Feb 15 2016

Grup Faktor

Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup $S_3$ dan subgrup $H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} \right\}$ , telah diketahui bahwa $H$ bukan subgrup normal dari $S_3$ . Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri $H$ dari $S_3$ , yaitu

$S_3/H = \{ aH ~|~ a \in S_3 \} = \left\{ H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} H \right\}$

Kemudian didefiniskan operasi “ $*$ ” pada $S_3/H$ yaitu untuk sebarang $aH, bH \in S_3/H$ dengan definisi $(aH)(bH) = (ab)H$ . Apakah operasi $*$ pada $S_3/H$ well defined ?

Diketahui bahwa $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H$ dan $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H$ . Menggunakan definisi di atas, diperoleh

$\left( \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right)$

$= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \right) H$

$= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H$

$\left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right)$

$= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right) H$

$= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H$ .

Dari sini diperoleh $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H$ dan $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H$ , tapi $\left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right) \neq \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right)$ . Jadi, operasi $*$ tidak well defined. Hal ini terjadi karena $H$ bukan subgrup normal.

Teorema 1.

Diberikan $H$ subgrup normal dari $G$ . Dinotasikan semua himpunan koset kiri dari $H$ di $G$ yaitu $G/H = \{ aH|a \in G \}$ dan didefinisikan $*$ pada $G/H$ untuk setiap $aH,bH \in G/H$ yaitu $(aH)*(bH) = abH$ . Maka $(G/H,*)$ grup.

Bukti.

Pertama akan dibuktikan operasi $*$ pada $G/H$ well defined. Diambil sebarang $aH, a_1H, bH, b_1 H \in S_3/H$ dengan $aH = a_1H$ dan $bH = b_1H$ . Akan ditunjukkan $aH * bH = a_1H * b_1H$ atau $(a*b)H = (a_1*b_1)H$ atau ekuivalen dengan membuktikan $(a_1b_1)^{-1}(ab) \in H$ . Karena $aH=a_1H$ dan $bH=b_1H$ , berakibat $a=a_1h_1$ dan $b=b_1h_2$ untuk suatu $h_1, h_2 \in H$ . Perhatikan,

$(a_1b_1)^{-1}(ab) = b_1^{-1} a_1^{-1} a b$

$= b_1^{-1} a_1^{-1} a_1 h_1 b_1 h_2$

$= b_1^{-1} h_1 b_1 h_2$ .

Karena $H$ subgrup normal,berakibat $b_1^{-1} h_1 b_1 \in H$ . Sehingga diperoleh $(b_1^{-1} h_1 b_1) h_2 \in H$ . Oleh karena itu, $(a_1b_1)^{-1}(ab) \in H$ . Jadi, $abH = a_1b_1H$ . Jadi, $*$ well defined.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketertutupan dari operasi $*$ . Diambil sebarang $aH,bH \in G/H$ . Diperhatikan bahwa $(aH)(bH) = (ab)H$ . Karena $a,b \in G$ berakibat $ab \in G$ . Oleh karena itu, $(ab)H \in G/H$ . Sehingga $(aH)(bH) \in G/H$ . Jadi, operasi $*$ bersifat tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat asosiatif. Diambil sebarang $aH,bH,cih \in G/H$ . Perhatikan,

$(aH*bH)*cH = abH*cH$

$= (ab)cH$

$= a(bc)H$

$= aH * bcH$

$aH * (bH * cH)$ .

Selanjutnya akan dicari elemen identitas pada $G/H$ . Klaim $eh$ identitas di $G/H$ . Perhatikan

$(aH) * (eH) = aeH = aH = eaH = (eH) * (aH)$

Jadi, $eH$ merupakan elemen identitas di $G/H$ . Selanjutnya, ambil sebarang $aH \in G/H$ . Klaim bahwa $a^{-1}H$ invers dari $aH$ . Perhatikan

$(aH) * (a^{-1}H) = (aa^{-1})H = eH = (a^{-1}a)H = (a^{-1}H) * (aH)$

Jadi, untuk setiap $aH \in G/H$ , $a^{-1}H$ elemen invers dari $aH$ . Oleh karena itu, $(G/H,*)$ merupakan grup. $\blacksquare$

Definisi 2.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup normal dari $G$ . Grup $G/H$ disebut grup faktor (quotient group) $G$ terhadap $H$ .

