Agu 7 2012

Soal Olimpiade Matematika Tahun 2009


  1. Banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x2 – y2 untuk suatu bilangan ganjil x dan y adalah …
  2. Bilangan bulat positif terkecil n dengan n > 2009 sehingga \sqrt{\frac{1^3+2^3+...+n^3}{n}} merupakan bilangan bulat adalah …
  3. Banyaknya solusi real x dari persamaan 3[1/2 + log(cos x – sin x)] + 2log2(cos x – sin x) = \sqrt{2} adalah …
  4. Diberikan fungsi f : R \rightarrow R sedemikian hingga x2 f(x) + f(1 – x) = 2x – x4. Untuk semua x \epsilon R. Nilai f(2009) adalah …
  5. Banyaknya segitiga siku-siku yang kelilingnya 2009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah …
  6. Nilai eksak (\frac{2009}{1}) + (\frac{2009}{1}) + … + (\frac{2009}{2}) + (\frac{2009}{1004}) adalah …
  7. Jika tiga pasang suami istri akan menempati tujuh kursi yang berjajar ke samping dengan syarat semua istri duduk berdekatan dan tidak ada laki-laki dan perempuan bukan suami istri yang duduk berdekatan, maka banyak caranya adalah …
  8. Nilai \sum _{k=1}^{2009} FPB(k, 7) adalah …
  9. Banyaknya pasangan bilangan asli ( x , y ) sehingga x4 + 4y4 merupakan bilangan prima adalah …
  10. Bilangan real x sehingga pernyataan “x2 = x jika dan hanya jika x3 = x” benilai salah adalah …
  11. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di A dengan AB = 30cm dan AC = 40cm. Misalkan AD adalah garis tinggi dan E adalah titik tengah AD. Nilai dari BE + CE adalah …
  12. Suatu turnamen diikuti 20 tim, dimana setiap tim bertemu satu kali dengan semua tim yang lain. Kemenangan memperoleh poin 1, sedangkan kekalahan 0. Pada klasmen akhir, 3 tim teratas memperoleh poin yang sama, sedangkan 17 tim yang lain memperoleh poin yang berbeda-beda. Jumlah semua bilangan yang tidak muncul pada poin yang dimiliki suatu tim pada klasmen akhir adalah …
  13. Titik E terletak di dalam persegi ABCD sedemikian rupa sehingga ABE adalah segitiga sama sisi. Jika panjang AB = \sqrt{1+\sqrt{3}} dan F titik potong antara diagonal BD dengan segmen garis AE, maka luas segitiga ABF sama dengan …
  14. Misalkan f(y) = (\sqrt{3} + 1)sin y + (\sqrt{3} – 1)cos y. Nilai maksimum untuk (f(y))2 dimana bilangan real adalah …
  15. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 10. Misalkan E pada AB dan F pada BD dengan AE = FB = 5. Misalkan P adalah titik potong CE dan AF. Luas DFPC adalah …
  16. Jika xk+1 = xk + ½ untuk k = 1, 2, … dan x1 = 1, maka x1 + x2 + … + x400 = …
  17. Diberikan segitiga ABC tumpul (\angleABC > 900), AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panjang segmen garis BD, DE dan EC berturut-turut adalah 2, 3, dan 6. Panjang terpendek dari sisi segitiga ABC adalah …
  18. Jika 10999999999 dibagi oleh 7, maka sisanya adalah …
  19. Diketahui A adalah himpunan semua bilangan asli yang hais dibagi 3, tidak habis dibagi 5, dan tidak lebih dari 100. Banyaknya fungsi f himpunan semua bilangan real yang tidak nol ke dalam A yang memenuhi f(\frac{x}{y}) = f(x – y) adalah …
  20. Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut 4, 5, 7, dan 8. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10. Jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka banyaknya susunan ada …

Tinggalkan komentar