Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup


Misal diberikan grup G dan H \subseteq G tak kosong, maka H merupakan subgrup jika dan hanya jika ab^{-1} \in H untuk setiap a,b \in H. Apabila dipunyai dua atau lebih subgrup, apakah gabungan, irisan dan perkalian (product) dari subgrup merupakan subgrup ? Melalui tulisan ini saya akan membahas mengenai itu.

Misal diberikan grup G serta H dan K merupakan subgrup G, apakah H \cup K merupakan subgrup G ? Belum tentu, karena belum ada jaminan pada sifat ketertutupannya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Diketahui grup G = \mathbb{Z}_6 terhadap operasi +_6 dengan \mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}. Pilih subgrup G yaitu H = \{ 0,2,4 \} dan K = \{ 0,3 \}. Diperoleh H \cup K = \{0,2,3,4 \}. Perhatikan bahwa 3 +_6 4 = 1 \notin H \cup K. Jadi, H \cup K bukan subgrup dari \mathbb{Z}_6. \blacksquare

Selanjutnya, jika dipunyai dua subgrup, maka irisan subgrup membentuk subgrup juga.

Teorema 2.

Diberikan G grup. Jika H dan K subgrup G, maka H \cap K merupakan subgrup G.

Bukti.

Karena H dan K subgrup maka H dan K memiliki elemen identitas yaitu e \in H dan e \in K, berakibat e \in H \cap K. Jadi, H \cap K \neq \emptyset. Ambil sebarang a,b \in H \cap K, berakibat a,b \in H, K. Karena H dan K merupakan subgrup G berakibat ab^{-1} \in H dan ab^{-1} \in K, sehingga diperoleh ab^{-1} \in H \cap K. Berdasarkan teorema subgrup (lihat Teorema 1 pada Karakteristik Subgrup) berakibat H \cap K merupakan subgrup. \blacksquare

Kemudian apabila dipunyai sebarang koleksi subgrup, maka irisan dari koleksi subgrup membentuk subgrup juga.

Teorema 3.

Diberikan G grup. Jika \{ H_i ~|~ i \in I\} sebarang koleksi tak kosong subgrup G, maka \cap_{i \in I} H_i merupakan subgrup G.

Bukti.

Karena H_i subgrup maka H_i memiliki elemen identitas yaitu e \in H_i untuk setiap i \in I, berakibat e \in \cap_{i \in I} H_i. Jadi, \cap_{i \in I} H_i \neq \emptyset. Ambil sebarang a,b \in \cap_{i \in I} H_i, berakibat a,b \in H_i untuk setiap i \in I. Karena H_i merupakan subgrup dari G berakibat ab^{-1} \in H_i untuk setiap i \in I, sehingga diperoleh ab^{-1} \in \cap_{i \in I} H_i. Berdasarkan teorema subgrup (lihat Teorema 1 pada Karakteristik Subgrup) berakibat \cap_{i \in I} H_i merupakan subgrup. \blacksquare

Sebelum melangkah lebih jauh, berikut diberikan product dari himpunan.

Definisi 4.

Misal H dan K subset tak kosong dari grup G. Product (perkalian) H dan K didefinisikan sebagai berikut.

HK = \{ hk ~|~ h \in H, k \in K \}.

Misal H_1, H_2, \ldots, H_n subset tak kosong dari grup G. Didefinisikan product H_1, H_2, \ldots, H_n sebagai berikut

H_1, H_2, \ldots, H_n = \{ h_1 h_2 \ldots h_n ~|~ h_i \in H_i, i=1,2,\ldots ,n \}

 

Teorema 5.

Diberikan grup G. Misal H dan K subgrup G. Maka HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

Bukti.

Diketahui HK subgrup dari G. Ambil sebarang kh \in KH dengan h \in H dan k \in K. Perhatikan bahwa h = eh \in HK dan k = ke \in HK. Karena HK merupakan subgrup berakibat kh \in HK. Jadi, KH \subseteq HK. Di sisi lain, ambil sebarang hk \in HK, berakibat (hk)^{-1} \in HK. Misal (hk)^{-1} = h_1k_1 untuk suatu h_1 \in H dan k_1 \in K, berakibat hk = (h_1k_1)^{-1} = k_1^{-1} h_1^{-1} \in KH. Oleh karena itu, HK \subseteq KH. Jadi, HK = KH.

Sebaliknya, diketahui HK = KH. Ambil sebarang h_1k_1, h_2k_2 \in HK. Perhatikan bahwa k_2^{-1}h_2^{-1} \in KH = HK, berakibat k_2^{-1}h_2^{-1} = h_3k_3 untuk suatu h_3 \in H dan k_3 \in K. Karena k_1h_3 \in KH=HK, pilih k_1h_3 = h_4k_4 untuk suatu h_4 \in H dan k_4 \in K. Jadi,

(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1} = h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}

= h_1k_1h_3k_3

= h_1h_4k_4k_3 \in HK

Jadi, HK merupakan subgrup G. \blacksquare

Pada teorema di atas, jika grup G merupakan grup komutatif, berakibat HK subgrup G (tanpa syarat HK=KH).

Teorema 6.

Diberikan G grup. Jika H dan K subgrup G, maka HK subgrup G jika dan hanya jika HK = \langle H \cup K \rangle.

Bukti.

Diketahui HK subgrup dari G. Ambil sebarang h \in H, diperoleh h = he \in HK, berakibat H \subseteq HK. Dengan cara yang sama, diperoleh K \subseteq HK. Oleh karena itu, H \cup K \subseteq HK. Karena \langle H \cup K \rangle merupakan subgrup terkecil yang memuat H \cup K yaitu H \cup K \subseteq \langle H \cup K \rangle, berakibat \langle H \cup K \rangle \subseteq HK. Ambil sebarang hk \in HK dengan h \in H dan k \in K. Karena H \subseteq \langle H \cup K \rangle dan K \subseteq \langle H \cup K \rangle, diperoleh h,k \in \langle H \cup K \rangle. Karena \langle H \cup K \rangle subgrup, berakibat hk \in \langle H \cup K \rangle. Oleh karena itu, berakibat HK \subseteq \langle H \cup K \rangle. Jadi, HK = \langle H \cup K \rangle.

Sebaliknya, karena \langle H \cup K \rangle subgrup dan HK = \langle H \cup K \rangle, berakibat HK subgrup. \blacksquare

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s