Contoh 3.

Diberikan grup $\mathbb{Z}_8$ dan $H =\{ [0],[4] \}$ . Apakah $H$ subgrup normal ? Jika iya, tentukan grup faktor $\mathbb{Z}_8/H$ .

Karena grupnya berhingga dan

$[0]+[0]=[0], [0]+[4]=[4], [4]+[0]=[4], [4]+[4]=[8]=[0] \in H$

Sehingga dapat disimpulkan bahwa $H$ adalah subgrup $G$ . Lebih jauh, $H$ adalah subgrup komutatif. Berakibat $H$ merupakan subgrup normal. Perhatikan,

$[0]+H = \{[0],[4] \} = H$

$[1]+H = \{[1],[5]\}$

$[2]+H = \{[2],[6]\}$

$[3]+H= \{[3],[7]\}$

$[4]+H = \{[4],[0]\} = H$

Jadi, $\mathbb{Z}/H = \{ [0]+H, [1]+H, [2]+H, [3]+H\}$ . $\square$

Contoh 4.

Diberikan $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$ , yaitu kali langsung (direct product) dari $\mathbb{Z}_4$ dan $\mathbb{Z}_6$ . Misal

$H = \langle ([0],[1]) \rangle$

$([0],[1])^1 = ([0],[1])$

$([0],[1])^2 = ([0],[1])+ ([0],[1]) = ([0],[2])$

$([0],[1])^3 = ([0],[1])^2 + ([0],[1]) = ([0],[3])$

$([0],[1])^4 = ([0],[1])^3 + ([0],[1]) = ([0],[4])$

$([0],[1])^5 = ([0],[1])^4 + ([0],[1]) = ([0],[5])$

$([0],[1])^6 = ([0],[1])^5 + ([0],[1]) = ([0],[6]) = ([0],[0])$

$([0],[1])^7 = ([0],[1])^6 + ([0],[1]) = ([0],[1])$

Jadi, $H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]), ([0],[6]) \}$

Karena untuk sebarang $[n] \in \mathbb{Z}_6$ memenuhi $([0],[n]) \in H$ . Berakibat $([0],[n])+H=H$ . Diperhatikan bahwa untuk sebarang $([m],[n]) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$ , berlaku

$([m],[n]) = ([m],[0])+([0],[n])$

Sehingga diperoleh $([m],[n])+H = ([m],[0])+H$ . Selanjutnya akan dihitung anggota grup faktor $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H$ .

$([0],[0])+H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}$

$([1],[0])+H = \{ ([1],[0]), ([1],[1]), ([1],[2]), ([1],[3]), ([1],[4]), ([1],[5]) \}$

$([2],[0])+H = \{ ([2],[0]), ([2],[1]), ([2],[2]), ([2],[3]), ([2],[4]), ([2],[5]) \}$

$([3],[0])+H = \{ ([3],[0]), ([3],[1]), ([3],[2]), ([3],[3]), ([3],[4]), ([3],[5]) \}$

$([4],[0])+H = \{ ([4],[0]), ([4],[1]), ([4],[2]), ([4],[3]), ([4],[4]), ([4],[5]) \}$

$= \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}$

$= ([0],[0])+H$

Jadi, $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H = \{ ([0],[0])+H, ([1],[0])+H, ([2],[0])+H, ([3],[0])+H \}$ . $\square$

Teorema 5.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup normal dari $G$ . Jika $G$ grup komutatif, maka grup faktor $G/H$ juga komutatif.

Bukti.

Diambil sebarang $aH,bH \in G/H$ . Diperhatikan bahwa $(aH)(bH) = (ab)H$ . Karena $G$ komutatif, maka $ab=ba$ untuk setiap $a,b \in G$ . Sehingga diperoleh

$(aH)(bH) = (ab)H = (ba)H = (aH)(bH)$

Jadi, $G/H$ grup faktor komutatif. $\blacksquare$

1 comments on “Grup Faktor”

Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

	Thoriq pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	Micheal Jay pada Les Privat Matematika
	Raditya Putra pada Daerah Integral
	Hafizah Auladina pada Pembahasan TPA USM STAN 2015…
	Budi Sugiarto pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…

Bagikan ini:

Terkait

1 comments on “Grup Faktor”

Tinggalkan komentar Batalkan balasan