Grup Faktor


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup S_3 dan subgrup H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} \right\}, telah diketahui bahwa H bukan subgrup normal dari S_3. Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri H dari S_3, yaitu

S_3/H = \{ aH ~|~ a \in S_3 \} = \left\{ H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} H \right\}

Kemudian didefiniskan operasi “*” pada S_3/H yaitu untuk sebarang aH, bH \in S_3/H dengan definisi (aH)(bH) = (ab)H. Apakah operasi * pada S_3/H well defined ?

Diketahui bahwa \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H dan \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H. Menggunakan definisi di atas, diperoleh

\left( \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right)

= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \right) H

= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H

\left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right)

= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right) H

= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H.

Dari sini diperoleh \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H dan \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H, tapi \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right) \neq \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right). Jadi, operasi * tidak well defined. Hal ini terjadi karena H bukan subgrup normal.

Teorema 1.

Diberikan H subgrup normal dari G. Dinotasikan semua himpunan koset kiri dari H di G yaitu G/H = \{ aH|a \in G \} dan didefinisikan * pada G/H untuk setiap aH,bH \in G/H yaitu (aH)*(bH) = abH. Maka (G/H,*) grup.

Bukti.

Pertama akan dibuktikan operasi * pada G/H well defined. Diambil sebarang aH, a_1H, bH, b_1 H \in S_3/H dengan aH = a_1H dan bH = b_1H. Akan ditunjukkan aH * bH = a_1H * b_1H atau (a*b)H = (a_1*b_1)H atau ekuivalen dengan membuktikan (a_1b_1)^{-1}(ab) \in H. Karena aH=a_1H dan bH=b_1H, berakibat a=a_1h_1dan b=b_1h_2 untuk suatu h_1, h_2 \in H. Perhatikan,

(a_1b_1)^{-1}(ab) = b_1^{-1} a_1^{-1} a b

= b_1^{-1} a_1^{-1} a_1 h_1 b_1 h_2

= b_1^{-1} h_1 b_1 h_2.

Karena H subgrup normal,berakibat b_1^{-1} h_1 b_1 \in H. Sehingga diperoleh (b_1^{-1} h_1 b_1) h_2 \in H. Oleh karena itu, (a_1b_1)^{-1}(ab) \in H. Jadi, abH = a_1b_1H. Jadi, * well defined.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketertutupan dari operasi *. Diambil sebarang aH,bH \in G/H. Diperhatikan bahwa (aH)(bH) = (ab)H. Karena a,b \in G berakibat ab \in G. Oleh karena itu, (ab)H \in G/H. Sehingga (aH)(bH) \in G/H. Jadi, operasi * bersifat tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat asosiatif. Diambil sebarang aH,bH,cih \in G/H. Perhatikan,

(aH*bH)*cH = abH*cH

= (ab)cH

= a(bc)H

= aH * bcH

aH * (bH * cH).

Selanjutnya akan dicari elemen identitas pada G/H. Klaim eh identitas di G/H. Perhatikan

(aH) * (eH) = aeH = aH = eaH = (eH) * (aH)

Jadi, eH merupakan elemen identitas di G/H. Selanjutnya, ambil sebarang aH \in G/H. Klaim bahwa a^{-1}H invers dari aH. Perhatikan

(aH) * (a^{-1}H) = (aa^{-1})H = eH = (a^{-1}a)H = (a^{-1}H) * (aH)

Jadi, untuk setiap aH \in G/H, a^{-1}H elemen invers dari aH. Oleh karena itu, (G/H,*) merupakan grup. \blacksquare

Definisi 2.

Diberikan G grup dan H subgrup normal dari G. Grup G/H disebut grup faktor (quotient group) G terhadap H.

Contoh 3.

Diberikan grup \mathbb{Z}_8 dan H =\{ [0],[4] \}. Apakah H subgrup normal ? Jika iya, tentukan grup faktor \mathbb{Z}_8/H.

Karena grupnya berhingga dan

[0]+[0]=[0], [0]+[4]=[4], [4]+[0]=[4], [4]+[4]=[8]=[0] \in H

Sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah subgrup G. Lebih jauh, H adalah subgrup komutatif. Berakibat H merupakan subgrup normal. Perhatikan,

[0]+H = \{[0],[4] \} = H

[1]+H = \{[1],[5]\}

[2]+H = \{[2],[6]\}

[3]+H= \{[3],[7]\}

[4]+H = \{[4],[0]\} = H

Jadi, \mathbb{Z}/H = \{ [0]+H, [1]+H, [2]+H, [3]+H\}. \square

Contoh 4.

Diberikan \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6, yaitu kali langsung (direct product) dari \mathbb{Z}_4 dan \mathbb{Z}_6. Misal

H = \langle ([0],[1]) \rangle

([0],[1])^1 = ([0],[1])

([0],[1])^2 = ([0],[1])+ ([0],[1]) = ([0],[2])

([0],[1])^3 = ([0],[1])^2 + ([0],[1]) = ([0],[3])

([0],[1])^4 = ([0],[1])^3 + ([0],[1]) = ([0],[4])

([0],[1])^5 = ([0],[1])^4 + ([0],[1]) = ([0],[5])

([0],[1])^6 = ([0],[1])^5 + ([0],[1]) = ([0],[6]) = ([0],[0])

([0],[1])^7 = ([0],[1])^6 + ([0],[1]) = ([0],[1])

Jadi, H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]), ([0],[6]) \}

Karena untuk sebarang [n] \in \mathbb{Z}_6 memenuhi ([0],[n]) \in H. Berakibat ([0],[n])+H=H. Diperhatikan bahwa untuk sebarang ([m],[n]) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6, berlaku

([m],[n]) = ([m],[0])+([0],[n])

Sehingga diperoleh ([m],[n])+H = ([m],[0])+H. Selanjutnya akan dihitung anggota grup faktor (\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H.

([0],[0])+H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}

([1],[0])+H = \{ ([1],[0]), ([1],[1]), ([1],[2]), ([1],[3]), ([1],[4]), ([1],[5]) \}

([2],[0])+H = \{ ([2],[0]), ([2],[1]), ([2],[2]), ([2],[3]), ([2],[4]), ([2],[5]) \}

([3],[0])+H = \{ ([3],[0]), ([3],[1]), ([3],[2]), ([3],[3]), ([3],[4]), ([3],[5]) \}

([4],[0])+H = \{ ([4],[0]), ([4],[1]), ([4],[2]), ([4],[3]), ([4],[4]), ([4],[5]) \}

= \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}

= ([0],[0])+H

Jadi, (\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H = \{ ([0],[0])+H, ([1],[0])+H, ([2],[0])+H, ([3],[0])+H \}. \square

Teorema 5.

Diberikan G grup dan H subgrup normal dari G. Jika G grup komutatif, maka grup faktor G/H juga komutatif.

Bukti.

Diambil sebarang aH,bH \in G/H. Diperhatikan bahwa (aH)(bH) = (ab)H. Karena G komutatif, maka ab=ba untuk setiap a,b \in G. Sehingga diperoleh

(aH)(bH) = (ab)H = (ba)H = (aH)(bH)

Jadi, G/H grup faktor komutatif. \blacksquare

One comment on “Grup Faktor

  1. Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s