Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup Normal, jika diberikan grup dan subgrup
, telah diketahui bahwa
bukan subgrup normal dari
. Dengan kata lain bahwa, terdapat koset kiri yang tidak sama dengan koset kanan. Sehingga apabila dihimpun semua koset kiri
dari
, yaitu
Kemudian didefiniskan operasi “” pada
yaitu untuk sebarang
dengan definisi
. Apakah operasi
pada
well defined ?
Diketahui bahwa dan
. Menggunakan definisi di atas, diperoleh
.
Dari sini diperoleh dan
, tapi
. Jadi, operasi
tidak well defined. Hal ini terjadi karena
bukan subgrup normal.
Teorema 1.
Diberikan subgrup normal dari
. Dinotasikan semua himpunan koset kiri dari
di
yaitu
dan didefinisikan
pada
untuk setiap
yaitu
. Maka
grup.
Bukti.
Pertama akan dibuktikan operasi pada
well defined. Diambil sebarang
dengan
dan
. Akan ditunjukkan
atau
atau ekuivalen dengan membuktikan
. Karena
dan
, berakibat
dan
untuk suatu
. Perhatikan,
.
Karena subgrup normal,berakibat
. Sehingga diperoleh
. Oleh karena itu,
. Jadi,
. Jadi,
well defined.
Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketertutupan dari operasi . Diambil sebarang
. Diperhatikan bahwa
. Karena
berakibat
. Oleh karena itu,
. Sehingga
. Jadi, operasi
bersifat tertutup.
Selanjutnya akan dibuktikan sifat asosiatif. Diambil sebarang . Perhatikan,
.
Selanjutnya akan dicari elemen identitas pada . Klaim
identitas di
. Perhatikan
Jadi, merupakan elemen identitas di
. Selanjutnya, ambil sebarang
. Klaim bahwa
invers dari
. Perhatikan
Jadi, untuk setiap ,
elemen invers dari
. Oleh karena itu,
merupakan grup.
Definisi 2.
Diberikan grup dan
subgrup normal dari
. Grup
disebut grup faktor (quotient group)
terhadap
.
Contoh 3.
Diberikan grup dan
. Apakah
subgrup normal ? Jika iya, tentukan grup faktor
.
Karena grupnya berhingga dan
Sehingga dapat disimpulkan bahwa adalah subgrup
. Lebih jauh,
adalah subgrup komutatif. Berakibat
merupakan subgrup normal. Perhatikan,
Jadi, .
Contoh 4.
Diberikan , yaitu kali langsung (direct product) dari
dan
. Misal
Jadi,
Karena untuk sebarang memenuhi
. Berakibat
. Diperhatikan bahwa untuk sebarang
, berlaku
Sehingga diperoleh . Selanjutnya akan dihitung anggota grup faktor
.
Jadi, .
Teorema 5.
Diberikan grup dan
subgrup normal dari
. Jika
grup komutatif, maka grup faktor
juga komutatif.
Bukti.
Diambil sebarang . Diperhatikan bahwa
. Karena
komutatif, maka
untuk setiap
. Sehingga diperoleh
Jadi, grup faktor komutatif.
Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful