Sep 6 2012

Fungsi Genap dan Ganjil (Even and Odd Functions)


Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil biasa digunakan untuk memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi. Grafik suatu fungsi ada yang simetri terhadap sumbu-y, simetri terhadap titik asal dan ada yang tidak simetri terhadap kedua-duanya. Grafik fungsi yang simetri terhadap sumbu – y disebut Fungsi Genap (lihat gambar fungsi f(x) = x^2-2) atau Fungsi Genap didefinisikan sebagai f(-x) = f(x) untuk setiap x di domain f(x). Sedangkan grafik fungsi yang simetris terhadap titik asal fungsi f(x) disebut Fungsi Ganjil (lihat gambar fungsi g(x) = x^3) atau Fungsi Ganjil didefinisikan sebagai f(-x) = - f(x) untuk setiap x di domain f(x). Jika suatu fungsi bukan merupakan Fungsi Genap maka belum tentu merupakan Fungsi Ganjil, begitu juga sebaliknya. Dan jika suatu fungsi tidak termasuk fungsi genap dan ganjil maka grafik yang terbentuk tidak simetris terhadap sumbu-y maupun titik asal (lihat gambar fungsi h(x) = x^3-1).

Photobucket

         f(x) = x2 – 2              g(x) = x3             h(x) = x3 – 1

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh :

Tentukan apakah fungsi-fungsi dibawah ini merupakan Fungsi Genap atau Fungsi Ganjil atau bukan kedua-duanya !

  1. f(x) = x^2-2
  2. g(x) = x^3
  3. h(x)=x^3-1

Penyelesaian :

  1. f(x) = x^2-2

    f(-x) = (-x)^2-2

    = x^2-2

    f(x)

    f(x) = f(-x)

    Jadi f(x) = x^2-2 merupakan fungsi genap

  2. g(x) = x^3

    g(x) = (-x)^3

    = -x^3

    = -g(x)

    g(x) = -g(x)

    Jadi g(x) = (-x)^3 merupakan fungsi ganjil

  3. h(x) = x^3-1

    h(-x) = (-x)^3-1 = -x^3-1

    h(-x) \neq h(x) dan h(-x) \neq -h(x)

    Jadi h(x) = x^3-1 bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.

Fungsi Genap dan Ganjil memiliki sifat yang special, yang tidak dimilki oleh fungsi lainnya, berikut sifat-sifatnya :

  1. Jika f kontinyu dan fungsi ganjil pada interval [-a, a] maka \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0

    Bukti :

    Perhatikan \int_{-a}^{0} f(x) dx

    karena fungsi f(x) ganjil, maka f(-x) = -f(x), misal x = -y maka dx = -dy, kemudiann substitusi,

    \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-y) (-dy)

    = –\int_{-a}^{0} f(-y) dy (ingat Sifat Integral)

    = \int_{a}^{0} f(-y) dy (Fungsi Ganjil)

    = –\int_{a}^{0} f(y) dy

    = –\int_{a}^{0} f(x) dx

    berakibat

    \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx

    = –\int_{a}^{0} f(x) dx + \int_{a}^{0} f(x) dx

    = 0 \blacksquare

  2. Jika f kontinyu dan fungsi genap pada interval [-a, a] maka \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{-a}^{0} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx

    Bukti :

    \int_{-a}^{0} f(x) dx

    karena f(x) fungsi genap, maka f(-x) = f(x), misal x = -y maka dx = -dy, kemudiann substitusi,

    \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-y) (-dy)

    = –\int_{-a}^{0} f(-y) dy (ingat Sifat Integral)

    = \int_{a}^{0} f(-y) dy (Fungsi Ganjil)

    = \int_{a}^{0} f(y) dy

    = \int_{a}^{0} f(x) dx

    berakibat

    \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx

    = \int_{a}^{0} f(x) dx + \int_{a}^{0} f(x) dx

    = 2\int_{a}^{0} f(x) dx \blacksquare

  3. Jika f(x) adalah Fungsi Genap dan memiliki turnan maka turunannya adalah Fungsi Ganjil

    Bukti :

    dalam pembuktiannya, akan menggunakan Definisi Turunan

    f'(x) = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-1}{-1} \quad \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-f(x+h)+f(x)}{h} (f(x) fungsi genap)

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-f(-x+h)+f(-x)}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-(f(x+h)-f(x))}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad -\left[ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \right]

    = -f'(-x) \blacksquare

    Selain menggunakan Definisi Turunan, bisa juga menggunakan turunan Aturan Rantai (Chain Rule)

    Fungsi genap := f(-x) = f(x)

    Dx f(x) = Dx[f(-x)] (karena f(x) fungsi genap)

    = f'(-x) Dx[(-x)]

    = f'(-x)(-1)

    = -f'(-x)

    Jadi menurut definisi fungsi ganjil, turunan fungsi genap adalah fungsi ganjil.

  4. Jika f(x) adalah Fungsi Ganjil dan memiliki turunan maka turunannya adalah Fungsi Genap

    Bukti :

    Dengan cara yang sama, dalam pembuktian sifat ini juga akan menggunakan Definisi Turunan

    f'(x) = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-1}{-1} \quad \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{-f(x+h)+f(x)}{-h} (f(x) fungsi ganjil)

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{f(-(-x+h))+f(-x)}{-h}

    = lim_{x \to 0} \quad \dfrac{f(-x+h)-f(-x)}{h}

    = f'(-x) \blacksquare

    dengan menggunakan Aturan Rantai (Chain Rule) juga bias membuktikan sifat ini.

    Fungsi ganjil := f(-x) = -f(x)

    Dx f(x) = Dx[-f(-x)] (karena f(x) fungsi ganjil)

    = -(Dx[f(-x)])

    = -(f'(-x) Dx[(-x)])

    = -(f'(-x)(-1))

    = f'(-x)

    Jadi menurut definisi fungsi genap, turunan fungsi ganjil adalah fungsi genap.

6 comments on “Fungsi Genap dan Ganjil (Even and Odd Functions)”

  1. Ping-balik: Luas Kurva Distribusi Normal | Math IS Beautiful

  3. Wow that was strange. I just wrote an very long comment but after I clicked submit my comment didn’t show up. Grrrr… well I’m not writing all that over again. Regardless, just wanted to say great blog! If you dont now how can make a Website WordPress or blog can learn here 4buildweb.com.

    Balas

  4. Ping-balik: Program C++ Menentukan Bilangan Ganjil Dan Genap

  6. Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar