektor dan skalar. Oleh karena itu, perlu hati-hati dalam mengecek apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan.

Contoh 2.

Misal diberikan V = R^2 dan didefinisikan

\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\end{pmatrix}

k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k x_1\\ k y_1\end{pmatrix}

Ambil sebarang u,v,w \in R^2 dan k,l \in \mathbb{R} dengan

u = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}, v= \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} x_3\\ y_3\end{pmatrix}

Perhatikan bahwa,

1.  u+v = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix} \in R^2

2.  u+v = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_2+x_1\\ y_2+y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix}

= v+u

3.  (u+v)+w = \left( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} (x_1+x_2)+x_3\\ (y_1+y_2)+y_3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1+(x_2+x_3)\\ y_1+(y_2+y_3) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2+x_3\\ y_2+y_3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\end{pmatrix} + \left( \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3\\ y_3 \end{pmatrix} \right)

= u+(v+w)

4.  Klaim bahwa \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} identitas di R^2. Pehatikan bahwa

\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

Jadi, \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} adalah identitas di R^2.

5.  Ambil sebarang u \in R^2. Klaim bahwa -u \in R^2. Perhatikan bahwa

u+(-u) = \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -x_1\\ -y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+(-x_1)\\ y_1+(-y_1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}

(-u)+u = \begin{pmatrix} -x_1\\ -y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_1+x_1\\ -y_1+y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}

Jadi, -u invers dari u untuk sebarang u \in R^2.

6.  V : \mathbb{R} \times R^2 \to R^2

ku = k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} \in R^2

7.  k(u+v) = k \left( \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} \right)

= k \begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} k(x_1+x_2)\\ k(y_1+y_2) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} kx_1+kx_2\\ ky_1+ky_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} kx_2\\ ky_2 \end{pmatrix}

= k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}

= ku + kv

(k+l)u = (k+l) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} (k+l)x_1\\ (k+l)y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} kx_1+lx_1\\ ky_1+ly_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} kx_1\\ ky_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} lx_1\\ 1y_1 \end{pmatrix}

= k \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= ku + lu

8.  (kl)u = (kl) \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} (kl)x_1\\ (kl)y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} k(lx_1)\\ k(ly_1) \end{pmatrix}

= k \begin{pmatrix} lx_1\\ ly_1 \end{pmatrix}

= k \left( l \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} \right)

= k(lu)

9.  1_F \cdot u = 1_F \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1_F x_1\\ 1_F y_1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix}

= u

Jadi, R^2 adalah ruang vektor atas lapangan \mathbb{R}. \square

Selanjutnya apabila diperumum menjadi R^n = \{ (x_1,x_2, \ldots, x_n) | x_i \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \} dengan didefiniskan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut

(x_1,x_2, \ldots, x_n) + (y_1,y_2, \ldots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n)

k(x_1,x_2, \ldots, x_n) = (kx_1, kx_2, \ldots, kx_n)

Untuk setiap (x_1,x_2, \ldots, x_n), (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in R^n dan k \in \mathbb{R}. Sehingga diperoleh R^n adalah ruang vektor atas \mathbb{R}.

Contoh 3.

Misal V adalah himpunan semua fungsi kontinu pada interval tertutup [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut.

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

(\alpha \circ f)(x) = \alpha f(x)

Untuk setiap f,g \in V, x \in [0,1], \alpha \in R

Apakah V merupakan ruang vektor atas lapangan bilangan riil R ?

Ambil sebarang f,g,h \in V dan x \in [0,1] serta \alpha, \beta \in [0,1].

1.  Perhatikan bahwa (f+g)(x) = f(x)+g(x). Karena f(x), g(x) \in \mathbb{R} maka f+g \in V.

2.  Perhtatikan bahwa.

((f+g)+h)(x) = (f+g)(x)+h(x)

= (f(x)+g(x))+h(x)

= f(x)+(g(x)+h(x))

= f(x)+(g+h)(x)

= (f+(g+h))(x)

3.  Klaim bahwa 0_f \in V identitas fungsi yaitu 0_f(x)=0 untuk setiap x \in [0,1]. Perhatikan bahwa

(0_f +f)(x) = 0_f(x)+f(x) = 0+f(x) = f(x)

(f+0_f)(x) = f(x)+0_f(x) = f(x)+0 = f(x)

Jadi, 0_f adalah identitas pada V.

