Feb 11 2014

Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (1)


1.  Bentuk (1+3\sqrt{2})-(4-\sqrt{50}) = \ldots

A. -2\sqrt{2}-3

B. -2\sqrt{2}+5

C. 8\sqrt{2}-3

D. 8\sqrt{2}+3

E. 8\sqrt{2}+5

Pembahasan

(1+3\sqrt{2})-(4-\sqrt{50}) = 1-4 + 3\sqrt{2}+\sqrt{50})

= 3 + 3\sqrt{2} + \sqrt{25 \cdot 2}

= 3 + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}

= 3 + 8\sqrt{2}

Jawaban : D

2.  Diketahui ^2\log 3 = a dan ^3\log 5 = b, maka ^{15}\log 20 adalah …

A. \dfrac{2}{a}

B. \dfrac{2+ab}{a(1+b)}

C. \dfrac{a}{2}

D. \dfrac{b+1}{2ab+1}

E. \dfrac{a(1+b)}{2+ab}

Pembahasan

^{15}\log 20 = \dfrac{\log 20}{\log 15}

= \dfrac{\log (2^2.5)}{\log (3.5)}

= \dfrac{\log 2^2 + \log 5}{\log 3 + \log 5}

= \dfrac{^2\log 2^2 + ^2\log 5}{^2\log 3 + ^2\log 5}

= \dfrac{2 + ^2\log 5}{a + ^2\log 5}

= \dfrac{2 + \dfrac{\log 5}{\log 2}}{a + \dfrac{\log 5}{\log 2}}

= \dfrac{2 + \dfrac{^3\log 5}{^3\log 2}}{a + \dfrac{^3\log 5}{^3\log 2}}

= \dfrac{2 + \dfrac{b}{1/a}}{a + \dfrac{b}{1/a}}

= \dfrac{2 + ab}{a + ab}

= \dfrac{2 + ab}{a(1 + b)}

Jawaban : B

3.  Persamaan kuadrat x^2-5x+6=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_1-3 dan x_2-3 adalah …

A. x^2-2x=0

B. x^2-2x+30=0

C. x^2+x=0

D. x^2+x-30=0

E. x^2+x+30=0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat x^2-5x+6 = 0. Diperoleh

x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = 5 dan x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = 6

Bentuk Persamaan Kuadrat : x^2-(x_1+x_2)x+(x_1x_2)=0

Diperoleh persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_1-3 dan x_2-3 adalah

x^2-(x_1-3+x_2-3)x + ((x_1-3)(x_2-3)) = 0

x^2-(x_1+x_2-6)x + (x_1x_2-3(x_1+x_2)+9) = 0

x^2- (5-6)x + (6-3(5)+9) = 0

x^2+x = 0

Jawaban : C

4.  Perhatikan gambarun_math_2007_4 

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….

A. y = x^2+2x+3

B. y = x^2-2x-3

C. y = x^2+2x-3

D. y = -x^2-2x+3

E. y = -x^2+2x+3

Pembahasan

Titik puncak = (1,4) dan titik potong di (-1,0) dan (3,0)

y = a(x-p)^2+q

0 = a(-1-1)^2+4

0=4a+4

a=-1

y = -1(x-1)^2+4

= -1(x^2-2x+1)+4

= -x^2+2x-1+4

= -x^2+2x+3

Jawaban : E

5.  Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f(x)=3x^2-4x+6 dan g(x)=2x-1. Jika nilai (f \circ g)(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah …

A. 3\dfrac{2}{3} atau -2

B. -3\dfrac{2}{3} atau 2

C. \dfrac{3}{11} atau 2

D. -3\dfrac{2}{3} atau -2

E. -\dfrac{3}{11} atau -2

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(2x-1)

= 3(2x-1)^2-4(2x-1)+6

= 3(4x^2-4x+1)-8x+4+6

= 12x^2-12x+3-8x+4+6

= 12x^2-20x+13

101 = 12x^2-20x+13

12x^2-20x-88 = 0

3x^2-5x-22 = 0

(3x-11)(x+2) = 0

x = \dfrac{3}{11} atau x=-2

Jawaban :

6.  Akar-akar persamaan 3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9=0 adalah x_1 dan x_2. Jika x_1 > x_2, maka nilai dari 3x_1-x_2 = \ldots

A. -5

B. -1

C. 4

D. 5

E. 7

Pembahasan

3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9=0

3 \cdot 3^{2x}-28 \cdot 3^{x}+9=0

misal m = 3^x, maka

3m^2 -28m + 9 = 0

(3m-1)(m-9) = 0

m=\dfrac{1}{3} atau m=9

untuk m=\dfrac{1}{3}

3^x = \dfrac{1}{3}

3^x = 3^{-1}

x = -1

Untuk m=9

3^x = 3^2

x = 2

Diperoleh, x_1=2 dan x_2 = -1. Jadi, 3x_1-x_2 = 3(2)-(-1) = 7.

