Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (2)

Jika $\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ , maka $\det(P) = \ldots$

A. -3

B. -2

C. 1

D. 2

E. 3

PEMBAHASAN.

Misal $P = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$ dan $A = \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix}$ , didapat

$A^{-1} = \dfrac{1}{1 \cdot 1-2 \cdot 1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix}$

Perhatikan,

$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ A \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

Jadi diperoleh $b=1$ dan $d=0$ . Dengan cara yang sama didapat,

$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

Dari persamaan matriks tersebut, didapat $a+b=-1$ dan $c+d=3$ . Selanjutnya dengan mensubstitusikan $b=1$ dan $d=0$ , diperoleh $a=-2$ dan $c=3$ . Kemudian didapat matriks $P = \begin{pmatrix} -2&1\\ 3&0 \end{pmatrix}$ . Dengan demikian diperoleh

$\det(P) = -2 \cdot 0 -3\cdot 1 = -3.$

JAWABAN : A
Misalkan $U_k$ dan $S_k$ berturut-turut menyatakan suku ke- $k$ dan jumlah $k$ suku pertama suatu barisan aritmetaika. Jika $U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} = 72$ , maka $S_{13} = \ldots$

A. 81

B. 144

C. 156

D. 194

E. 312

PEMBAHASAN.

Ingat bahwa $U_k = a+(k-1)b$ dan $S_k = \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b)$ . Perhatikan,

$\begin{array}{rl} U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} &= 72\\ 6a+36b &= 72\\ a+6b &= 12. \end{array}$

Selanjutnya didapat

$\begin{array}{rl} S_k &= \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b)\\ S_{13} &= \dfrac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ &= \dfrac{13}{2}(2a+12b)\\ &= 13(a+6b)\\ &= 13(12) = 156. \end{array}$

JAWABAN : C
Titik $X$ , $Y$ , dan $Z$ terletak pada segitiga $ABC$ sehingga $AZ = AY$ , $BZ = BX$ , $CX = CY$ seperti tampak pada gambar. Jika $BC$ , $CA$ , dan $AB$ berturut-turut adalah $a~cm$ , $b~cm$ , dan $c~cm$ , maka $2AY = \ldots cm$ .A. $a+b+c$

B. $a-b+c$

C. $a+b-c$

D. $-a-b+c$

E. $b+c-a$

PEMBAHASAN.

Misal $AY = AZ = x$ , maka $BX = BZ = c-x$ dan $CX = CA = b-x$ . Selanjutnya perhatikan sisi $BC$

$\begin{array}{rl} BC &= BX + CX\\ a &= c-x+b-x\\ a &= b+c-2x\\ 2x &= b+c-a. \end{array}$

Karena $x = AY$ , berakibat $2AY = b+c-a$ .

JAWABAN : E
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak …

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

E. 8

PEMBAHASAN.

Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Dari 5 nilai ujian yang didapatkan oleh siswa tersebut, apabila nilai tersebut diurutkan, maka didapatkan : 4, 5, 6, 7, 8. Oleh karena itu diperoleh Median dari 5 data tersebut adalah 6.

Misalkan nilai ujian ke-6 adalah $x$ . Jika $x$ adalah 1 sampai dengan 5 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

$x, 4, 5, 6, 7, 8$

Median dari 6 data tersebut berada di antara 5 dan 6, yaitu $\dfrac{5+6}{2} = \dfrac{11}{2}$ . Sedangkan ketentuan pada soal adalah bahwa rata-rata dari 6 ujian lebih kecil dari Mediannya. Perhatikan,

$\begin{array}{rl} \dfrac{x+4+5+6+7+8}{6} &< \dfrac{11}{2}\\ x+30 &< 33\\ x &< 3 \end{array}$

Karena $x<3$ , maka $x$ yang mungkin adalah 1 dan 2.

Jika $x$ adalah 7 sampai 10 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

$4, 5, 6, 7, 8, x$

Median dari ke-6 data tersebut berada di antara 6 dan 7, yaitu $\dfrac{6+7}{2} = \dfrac{13}{2}$ . Dari ketentuan soal, didapat

$\begin{array}{rl} \dfrac{4+5+6+7+8+x}{6} &< \dfrac{13}{2}\\ 30+x &< 39\\ x &< 9 \end{array}$

Karena $x<9$ , maka $x$ yang mungkin adalah 7 dan 8. Oleh karena itu, nilai ulangan terakhir yang mungkin adalah 1, 2, 7, atau 8. Jadi, nilai ujian ke-6 yang mungkin ada sebanyak 4.