4.  Ambil sebarang f \in V. Klaim bahwa -f \in V sebagai invers dari f yang didefinisikan sebagai (-f)(x)=-f(x) untuk setiap x \in [0,1]. Perhatikan bahwa

(-f+f)(x) = (-f)(x)+f(x) = [-f(x)]+f(x) = 0

(f+(-f))(x) = f(x)+(-f)(x) = f(x)+[-f(x)] = 0

Jadi, -f adalah invers dari f.

5.  Perhatikan bahwa.

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

= g(x) + f(x)

= (g+f)(x)

6.  V : \mathbb{R} \times \mathcal{F} \to \mathbb{F}

(\alpha \circ f)(x) = \alpha f(x) \in \mathbb{R}

7.  Perhatikan bahwa

(\alpha \circ (f+g))(x) = \alpha(f+g)(x)

= \alpha (f(x)+g(x))

= \alpha f(x) + \alpha g(x)

= (\alpha \circ f)(x) + (\alpha \circ g)(x)

= (\alpha \circ f + \alpha \circ g)(x)

8. Perhatikan bahwa

((\alpha + \beta) \circ f)(x) = (\alpha + \beta)f(x)

= \alpha f(x) + \beta f(x)

= (\alpha \circ f)(x) + (\beta \circ f)(x)

= (\alpha \circ f + \beta \circ g)(x)

9.  Perhatikan bahwa

((\alpha \beta) \circ f)(x) = (\alpha \beta)f(x)

= \alpha(\beta f(x))

= \alpha((\beta \circ f)(x))

= (\alpha \circ (\beta \circ f))(x)

10.Pilih 1 \in \mathbb{R}. Diperoleh (1 \circ f)(x) = 1f(x) = f(x)

Jadi, V adalah ruang vektor. \square

Contoh 4.

Diberikan himpunan bilangan rill positif \mathbb{R}^+ dan bilangan riil \mathbb{R}. Didefinisikan untuk setiap x,y \in \mathbb{R}^+ dan a \in \mathbb{R} sebagai berikut

x+y = xy dan ax = x^a

Buktikan bahwa \mathbb{R}^+ adalah ruang vektor atas \mathbb{R}!

Ambil sebarang x,y,z \in \mathbb{R}^+ dan a,b \in \mathbb{R}. Perhatikan

1.  x+y = xy \in \mathbb{R}^+

2.  (x+y)+z = xy+z

= (xy)z

= x(yz)

= x+yz

= x+(y+z)

3.  Klaim bahwa 1 adalah identitas di \mathbb{R}^+. Diperoleh

1+x = 1x = x = x1 = x+1

Jadi, 1 adalah elemen identitas di \mathbb{R}^+

4.  Ambil sebarang x \in \mathbb{R}^+. Klaim bahwa \dfrac{1}{x} invers dari x. Diperoleh

\dfrac{1}{x}+x = \dfrac{1}{x}x = 1 = x\dfrac{1}{x} = x+\dfrac{1}{x}

Jadi, \dfrac{1}{x} adalah invers dari x \in \mathbb{R}^+

5.  x+y = xy = ya = y+x

6.  V : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+

ax = x^a \in \mathbb{R}^+

7.  a(x+y) = a(xy) = (xy)^a = x^a y^a = ax+ay

8.  (a+b)x = x^{a+b} = x^a x^b = ax+bx

9.  (ab)x = x^{ab} = (x^a)^b = (ax)^b = b(ax)

10.Pilih 1 \in \mathbb{R}, maka

1x = x^1 = x

Jadi, \mathbb{R}^+ adalah ruang vektor atas \mathbb{R}. \square

1 comments on “Ruang Vektor”

  1. Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar