Grup Faktor

Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup $S_3$ dan subgrup $H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} \right\}$ , telah diketahui bahwa $H$ bukan subgrup normal dari $S_3$ . Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri $H$ dari $S_3$ , yaitu

$S_3/H = \{ aH ~|~ a \in S_3 \} = \left\{ H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix} H \right\}$

Kemudian didefiniskan operasi “ $*$ ” pada $S_3/H$ yaitu untuk sebarang $aH, bH \in S_3/H$ dengan definisi $(aH)(bH) = (ab)H$ . Apakah operasi $*$ pada $S_3/H$ well defined ?

Diketahui bahwa $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H$ dan $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H$ . Menggunakan definisi di atas, diperoleh

$\left( \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right)$

$= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \right) H$

$= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H$

$\left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right)$

$= \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right) H$

$= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix} H$ .

Dari sini diperoleh $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} H$ dan $\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} H$ , tapi $\left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix} H \right) \neq \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} \right) H * \left( \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} H \right)$ . Jadi, operasi $*$ tidak well defined. Hal ini terjadi karena $H$ bukan subgrup normal.

Teorema 1.

Diberikan $H$ subgrup normal dari $G$ . Dinotasikan semua himpunan koset kiri dari $H$ di $G$ yaitu $G/H = \{ aH|a \in G \}$ dan didefinisikan $*$ pada $G/H$ untuk setiap $aH,bH \in G/H$ yaitu $(aH)*(bH) = abH$ . Maka $(G/H,*)$ grup.

Bukti.

Pertama akan dibuktikan operasi $*$ pada $G/H$ well defined. Diambil sebarang $aH, a_1H, bH, b_1 H \in S_3/H$ dengan $aH = a_1H$ dan $bH = b_1H$ . Akan ditunjukkan $aH * bH = a_1H * b_1H$ atau $(a*b)H = (a_1*b_1)H$ atau ekuivalen dengan membuktikan $(a_1b_1)^{-1}(ab) \in H$ . Karena $aH=a_1H$ dan $bH=b_1H$ , berakibat $a=a_1h_1$ dan $b=b_1h_2$ untuk suatu $h_1, h_2 \in H$ . Perhatikan,

$(a_1b_1)^{-1}(ab) = b_1^{-1} a_1^{-1} a b$

$= b_1^{-1} a_1^{-1} a_1 h_1 b_1 h_2$

$= b_1^{-1} h_1 b_1 h_2$ .

Karena $H$ subgrup normal,berakibat $b_1^{-1} h_1 b_1 \in H$ . Sehingga diperoleh $(b_1^{-1} h_1 b_1) h_2 \in H$ . Oleh karena itu, $(a_1b_1)^{-1}(ab) \in H$ . Jadi, $abH = a_1b_1H$ . Jadi, $*$ well defined.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketertutupan dari operasi $*$ . Diambil sebarang $aH,bH \in G/H$ . Diperhatikan bahwa $(aH)(bH) = (ab)H$ . Karena $a,b \in G$ berakibat $ab \in G$ . Oleh karena itu, $(ab)H \in G/H$ . Sehingga $(aH)(bH) \in G/H$ . Jadi, operasi $*$ bersifat tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat asosiatif. Diambil sebarang $aH,bH,cih \in G/H$ . Perhatikan,

$(aH*bH)*cH = abH*cH$

$= (ab)cH$

$= a(bc)H$

$= aH * bcH$

$aH * (bH * cH)$ .

Selanjutnya akan dicari elemen identitas pada $G/H$ . Klaim $eh$ identitas di $G/H$ . Perhatikan

$(aH) * (eH) = aeH = aH = eaH = (eH) * (aH)$

Jadi, $eH$ merupakan elemen identitas di $G/H$ . Selanjutnya, ambil sebarang $aH \in G/H$ . Klaim bahwa $a^{-1}H$ invers dari $aH$ . Perhatikan

$(aH) * (a^{-1}H) = (aa^{-1})H = eH = (a^{-1}a)H = (a^{-1}H) * (aH)$

Jadi, untuk setiap $aH \in G/H$ , $a^{-1}H$ elemen invers dari $aH$ . Oleh karena itu, $(G/H,*)$ merupakan grup. $\blacksquare$

Definisi 2.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup normal dari $G$ . Grup $G/H$ disebut grup faktor (quotient group) $G$ terhadap $H$ .

Contoh 3.

