Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral


A(x) \frac{dy}{dx} + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk

\frac{dy}{dx} + \frac{B(x)}{A(x)} y = \frac{C(x)}{A(x)} .

misal P(x) = \frac{B(x)}{A(x)} dan Q(x) = \frac{C(x)}{A(x)} maka

\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) … (i)

untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral.

misal faktor integral nya adalah e^{\int P(x) dx} , kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh :

\frac{dy}{dx} e^{\int P(x) dx} + P(x) y e^{\int P(x) dx} = Q(x) e^{\int P(x) dx} … (ii)

jika diambil y e^{\int P(x) dx} dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya

\frac{d}{dx} (y e^{\int P(x) dx} ) = \frac{dy}{dx} e^{\int P(x) dx} + P(x) y e^{\int P(x) dx}

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh

\frac{d}{dx} (y e^{\int P(x) dx} ) = Q(x) e^{\int P(x) dx}

kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh

SOLUSI UMUM : y e^{\int P(x) dx} = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian \frac{dy}{dx} = 1

Contoh :

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :

  1. \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x

    Penyelesaian :

    Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil

    P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

    Faktor Integral : e^{\int 2x dx} = e^{x^2}

    Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh

    y e^{\int P(x) dx} = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C

    y e^{x^2} = \int 4x e^{x^2} dx + C

    y e^{x^2} = \int 4x e^{x^2} \frac{dx^2}{2x} + C

    y e^{x^2} = \int 2 e^{x^2} d(x2) + C

    y e^{x^2} = 2 e^{x^2} + c

    y = 2 + ce^{-x^2}

  2. x \frac{dy}{dx} = y + x3 + 3x2 – 2x

    Penyelesaian :

    x \frac{dy}{dx} – y = x3 + 3x2 – 2x [bagi dengan x]

    \frac{dy}{dx} \frac{1}{x} y = x2 + 3x – 2

    ambil P(x) = -\frac{1}{x} dan Q(x) = x2 + 3x – 2

    Faktor Integral : e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e-ln x = \frac{1}{x}

    sehingga penyelesaiannya

    y e^{\int P(x) dx} = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C

    y \frac{1}{x} = \int (x2 + 3x – 2) \frac{1}{x} dx + C

    y \frac{1}{x} = \int (x + 3 – 2 \frac{1}{x} ) dx + C

    y = \frac{1}{2} x3 + 3x2 – 2x ln x + cx

    y = \frac{1}{2} x3 + 3x2 – ln x2x + cx

  3. xy’ – 2y = x3 ex

    Penyelesaian :

    x \frac{dy}{dx} – 2y = x3 ex [bagi dengan x]

    \frac{dy}{dx} \frac{2}{x} y = x2 ex

    ambil P(x) = -\frac{2}{x} dan Q(x) = x2 ex

    Faktor Integral : e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e-2 ln x = \frac{1}{x^2}

    sehingga penyelesaiannya

    y e^{\int P(x) dx} = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C

    y \frac{1}{x^2} = \int (x2 ex) \frac{1}{x^2} dx + C

    y \frac{1}{x^2} = \int ex dx + C

    y \frac{1}{x^2} = ex + c

    y = x2 ex + c x2


Iklan

3 comments on “Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral

  1. Reblogged this on one piece and commented:
    persamaan differensial tingkat satu merupakan salah satu bagian dari persamaan biasa dimana ada tiga metode untuk menyelesaikannya yaitu dengan metode lagrange, metode bernoulli dan metode faktor integral

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s