Aturan Kosinus


Tulisan ini (Aturan Kosinus) sebenarnya saya sudah tulis pada tulisan sebelumnya, tapi setelah saya baca kembali, sepertinya tulisan tersebut terlalu teoritis. Karena memang tulisan itu saya ‘berkiblat’ dari buku kuliah. Oleh karena itu, kali ini saya akan mencoba menulis kembali dengan materi yang lebih ringan. Aturan kosinus pada postingan ini akan memanfaatkan Pythagoras. Dalam tulisan ini akan digunakan dua jenis segitiga yaitu segitiga lancip dan tumpul.

Misal diberikan segitiga lancip ABC seperti pada gambar dibawah ini dengan CD sebagai tinggi segitiga ABC.Aturan_Kosinus_01

Misal akan dicari \cos \angle ABC. Perhatikan segitiga BDC, dengan memanfaatkan pythagoras, diperoleh.

CD^2 = BC^2-BD^2

h^2 = a^2-m^2 … (i)

Selanjutnya, perhatikan segitiga ADC, diperoleh

CD^2 = AC^2-AD^2

h^2 = b^2-(c-m)^2 … (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh

a^2-m^2 = b^2-(c-m)^2

\Leftrightarrow a^2-m^2 = b^2-(c^2-2mc+m^2)

\Leftrightarrow a^2-m^2 = b^2-c^2+2mc-m^2

\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2 = 2mc

Jika diperhatikan segitiga BDC, diperoleh \cos \angle DBC = \dfrac{m}{a}. Oleh karena itu, didapat

2(\cos \angle B \cdot a)c = a^2+c^2-b^2

\Leftrightarrow \cos \angle B (2ac) = a^2+c^2-b^2

\Leftrightarrow \cos \angle B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

Dengan cara yang sama, dapat dicari \cos \angle A dan \cos \angle C. Jadi, dapat disimpulkan bahwa

\cos \angle A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

\cos \angle B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

\cos \angle C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Selanjutnya, akan dijabarkan Aturan Kosinus dengan menggunakan segitiga tumpul. Diberikan segitiga tumpul ABC yang tumpul di A. Selanjutnya dibuat garis dari titik C sedemikian hingga tegak lurus dengan perpanjangan garis AB, sebut titik D (lihat gambar di bawah ini).Aturan_Kosinus_02

Misal akan dicari \cos \angle ABC. Perhatikan segitiga ADC, dengan memanfaatkan pythagoras, diperoleh.

CD^2 = AC^2-AD^2

h^2 = b^2-m^2 … (i)

Selanjutnya, perhatikan segitiga BDC, diperoleh

CD^2 = BC^2-BD^2

h^2 = a^2-(c+m)^2 … (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh

b^2-m^2 = a^2-(c+m)^2

\Leftrightarrow b^2-m^2 = a^2-(c^2+2mc+m^2)

\Leftrightarrow b^2-m^2 = a^2-c^2-2mc-m^2

\Leftrightarrow a^2-c^2-b^2 = 2mc

Jika diperhatikan segitiga BDC, diperoleh

\cos \angle DBC = \dfrac{m+c}{a}

\Leftrightarrow a \cos \angle DBC = m+c

\Leftrightarrow a \cos \angle DBC-c = m

Oleh karena itu, didapat

2(a \cos \angle DBC-c)c = a^2-c^2-b^2

\Leftrightarrow 2ac \cos \angle B-2c^2 = a^2-c^2-b^2

\Leftrightarrow 2ac \cos \angle B = a^2-c^2-b^2+2c^2

\Leftrightarrow \cos \angle B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

Jadi,

\cos \angle A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

\cos \angle B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

\cos \angle C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Untuk contoh penerapan Aturan Kosinus dalam soal, bisa lihat di beberapa soal berikut ini

Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2) no.2 dan no.10

Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (3) no.1 dan no.2

Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4) no.2 dan no.3

Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (3) no.6

Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (3) no.6

Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (3) no.6

One comment on “Aturan Kosinus

  1. Ping-balik: Menentukan Jenis Segitiga | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s