Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (2)


  1. Jika \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} dan \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}, maka \det(P) = \ldots

    A. -3

    B. -2

    C. 1

    D. 2

    E. 3

    PEMBAHASAN.

    Misal P = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} dan A = \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix}, didapat

    A^{-1} = \dfrac{1}{1 \cdot 1-2 \cdot 1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix}

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ A \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{array}

    Jadi diperoleh b=1 dan d=0. Dengan cara yang sama didapat,

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{array}

    Dari persamaan matriks tersebut, didapat a+b=-1 dan c+d=3. Selanjutnya dengan mensubstitusikan b=1 dan d=0, diperoleh a=-2 dan c=3. Kemudian didapat matriks P = \begin{pmatrix} -2&1\\ 3&0 \end{pmatrix}. Dengan demikian diperoleh

    \det(P) = -2 \cdot 0 -3\cdot 1 = -3.

    JAWABAN : A

  2. Misalkan U_k dan $S_k$ berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmetaika. Jika U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} = 72, maka S_{13} = \ldots

    A. 81

    B. 144

    C. 156

    D. 194

    E. 312

    PEMBAHASAN.

    Ingat bahwa U_k = a+(k-1)b dan S_k = \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b). Perhatikan,

    \begin{array}{rl} U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} &= 72\\ 6a+36b &= 72\\ a+6b &= 12. \end{array}

    Selanjutnya didapat

    \begin{array}{rl} S_k &= \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b)\\ S_{13} &= \dfrac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ &= \dfrac{13}{2}(2a+12b)\\ &= 13(a+6b)\\ &= 13(12) = 156. \end{array}

    JAWABAN : C

  3. Titik X, Y, dan Z terletak pada segitiga ABC sehingga AZ = AY, BZ = BX, CX = CY seperti tampak pada gambar. Jika BC, CA, dan AB berturut-turut adalah a~cm, b~cm, dan c~cm, maka 2AY = \ldots cm.A. a+b+c

    B. a-b+c

    C. a+b-c

    D. -a-b+c

    E. b+c-a

    PEMBAHASAN.

    Misal AY = AZ = x, maka BX = BZ = c-x dan CX = CA = b-x. Selanjutnya perhatikan sisi BC

    \begin{array}{rl} BC &= BX + CX\\ a &= c-x+b-x\\ a &= b+c-2x\\ 2x &= b+c-a. \end{array}

    Karena x = AY, berakibat 2AY = b+c-a.

    JAWABAN : E

  4. Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak …

    A. 2

    B. 3

    C. 4

    D. 6

    E. 8

    PEMBAHASAN.

    Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Dari 5 nilai ujian yang didapatkan oleh siswa tersebut, apabila nilai tersebut diurutkan, maka didapatkan : 4, 5, 6, 7, 8. Oleh karena itu diperoleh Median dari 5 data tersebut adalah 6.

    Misalkan nilai ujian ke-6 adalah x. Jika x adalah 1 sampai dengan 5 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

    x, 4, 5, 6, 7, 8

    Median dari 6 data tersebut berada di antara 5 dan 6, yaitu \dfrac{5+6}{2} = \dfrac{11}{2}. Sedangkan ketentuan pada soal adalah bahwa rata-rata dari 6 ujian lebih kecil dari Mediannya. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \dfrac{x+4+5+6+7+8}{6} &< \dfrac{11}{2}\\ x+30 &< 33\\ x &< 3 \end{array}

    Karena x<3, maka x yang mungkin adalah 1 dan 2.

    Jika x adalah 7 sampai 10 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

    4, 5, 6, 7, 8, x

    Median dari ke-6 data tersebut berada di antara 6 dan 7, yaitu \dfrac{6+7}{2} = \dfrac{13}{2}. Dari ketentuan soal, didapat

    \begin{array}{rl} \dfrac{4+5+6+7+8+x}{6} &< \dfrac{13}{2}\\ 30+x &< 39\\ x &< 9 \end{array}

    Karena x<9, maka x yang mungkin adalah 7 dan 8. Oleh karena itu, nilai ulangan terakhir yang mungkin adalah 1, 2, 7, atau 8. Jadi, nilai ujian ke-6 yang mungkin ada sebanyak 4.