Jawaban : E

7.  Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x-2)^2+(y+1) = 13 di titik berabsis -1 adalah …

A. 3x-2y-3=0

B. 3x-2y-5=0

C. 3x+2y-9=0

D. 3x+2y+9=0

E. 3x+2y+5=0

Pembahasan.

Pusat lingkaran (2,-1) dan r = \sqrt{13}. Terlebih dahulu dicari titik ordinatnya yang berabsis -1

(-1-2)^2+(y+1)^2 = 13

9+y^2+2y+1=13

y^2+2y-3 = 0

(y+3)(y-1) = 0

y=-3 atau y=1

Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung yang melalui titik (-1,-3) atau (-1,1).

Persamaan garis singgung lingkaran : (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2

Untuk titik (-1,-3)

(-1-2)(x-2)+(-3-(-1))(y-(-1)) = 13

-3(x-2)-2(y+1) = 13

-3x+6-2y-2 = 13

-3x-2y-9 = 0

3x+2y+9 = 0

Untuk titik (-1,1)

(-1-2)(x-2)+(1-(-1))(y-(-1)) = 13

-3(x-2)+2(y+1) = 13

-3x+6+2y+2 = 13

-3x+2y-5 = 0

Jawaban : D

8.  Jika f(x) dibagi dengan (x-2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x-3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x-2)(2x-3) sisanya adalah …

A. 8x+8

B. 8x-8

C. -8x+8

D. -8x-8

E. -8x+6

Pembahasan

F(x) = (x-2)(2x-3)H(x)+px+q

Jika x=2, maka F(2) = 2p + q = 24 … (i)

Jika x=\dfrac{3}{2}, maka F \left( \dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{3}{2}p + q = 20 atau 3p + 2q = 40 … (ii)

Substitusi pers (i) ke (ii) sehingga diperoleh.

3p + 2(24-2p) = 40

3p + 48- 4p = 40

-p + 48 = 40

p = 8

Jika p = 8 , maka q = 24 - 2(8) = 24 - 16 = 8. Jadi sisanya adalah 8x+8

Jawaban : A

9.  Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2kg apel, 2kg anggur dan 1kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3kg apel, 1kg anggur dan 1kg jeruk dengan harga Rp61.000,00. Ina membeli 1kg apel,  3kg anggur dan 2kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1kg apel, 1kg anggur dan 4kg jeruk seluruhnya adalah …

A. Rp37.000,00

B. Rp44.000,00

C. Rp51.000,00

D. Rp55.000,00

E. Rp58.000,00

Pembahasan

Misal : x = apel, y = anggur, z = jeruk

2x+2y+z = 67.000 … (i)

3x+y+z = 61.000 … (ii)

x+3y+2z = 80.000 … (iii)

Elminasi pers (i) dan (ii), diperoleh

2x+2y+z = 67.000

3x+y+z = 61.000

——————————   –

-x+y = 6.000 … (iv)

Elminasi pers (iii) dan (i), diperoleh

2x+2y+z = 67.000 (x2)

x+3y+2z = 80.000 (x1)

—————————–   –

4x+4y+2z = 134.000

x+3y+2z = 80.000

—————————–  –

3x+y = 54.000 … (v)

Selanjutnya, eliminasi (iv) dan (v)

-x+y = 6.000

3x+y = 54.000

———————  –

-4x = -48.000 \Rightarrow x=12.000

Selanjutnya diperoleh

-x+y = 6.000

-12.000+y = 6.000

y = 18.000

2x+2y+z = 67.000

2(12.000)+2(18.000)+z = 67.000

24.000+36.000+z = 67.000

z = 7.000

Jadi, rarga 1kg apel, 1kg anggur dan 4kg jeruk seluruhnya adalah

= 12.000+18.000+4(7.000) = 58.000

Jawaban : E

10.Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2&-1\\ 1&4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x+y&2\\ 3&y\end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} 7&2\\ 3&1 \end{pmatrix}. Apabila A-B = C^t dengan C^t transpose matriks C, maka nilai x \cdot y = \ldots

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

E. 30

Pembahasan

A-B = C^t

\begin{pmatrix} x+y&2\\ 3&y\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2&-1\\ 1&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7&3\\ 2&1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x+y-2&3\\ 2&y-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7&3\\ 2&1 \end{pmatrix}

Diperoleh

x+y-2 = 7 \Rightarrow x+y = 9

y-4 = 1 \Rightarrow y = 5

Sehingga diperoleh x=4

Jadi, xy = 4 \cdot 5 = 20

Jawaban : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan komentar