Misal diberikan grup dan
tak kosong, maka
merupakan subgrup jika dan hanya jika
untuk setiap
. Apabila dipunyai dua atau lebih subgrup, apakah gabungan, irisan dan perkalian (product) dari subgrup merupakan subgrup ? Melalui tulisan ini saya akan membahas mengenai itu.
Misal diberikan grup serta
dan
merupakan subgrup
, apakah
merupakan subgrup
? Belum tentu, karena belum ada jaminan pada sifat ketertutupannya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 1.
Diketahui grup terhadap operasi
dengan
. Pilih subgrup
yaitu
dan
. Diperoleh
. Perhatikan bahwa
. Jadi,
bukan subgrup dari
.
Selanjutnya, jika dipunyai dua subgrup, maka irisan subgrup membentuk subgrup juga.
Teorema 2.
Diberikan grup. Jika
dan
subgrup
, maka
merupakan subgrup
.
Bukti.
Karena dan
subgrup maka
dan
memiliki elemen identitas yaitu
dan
, berakibat
. Jadi,
. Ambil sebarang
, berakibat
. Karena
dan
merupakan subgrup
berakibat
dan
, sehingga diperoleh
. Berdasarkan teorema subgrup (lihat Teorema 1 pada Karakteristik Subgrup) berakibat
merupakan subgrup.
Kemudian apabila dipunyai sebarang koleksi subgrup, maka irisan dari koleksi subgrup membentuk subgrup juga.
Teorema 3.
Diberikan grup. Jika
sebarang koleksi tak kosong subgrup
, maka
merupakan subgrup
.
Bukti.
Karena subgrup maka
memiliki elemen identitas yaitu
untuk setiap
, berakibat
. Jadi,
. Ambil sebarang
, berakibat
untuk setiap
. Karena
merupakan subgrup dari
berakibat
untuk setiap
, sehingga diperoleh
. Berdasarkan teorema subgrup (lihat Teorema 1 pada Karakteristik Subgrup) berakibat
merupakan subgrup.
Sebelum melangkah lebih jauh, berikut diberikan product dari himpunan.
Definisi 4.
Misal dan
subset tak kosong dari grup
. Product (perkalian)
dan
didefinisikan sebagai berikut.
.
Misal subset tak kosong dari grup
. Didefinisikan product
sebagai berikut
Teorema 5.
Diberikan grup . Misal
dan
subgrup
. Maka
subgrup dari
jika dan hanya jika
.
Bukti.
Diketahui subgrup dari
. Ambil sebarang
dengan
dan
. Perhatikan bahwa
dan
. Karena
merupakan subgrup berakibat
. Jadi,
. Di sisi lain, ambil sebarang
, berakibat
. Misal
untuk suatu
dan
, berakibat
. Oleh karena itu,
. Jadi,
.
Sebaliknya, diketahui . Ambil sebarang
. Perhatikan bahwa
, berakibat
untuk suatu
dan
. Karena
, pilih
untuk suatu
dan
. Jadi,
Jadi, merupakan subgrup
.
Pada teorema di atas, jika grup merupakan grup komutatif, berakibat
subgrup
(tanpa syarat
).
Teorema 6.
Diberikan grup. Jika
dan
subgrup
, maka
subgrup
jika dan hanya jika
.
Bukti.
Diketahui subgrup dari
. Ambil sebarang
, diperoleh
, berakibat
. Dengan cara yang sama, diperoleh
. Oleh karena itu,
. Karena
merupakan subgrup terkecil yang memuat
yaitu
, berakibat
. Ambil sebarang
dengan
dan
. Karena
dan
, diperoleh
. Karena
subgrup, berakibat
. Oleh karena itu, berakibat
. Jadi,
.
Sebaliknya, karena subgrup dan
, berakibat
subgrup.