JAWABAN : C
Diketahui $f(x) = x^2+ax+b$ . Jika $f(b+1) = 0$ dan $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1$ , maka $a+2b = \ldots$

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

PEMBAHASAN.

Karena $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1$ , maka dapat memanfaatkan Dalil L’Holpital, sehingga diperoleh

$\lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x+b)}{1} = -1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f'(x+b) = -1$

Perhatikan,

$\begin{array}{rl} f(x+b) &= (x+b)^2+a(x+b)+b\\ &= x^2+2bx+b^2+ax+ab+b\\ &= x^2+(a+2b)x+(b^2+ab+b)\\ f'(x+b) &= 2x + a+2b. \end{array}$

Selanjutnya, didapat

$\begin{array}{rl} \lim_{x \to 0} f'(x+b) &= -1\\ \lim_{x \to 0} 2x + a+2b &= -1\\ a+2b &= 1. \end{array}$

JAWABAN : D
Jika $3x-2y = -1$ , $-2x+3y = 4$, $4x+by = 4b$ , dan $ax+3y = 2a$ , maka $a+b = \ldots$

A. 8

B. 4

C. 3

D. -4

E. -8

PEMBAHASAN.

Perhatikan,

$\begin{array}{rl} 3x-2y = -1 &~~~\text{ (i)}\\ -2x+3y = 4 &~~~\text{ (ii)}\\ 4x+by = 4b &~~~\text{ (iii)}\\ ax+3y = 2a &~~~\text{ (iv)} \end{array}$

Eliminasi persamaan (i) dan (ii)

$\begin{array}{ll} 3x-2y = -1 &(\times 2)\\ \underline{-2x+3y = 4} &(\times 3)\\ &\\ 6x-4y = -2 &\\ \underline{-6x+9y = 12}~~~+&\\ &\\ 5y = 10 & \\ y = 2 &. \end{array}$

Selanjutnya substitusi $y = 2$ ke persamaan (i), sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl} 3x-2\left( 2 \right) &= -1\\ 3x-4 &= -1\\ 3x &= 3\\ x &= 1. \end{array}$

Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan (iii), didapat

$\begin{array}{rl} 4x+by &= 4b\\ 4(1) + b(2) &= 4b\\ 4 + 2b &= 4b\\ 4 &= 2b\\ 2 &= b. \end{array}$

Kemudian dengan mensubstitusikan nilai $x$ dan $y$ ke persamaan (iv), didapat

$\begin{array}{rl} ax+3y &= 2b\\ a(1) + 3(2) &= 2a\\ a + 6 &= 2a\\ 6 &= a. \end{array}$

Jadi, didapat $a+b = 6+2 = 8.$

JAWABAN : A
Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1$ adalah …

A. $x<0$

B. $0<x\leq 22$

C. $0<x<4$

D. $2\leq x<4$

E. $x>4$

PEMBAHASAN.

Sesuai dengan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|x-2| = \begin{cases} x-2 & ,x \geq 2\\ -(x-2) & ,x<2. \end{cases}$

untuk kasus $x \geq 2$ , perhatikan

$\begin{array}{rl} \dfrac{(x-2)+x}{2-(x-2)} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{2-x+2} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -\dfrac{4-x}{4-x} &\geq 0\\ \dfrac{3x-6}{4-x} &\geq 0, ~~~x \neq 4 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}$

Sehingga didapat $x=2$ atau $x=4$ . Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh

$2 \leq x < 4$

untuk kasus $x < 2$ , perhatikan

$\begin{array}{rl} \dfrac{-(x-2)+x}{2-(-(x-2))} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{x}{x} &\geq 0\\ \dfrac{2-x}{x} &\geq 0, ~~~x \neq 0 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}$

Sehingga didapat $x=2$ atau $x=0$ . Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh $0 < x \leq 2$

Dengan menggabungkan kedua garis bilangan, didapat

$0 < x < 4$

JAWABAN : C

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	aginta di Barisan dan Deret Geometr…
	Elda di Koleksi Buku
	Yuli di Koleksi Buku
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Interpolasi Lagrange
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putri Rizki Neranyra… di Tanya Jawab MATEMATIKA
	edwin suryaputra di Interpolasi Lagrange

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan