Des 26 2012

Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral


A(x) \dfrac{dy}{dx} + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk

\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{B(x)}{A(x)} y = \dfrac{C(x)}{A(x)}

misal P(x) = \dfrac{B(x)}{A(x)} dan Q(x) = \dfrac{C(x)}{A(x)} maka

\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) … (i)

untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral.

misal faktor integral nya adalah e^{\displaystyle \int P(x) ~dx}, kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh :

\dfrac{dy}{dx} e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} + P(x) ~y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} = Q(x) e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} … (ii)

jika diambil y e^{\int P(x) dx} dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya

\dfrac{d}{dx} \left(y e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} \right) = \dfrac{dy}{dx} e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} + P(x) ~y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx}

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh

\dfrac{d}{dx} \left( y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} \right) = Q(x) ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx}

kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh

SOLUSI UMUM : y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} = \displaystyle \int Q(x) ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} dx + C

solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian \dfrac{dy}{dx} = 1

Contoh 1.

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :

  1. \dfrac{dy}{dx} + 2xy = 4x

    Penyelesaian.

    Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil

    P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

    Faktor Integral : e^{\displaystyle \int 2x ~dx} = e^{x^2}

    Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh

    y~e^{\displaystyle \int P(x) dx} = \displaystyle \int Q(x) ~ e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} ~dx + C

    y ~e^{x^2} = \displaystyle \int 4x ~e^{x^2} ~dx + C

    y ~e^{x^2} = \displaystyle \int 4x ~e^{x^2} \dfrac{dx^2}{2x} + C

    y ~e^{x^2} = \displaystyle \int 2 e^{x^2} d(x^2) + C

    y ~e^{x^2} = 2 e^{x^2} + C

    y = 2 + C~e^{-x^2}

  2. x ~\dfrac{dy}{dx} = y + x^3 + 3x^2 -2x

    Penyelesaian.

    x ~\dfrac{dy}{dx} -y = x^3 + 3x^2 -2x [bagi dengan x]

    \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{1}{x}y = x^2+3x-2

    ambil P(x) = -\dfrac{1}{x} dan Q(x) = x^2+3x-2

    Faktor Integral : e^{\displaystyle \int -\dfrac{1}{x} ~dx} = e^{-\ln x} = \dfrac{1}{x}

    sehingga penyelesaiannya

    y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} = \displaystyle \int Q(x) ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} dx + C

    y \dfrac{1}{x} = \displaystyle \int (x^2+ 3x -2) \dfrac{1}{x} dx + C

    y \dfrac{1}{x} = \displaystyle \int \left(x + 3 -2 \dfrac{1}{x} \right) dx + C

    y = \dfrac{1}{2} x^3 +3x^2 -2x \ln x + Cx

    y = \dfrac{1}{2} x^3 +3x^2 -\ln x^{2x} + Cx

  3. xy' -2y = x^3 ~e^x

    Penyelesaian.

    x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^3 ~e^x [bagi dengan x]

    \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{2}{x} y = x^2 ~e^x

    ambil P(x) = -\dfrac{2}{x} dan Q(x) = x^2 ~e^x

    Faktor Integral : e^{\displaystyle \int -\dfrac{2}{x} dx} = e^{-2} ~\ln x = \dfrac{1}{x^2}

    sehingga penyelesaiannya

    y ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} = \displaystyle \int Q(x) ~e^{\displaystyle \int P(x) ~dx} dx + C

    y \dfrac{1}{x^2} = \displaystyle \int (x^2 ~e^x) \dfrac{1}{x^2} ~dx + C

    y \dfrac{1}{x^2} = \displaystyle \int e^x ~dx + C

    y \dfrac{1}{x^2} = e^x + C

    y = x^2 ~e^x + Cx^2

3 comments on “Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral”

  2. Reblogged this on one piece and commented:
    persamaan differensial tingkat satu merupakan salah satu bagian dari persamaan biasa dimana ada tiga metode untuk menyelesaikannya yaitu dengan metode lagrange, metode bernoulli dan metode faktor integral

    Balas

Tinggalkan komentar