Diberikan grup $\mathbb{Z}_8$ dan $H =\{ [0],[4] \}$ . Apakah $H$ subgrup normal ? Jika iya, tentukan grup faktor $\mathbb{Z}_8/H$ .

Karena grupnya berhingga dan

$[0]+[0]=[0], [0]+[4]=[4], [4]+[0]=[4], [4]+[4]=[8]=[0] \in H$

Sehingga dapat disimpulkan bahwa $H$ adalah subgrup $G$ . Lebih jauh, $H$ adalah subgrup komutatif. Berakibat $H$ merupakan subgrup normal. Perhatikan,

$[0]+H = \{[0],[4] \} = H$

$[1]+H = \{[1],[5]\}$

$[2]+H = \{[2],[6]\}$

$[3]+H= \{[3],[7]\}$

$[4]+H = \{[4],[0]\} = H$

Jadi, $\mathbb{Z}/H = \{ [0]+H, [1]+H, [2]+H, [3]+H\}$ . $\square$

Contoh 4.

Diberikan $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$ , yaitu kali langsung (direct product) dari $\mathbb{Z}_4$ dan $\mathbb{Z}_6$ . Misal

$H = \langle ([0],[1]) \rangle$

$([0],[1])^1 = ([0],[1])$

$([0],[1])^2 = ([0],[1])+ ([0],[1]) = ([0],[2])$

$([0],[1])^3 = ([0],[1])^2 + ([0],[1]) = ([0],[3])$

$([0],[1])^4 = ([0],[1])^3 + ([0],[1]) = ([0],[4])$

$([0],[1])^5 = ([0],[1])^4 + ([0],[1]) = ([0],[5])$

$([0],[1])^6 = ([0],[1])^5 + ([0],[1]) = ([0],[6]) = ([0],[0])$

$([0],[1])^7 = ([0],[1])^6 + ([0],[1]) = ([0],[1])$

Jadi, $H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]), ([0],[6]) \}$

Karena untuk sebarang $[n] \in \mathbb{Z}_6$ memenuhi $([0],[n]) \in H$ . Berakibat $([0],[n])+H=H$ . Diperhatikan bahwa untuk sebarang $([m],[n]) \in \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6$ , berlaku

$([m],[n]) = ([m],[0])+([0],[n])$

Sehingga diperoleh $([m],[n])+H = ([m],[0])+H$ . Selanjutnya akan dihitung anggota grup faktor $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H$ .

$([0],[0])+H = \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}$

$([1],[0])+H = \{ ([1],[0]), ([1],[1]), ([1],[2]), ([1],[3]), ([1],[4]), ([1],[5]) \}$

$([2],[0])+H = \{ ([2],[0]), ([2],[1]), ([2],[2]), ([2],[3]), ([2],[4]), ([2],[5]) \}$

$([3],[0])+H = \{ ([3],[0]), ([3],[1]), ([3],[2]), ([3],[3]), ([3],[4]), ([3],[5]) \}$

$([4],[0])+H = \{ ([4],[0]), ([4],[1]), ([4],[2]), ([4],[3]), ([4],[4]), ([4],[5]) \}$

$= \{ ([0],[0]), ([0],[1]), ([0],[2]), ([0],[3]), ([0],[4]), ([0],[5]) \}$

$= ([0],[0])+H$

Jadi, $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4)/H = \{ ([0],[0])+H, ([1],[0])+H, ([2],[0])+H, ([3],[0])+H \}$ . $\square$

Teorema 5.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup normal dari $G$ . Jika $G$ grup komutatif, maka grup faktor $G/H$ juga komutatif.

Bukti.

Diambil sebarang $aH,bH \in G/H$ . Diperhatikan bahwa $(aH)(bH) = (ab)H$ . Karena $G$ komutatif, maka $ab=ba$ untuk setiap $a,b \in G$ . Sehingga diperoleh

$(aH)(bH) = (ab)H = (ba)H = (aH)(bH)$

Jadi, $G/H$ grup faktor komutatif. $\blacksquare$

One comment on “Grup Faktor”

Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Invers Matriks… pada Metode Sarrus
	Frans pada Berpapasan dan Menyusul
	Hi! pada Pembahasan Soal Peluang UN…
	Aku pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Hendry pada Sifat-Sifat Determinan Matriks
	Achmad F pada Koleksi Buku
	kautsar muafa pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Erkyu pada Turunan log x, ln x, a^x dan e…
	yakob pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	linsa pada Koleksi Buku

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Grup Faktor”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan