Category Integral

Sep 8 2013

Integral dari Invers Fungsi Trigonometri


Untuk integral dari invers fungsi trigonometri, saya akan memanfaatkan Integral Parsial, Integral Sustitusi dan sifat dasar dari Integral Sustitusi Trigonometri. Integral yang dibahas dalam tulisan ini adalah integral dari arc sin x, arc cos x, arc tan x, arc cosec x, arc sec x dan arc cotan x. Berikut integral dari fungsi tersebut.

\int arc sin x dx = …

ambil : u = arc sin x \Rightarrow du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx [bukti]

dv = dx \Rightarrow v = x

\int arc sin x dx = x arc sin x – \int x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx

misal : a = 1 – x2 \Rightarrow da = -2x dx

= x arc sin x – \int x \frac{1}{\sqrt{a}} \frac{da}{-2x}

= x arc sin x + \frac{1}{2} \int a-1/2 da

= x arc sin x + a1/2 + C

= x arc sin x + \sqrt{1-x^2} + C

\int arc sin x dx = x arc sin x + \sqrt{1-x^2} + C

. Baca lebih lanjut →

Jul 29 2013

Integral log x, ln x, dan e^x


Kali ini saya akan mengangkat sedikit tentang integral seperti tulisan-tulisan sebelumnya, tapi pada kesempatan ini saya akan mengulas sedikit tentang hasil dari integral beberapa fungsi yaitu alog x, ln x, ex, dan ax. Tapi untuk integral ax saya tidak akan bahas lagi karena sudah ada pada tulisan sebelumnya, dapat dibaca disini.

INTEGRAL 1 :

\int alog x dx = …

untuk menyelesaikan integral ini saya akan menggunakan integral parsial, ambil

u = alog x \Rightarrow du = \frac{1}{x \quad ln(a)} dx [bukti]

dv = dx \Rightarrow v = x

\int alog x dx = uv – \int v du Baca lebih lanjut →

Jul 10 2013

Jumlah Riemann


Jumlah Riemann ini adalah cikal bakal dari Integral Tentu, dimana integral tentu ini berbeda dengan integral taktentu yang dipandang sebagai anti turunan, pendefinisian integral tentu (definite integral) disusun dari suatu konsep limit pada Jumlah Riemann suatu fungsi.

Definisi : Jumlah Riemann

Diketahui f fungsi terdefinisi pada interval [a,b] dan P suatu n-partisi pada [a,b], yaitu :

a = x0 < x1 < x2 < x3 < … < xk-1 < xk < … < xn-1 < xn = b

diambil \trianglexk = xk – xk-1 dan \widehat{x}_k \epsilon (xk-1, xk), untuk k = 1, 2, …, n. Baca lebih lanjut →

Jul 3 2013

Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga


Pada kesempatan ini saya mencoba untuk membuktikan rumus volume bola = \frac{4}{3} \pi r^3 dengan menggunakan integral lipat 3, setelah pada tulisan sebelumnya Pembuktian Rumus Volume Bola dengan memanfaatkan integral volume benda putar. Misal diketahui bahwa pertidaksamaan bola adalah x2 + y2 + z2 \leq r2. Kemudian kita mencari batas-batas untuk x, y dan z yaitu

z \leq \quad \sqrt{r^2-y^2-x^2}

-\sqrt{r^2-y^2-x^2} \leq z \leq \sqrt{r^2-y^2-x^2}

kemudian dengan memandang lingakaran (asumsikan z = 0), maka

-\sqrt{r^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{r^2-x^2}

dan terakhir dengan memandang y = 0 dan z = 0, maka

-r \leq x \leq r

untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar dibawah ini. Baca lebih lanjut →

Des 11 2012

Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C


Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya tentang bagaiamana membuktikan \displaystyle \int \sin x ~dx = -\cos x + C ? Tapi sekarang pada tulisan ini akan membuktikan \displaystyle \int \cos x ~dx = \sin x + C. Ide dan cara membuktikan sebenarnya sama dengan pembuktian pada tulisan sebelumnya. Tapi tidak ada salahnya saya tulis untuk menambah pengetahuan. Langsung saja perhatikan langkah-langkahnya.

\displaystyle \int \cos x ~dx = \sin x + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int \cos x ~dx = \dfrac{d}{dx} \cos x + C

\cos x = \dfrac{d}{dx} \sin x

\cos x = \dfrac{d}{dx} \sin x Baca lebih lanjut →

Des 7 2012

Pembuktian Integral sin dx = – cos x


Tulisan ini terinspirasi pada pertanyaan salah seorang pengunjung blog di salah satu tulisan saya. Bagaimana cara membuktian integral trigonometri \displaystyle \int \sin x ~dx = -\cos x ?

Ide untuk membuktikan integral ini adalah saya akan mencoba menggunakan langkah mundur.

\displaystyle \int \sin u ~du = -\cos u + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\displaystyle \dfrac{d}{du} \int \sin u ~du = \dfrac{d}{du}- \cos u + C

\sin u = -\dfrac{d}{du} \cos u

-\sin u = \dfrac{d}{du} \cos u Baca lebih lanjut →

Des 4 2012

Integral a^x dx


Iseng-iseng nulis, ini sebenarnya adalah pertanyaan dari mas Apikk pada halaman Tanya Jawab Matematika beberapa waktu lalu. Pertanyaannya begini “\displaystyle \int 4^x ~dx = \ldots bagaimana mas ?” Tapi disini saya akan pandang dalam kasus yang lebih umum saja. Sehingga pertanyaanya bisa ditulis dalam bentuk \displaystyle \int a^x ~dx = \ldots

Sebelum mengerjakannya, terlebih dahulu saya buat catatan [sifat] yang akan digunakan untuk membuktikan kasus diatas.

NOTE :

\displaystyle \int e^u ~du = e^u + C

e^{\ln a} = a Baca lebih lanjut →