Teknik Integral : Integral Parsial

Teknik pengintegralan parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Teorema 3

Jika u = u(x) dan v = v(x) masing-masing fungsi terdiferensial, maka u dv = uv – v du.

Bukti :

Dari rumus turunan hasil kali dua fungsi diperoleh

(uv) = ( u(x)) v(x) + ( v(x)) u(x)

= v + u

Pengintegralan pada kedua ruas menghasilkan

( (uv))dx = (v ) + (u )

uv = v du + u dv

u dv = uv + v du

Contoh :

1. xe^-x dx = …
   

   ambil u = x dan dv = e^-x dx v = -e^-x, maka
   

   xe^-x dx = u dv = uv – v du
   

   = -xe^-x –  e^-x dx
   

   = -xe^-x – e^-x + C
   

   Atau bisa juga dikerjakan seperti ini
   

   xe^-x dx = x d

   = – x d(e^-x)

   = -(xe^-x –  e^-x dx)

   = -(xe^-x + e^-x) + C
   

   = -xe^-x + e^-x + C
   

2.  e^x sin x dx = …
   

    e^x sin x dx = sin x d(e^x)

   = e^x sin x –  e^x d(sin x)
   

   = e^x sin x –  e^x cos x dx
   

   = e^x sin x – cos x d(e^x)
   

   = e^x sin x – [e^x cos x –  e^x d(cos x)]
   

   = e^x sin x – [e^x cos x – – e^x sin x]
   

   = e^x sin x – e^x cos x –  e^x sin x dx
   

   sehingga diperoleh,
   

   = 2  e^x sin x dx

   = e^x sin x – e^x cos x
   

    e^x sin x dx = (e^x sin x – e^x cos x) + C
   

3. ln x dx = …
   

   ln x dx = x ln x – x d(ln x)
   

   = x ln x – x dx
   

   = x ln x – dx
   

   = x ln x – x + C
   

4. x dx = …
   

   $latex \int$ x dx = x d(x + 3)^3/2
   

   = x d(x + 3)^3/2
   

   = [x(x + 3)^3/2 –  (x + 3)^3/2 dx]
   

   = [x(x + 3)^3/2 –  (x + 3)^3/2 d(x + 3)]
   

   = [x(x + 3)^3/2 – (x + 3)^3/2] + C