    JAWABAN : C

  5. Diketahui f(x) = x^2+ax+b. Jika f(b+1) = 0 dan \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1, maka a+2b = \ldots

    A. -2

    B. -1

    C. 0

    D. 1

    E. 2

    PEMBAHASAN.

    Karena \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1, maka dapat memanfaatkan Dalil L’Holpital, sehingga diperoleh

    \lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x+b)}{1} = -1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f'(x+b) = -1

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f(x+b) &= (x+b)^2+a(x+b)+b\\ &= x^2+2bx+b^2+ax+ab+b\\ &= x^2+(a+2b)x+(b^2+ab+b)\\ f'(x+b) &= 2x + a+2b. \end{array}

    Selanjutnya, didapat

    \begin{array}{rl} \lim_{x \to 0} f'(x+b) &= -1\\ \lim_{x \to 0} 2x + a+2b &= -1\\ a+2b &= 1. \end{array}

    JAWABAN : D

  6. Jika 3x-2y = -1, $-2x+3y = 4$, 4x+by = 4b, dan ax+3y = 2a, maka a+b = \ldots

    A. 8

    B. 4

    C. 3

    D. -4

    E. -8

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} 3x-2y = -1 &~~~\text{ (i)}\\ -2x+3y = 4 &~~~\text{ (ii)}\\ 4x+by = 4b &~~~\text{ (iii)}\\ ax+3y = 2a &~~~\text{ (iv)} \end{array}

    Eliminasi persamaan (i) dan (ii)

    \begin{array}{ll} 3x-2y = -1 &(\times 2)\\ \underline{-2x+3y = 4} &(\times 3)\\ &\\ 6x-4y = -2 &\\ \underline{-6x+9y = 12}~~~+&\\ &\\ 5y = 10 & \\ y = 2 &. \end{array}

    Selanjutnya substitusi y = 2 ke persamaan (i), sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} 3x-2\left( 2 \right) &= -1\\ 3x-4 &= -1\\ 3x &= 3\\ x &= 1. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke persamaan (iii), didapat

    \begin{array}{rl} 4x+by &= 4b\\ 4(1) + b(2) &= 4b\\ 4 + 2b &= 4b\\ 4 &= 2b\\ 2 &= b. \end{array}

    Kemudian dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke persamaan (iv), didapat

    \begin{array}{rl} ax+3y &= 2b\\ a(1) + 3(2) &= 2a\\ a + 6 &= 2a\\ 6 &= a. \end{array}

    Jadi, didapat a+b = 6+2 = 8.

    JAWABAN : A

  7. Semua bilangan real x yang memenuhi \dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1 adalah …

    A. x<0

    B. 0<x\leq 22

    C. 0<x<4

    D. 2\leq x<4

    E. x>4

    PEMBAHASAN.

    Sesuai dengan definisi nilai mutlak, diperoleh

    |x-2| = \begin{cases} x-2 & ,x \geq 2\\ -(x-2) & ,x<2. \end{cases}

    untuk kasus x \geq 2, perhatikan

    \begin{array}{rl} \dfrac{(x-2)+x}{2-(x-2)} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{2-x+2} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -\dfrac{4-x}{4-x} &\geq 0\\ \dfrac{3x-6}{4-x} &\geq 0, ~~~x \neq 4 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}

    Sehingga didapat x=2 atau x=4. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh

    2 \leq x < 4

    untuk kasus x < 2, perhatikan

    \begin{array}{rl} \dfrac{-(x-2)+x}{2-(-(x-2))} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{x}{x} &\geq 0\\ \dfrac{2-x}{x} &\geq 0, ~~~x \neq 0 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}

    Sehingga didapat x=2 atau x=0. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh0 < x \leq 2

    Dengan menggabungkan kedua garis bilangan, didapat

    0 < x < 4

    JAWABAN : C

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s