Teknik pengintegralan parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.
Teorema 3
Jika u = u(x) dan v = v(x) masing-masing fungsi terdiferensial, maka u dv = uv –
v du.
Bukti :
Dari rumus turunan hasil kali dua fungsi diperoleh
(uv) = (
u(x)) v(x) + (
v(x)) u(x)
= v + u
Pengintegralan pada kedua ruas menghasilkan
(
(uv))dx =
(v
) +
(u
)
uv =
v du +
u dv
u dv = uv +
v du
Contoh :
-
xe-x dx = …
ambil u = x dan dv = e-x dx
v = -e-x, maka
xe-x dx =
u dv = uv –
v du
= -xe-x –
e-x dx
= -xe-x – e-x + C
Atau bisa juga dikerjakan seperti ini
xe-x dx =
x d
= –
x d(e-x)
= -(xe-x –
e-x dx)
= -(xe-x + e-x) + C
= -xe-x + e-x + C
-
ex sin x dx = …
ex sin x dx =
sin x d(ex)
= ex sin x –
ex d(sin x)
= ex sin x –
ex cos x dx
= ex sin x –
cos x d(ex)
= ex sin x – [ex cos x –
ex d(cos x)]
= ex sin x – [ex cos x –
– ex sin x]
= ex sin x – ex cos x –
ex sin x dx
sehingga diperoleh,
= 2
ex sin x dx
= ex sin x – ex cos x
ex sin x dx =
(ex sin x – ex cos x) + C
-
ln x dx = …
ln x dx = x ln x –
x d(ln x)
= x ln x –
x
dx
= x ln x –
dx
= x ln x – x + C
-
x
dx = …
$latex \int$ x
dx =
x
d(x + 3)3/2
=
x d(x + 3)3/2
=
[x(x + 3)3/2 –
(x + 3)3/2 dx]
=
[x(x + 3)3/2 –
(x + 3)3/2 d(x + 3)]
=
[x(x + 3)3/2 –
(x + 3)3/2] + C
soal no.2 kok beda dengan punya saya gan!!
bedanya dmn ?
mgkn bisa sekalin crosscek dgn jawabannya mas