Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1)


Seperti pada tulisan sebelumnya, Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu, pada kesempatan ini akan dibahas lagi Persamaan Garis Singgung Elips tapi melalui suatu titik. Titik yang dimaksud adalah bisa terletak pada Elips itu sendiri atau diluar elips. Yang pertama, perhatikan untuk titik yang melalui elips (untuk kasus titik yang terletak diluar elips, akan dibahas pada tulisan selanjutnya). Misal diberikan elips dengan pusat di (0,0), yaitu \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} =1 dan titik (x_1, y_1) yang melalui elips. Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui titik tersebut adalah y-y_1 = m(x-x_1). Selanjutnya, disubtitusi persamaan garis tersebut ke dalam persaaan elips, diperoleh,

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(y_1 + m(x-x_1))^2}{q} = 1

\dfrac{q x^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2}{pq} = 1

qx^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 m(x-x_1) + m^2(x-x_1)^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 mx -2y_1x_1 + m^2(x^2 -2x_1x + x_1^2)) = pq

qx^2 + py_1^2 + 2 p y_1 mx -2py_1x_1 + pm^2x^2 -2pm^2x_1x + pm^2x_1^2 = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2) = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2 -pq) = 0

Syarat menyinggung D = 0, atau dengan kata lain persamaan kuadrat di atas memeiliki dua akar kembar, yaitu x_1 = x_2. Baca lebih lanjut

Iklan

Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu


Misal diberikan elips dengan persamaan \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1. Selanjutnya misalkan terdapat garis y = mx + n sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis y menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu D=0. Perhatikan.

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(mx+n)^2}{q} = 1

\dfrac{qx^2 + p(mx+n)^2}{pq} = 1

qx^2 + p(m^2x^2+2mnx+n^2) = pq

qx^2 + pm^2x^2 + 2pmnx + pn^2- pq = 0

(x^2 + pm^2)x^2 + 2pmnx + p(n^2- q) = 0

Karena diskiriminannya sama dengan nol, dipeorleh Baca lebih lanjut

Menggambar Elips


Menurut  Wikipedia, Elips adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Lebih lanjut, Elips merupakan salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Sebelum lebih jauh, sudah diketahui bahwa bentuk standar/baku lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat di (a,b) adalah

(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2

Jika kedua ruas dibagi oleh r^2, diperoleh

\dfrac{(x-a)^2}{r^2} + \dfrac{(y-b)^2}{r^2} = 1

Pada persamaan terakhir di atas, masing penyebut r^2 pada pecahan tersebut merupakan jarak vertical dan horizontal yang melalui titik pusat lingkaran tersebut. Bagaimana jika penyebut pada pecahan di atas tersebut berbeda ? Persamaan ini yang akan menjadi persamaan umum dari Elips. Perhatikan ilustrasi berikut. Misal dipunyai persamaan sebagai berikut.

\dfrac{(x-3)^2}{4^2} + \dfrac{(y-1)^2}{2^2} = 1 Baca lebih lanjut

Berpapasan dan Menyusul


Pada kesempatan ini saya akan membahas kapan dua orang berpapasan jika kedua orang tersebut melewati jalur/jalan yang sama dari arah berlawanan dan memeiliki kecepatan yang berbeda. Kasus ini saya lihat di buku Sekolah Dasar dan saya perhatian soal jenis ini juga kadang muncul di Tes Potensi Akademik. Tanpa panjang lebar, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Adit akan berangkat dari Mataram menuju Selong dengan jarak 60 km. Sedangkan Fatir dari Selong menuju Mataram. Jika Adit dan Fatir masing-masing mengendarai motor dengan kecepatan 55 km/jam dan 45 km/jam. Pukul berapa mereka berpapasan jika mereka berangkat bersamaan pada pukul 10.00 ?

Penyelesaian.

Karena mereka berpapasan, itu artinya waktu tempuh Adit dari Mataram ke tempat berpapasan sama dengan waktu tempuh Fatir ke tempat berpapasan. Sehingga berakibat

t_A = t_F

Misal jarak tempuh Adit ke tempat mereka berpapasan adalah s_A dan jarak tempuh Adit ke tempat mereka berpapasan adalah s_F serta kecepatan Adit dan Fatir adalah v_A dan v_F. Berakibat s_A + s_F = 60 atau dengan kata lain s_A = 60-s_F. Sehingga diperoleh Baca lebih lanjut

Aturan Sinus


Misal diberikan segitiga ABC sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b, dan c, yang masing-masing terletak terletak di depan sudut A, B dan C, maka

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul. Baca lebih lanjut

Aturan Kosinus


Tulisan ini (Aturan Kosinus) sebenarnya saya sudah tulis pada tulisan sebelumnya, tapi setelah saya baca kembali, sepertinya tulisan tersebut terlalu teoritis. Karena memang tulisan itu saya ‘berkiblat’ dari buku kuliah. Oleh karena itu, kali ini saya akan mencoba menulis kembali dengan materi yang lebih ringan. Aturan kosinus pada postingan ini akan memanfaatkan Pythagoras. Dalam tulisan ini akan digunakan dua jenis segitiga yaitu segitiga lancip dan tumpul.

Misal diberikan segitiga lancip ABC seperti pada gambar dibawah ini dengan CD sebagai tinggi segitiga ABC.Aturan_Kosinus_01

Misal akan dicari \cos \angle ABC. Perhatikan segitiga BDC, dengan memanfaatkan pythagoras, diperoleh.

CD^2 = BC^2-BD^2

h^2 = a^2-m^2 … (i)

Selanjutnya, perhatikan segitiga ADC, diperoleh Baca lebih lanjut

Lingkaran Luar Segitiga


Setelah pada tulisan sebelumnya tentang Lingkaran Dalam Segitiga, selanjutnya tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Luar Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada luar segitiga. Sama seperti pada tulisan sebelumnya, di sini akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar sertasudut keliling. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga titik sudut segitiga tersebut, yaitu titik A, B dan C. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi pada sudut C, namakan garis CD. Selanjutnya dari buat garis AD sedemikian hingga AD tegak lurus dengan AC. Berakibat terbentuk segtiga CAD yang siku-siku di A. Dari sini, buat lingkaran dengan pusat O dimana O berada ditengah-tengah garis CD. (perhatikan gambar)LLS_01

Perhatikan bahwa \angle ADC = \angle EBC (karena sudut keliling) dan \angle CAD = \angle CEB = 90^0. Oleh karena itu, \triangle ADC \sim \triangle EBC. Berakibat Baca lebih lanjut

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran


Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di M dan N yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah p (perhatikan gambar di bawah ini).GSPD_01

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran. Baca lebih lanjut