Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012 [Kode Soal 221] (2)

Diketahui y = $\frac{1}{csc \quad x}$ . Jika y $\leq$ 1 + $\frac{2}{y}$ dan 0 $\leq$ x $\leq$ 2 $\pi$ , maka nilai x yang memenuhi adalah ….

(A) 0 < x < $\frac{\pi}{2}$

(B) 0 < x $\leq$ $\frac{\pi}{2}$

(C) 0 $\leq$ x $\leq$ $\pi$

(D) 0 < x $\leq$ $\pi$

(E) 0 < x < $\pi$

PEMBAHASAN :

y $\leq$ 1 + $\frac{2}{y}$

y – 1 + $\frac{2}{y}$ $\leq$ 0

$\frac{y(y-1)}{y}$ + $\frac{2}{y}$ $\leq$ 0

$\frac{y^2-y+2}{y}$ $\leq$ 0

pembilang :

y = $\frac{1}{csc \quad x}$ $\Rightarrow$ y = sin x

y² – y + 2 $\leq$ 0

(y + 1)(y – 2) $\leq$ 0

y = -1 atau y = 2

sin x = 2 (tidak ada x yang memenuhi)

sin x = -1 $\Rightarrow$ x = $\frac{3\pi}{2}$

penyebut :

y < 0

sin x < 0 $\Rightarrow$ x = 0, $\pi$ , $2\pi$

dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh

0 < x < $\pi$ atau $\frac{3\pi}{2}$ $\leq$ x < $2\pi$

JAWABAN :
$lim_{x \to 1}$ $\frac{sin \quad 2(x-1)}{(x^2-2x+1).cot \frac{1}{2}(x-1)}$ = ….

(A) 1/4

(B) 1/2

(C) 1

(D) 2

(E) 4

PEMBAHASAN :

$lim_{x \to 1}$ $\frac{sin \quad 2(x-1)}{(x^2-2x+1).cot \frac{1}{2}(x-1)}$

= $lim_{x \to 1}$ $\frac{2.sin(x-2).cos(x-1).tan \frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)(x-1)}$

= $lim_{x \to 1}$ $\frac{sin(x-2)}{(x-1)}$ $\frac{tan \frac{1}{2}(x-1)}{2.\frac{1}{2}(x-1)}$ $2.cos(x-1)$

= $lim_{x \to 1}$ 1. $\frac{1}{2}$ $2.cos(x-1)$

= 1

JAWABAN : C
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm², maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ….

(A) 256 cm³

(B) 320 cm³

(C) 364 cm³

(D) 381 cm³

(E) 428 cm³

PEMBAHASAN :

Luas = luas alas + 4 luas sisi

192 = s² + 4st

(192 – s²)/4s = t

V = s²[(192 – s²)/4s]

= (192s² – s⁴)/4s

= 48s – s³/4

V’ = 48 – 3s²/4

0 = 48 – 3s²/4

48s = 3s²/4

s = 8cm

192 = s² + 4st

t = (192 – s²)/4s

= (192 – 8²)/4.8

= 4cm

Volume = s²t

= (8 cm)² 4 cm

= 256 cm³

JAWABAN : A
Jika diketahui xyz = 2⁶ dan (²log x)(²log yz) + (²log y)(²log z) = 10 dengan x, y, z $\geq$ 0, maka $\sqrt{^2log^2x+^2log^2y+^2log^2z}$ = ….

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

PEMBAHASAN :

xyz = 2⁶

²log (xyz) = ²log 2⁶

²log x + ²log y + ²log z = 6

(²log x)(²log yz) + (²log y)(²log z) = 10

(²log x)(²log y + ²log z) + (²log y)(²log z) = 10

²log x ²log y + ²log x ²log z + ²log y ²log z = 10

misal : a = ²log x, b = ²log y, c = ²log z

maka diperoleh

a + b + c = 6

ab + ac + bc = 10

$\sqrt{^2log^2x+^2log^2y+^2log^2z}$

= $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

= $\sqrt{(a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc}$

= $\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab-ac-bc)}$

= $\sqrt{(6)^2-2(10)}$

= $\sqrt{16}$

= 4

JAWABAN : C
Jika diketahui

a + b + c = 18

a² + b² + c² = 756

a² = bc

maka a = ….

(A) -18

(B) -12

(C) 1

(D) 12

(E) 18

PEMBAHASAN :

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(18)² = 756 + 2ab + 2ac + 2a²

(18)² = 756 + 2a(b + c) + 2a²

(18)² = 756 + 2a(b + c + a)

(18)² = 756 + 2a(18)

324 = 756 + 36a

-432 = 36a

-12 = a

JAWABAN : B
Jika kedua akar persamaan px² + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ….

(A) maksimum 30

(B) minimum 30

(C) minimum 6

(D) maksimum 6

(E) minimum -15/2

PEMBAHASAN :

px² + 8x + 3p = 0

x₁,₂ = $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

= $\frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4.p.3p}}{2.p}$

= $\frac{-8 \pm \sqrt{64-12p^2}}{2p}$

= $\frac{-8 \pm \sqrt{4(16-3p^2)}}{2p}$

= $\frac{-8 \pm 2\sqrt{16-3p^2}}{2p}$

= $\frac{-4 \pm \sqrt{16-3p^2}}{p}$

Karena memiliki dua akar rill (keduanya negatif), maka 16 – 3p² $\geq$ 0

16 – 3p² $\geq$ 0

p $\geq$ $\sqrt{16/3}$

$-\sqrt{16/3}$ $\leq$ p $\leq$ $\sqrt{16/3}$

ambil p = $-\sqrt{16/3}$

x₁,₂ = $\frac{-4 \pm \sqrt{16-3(-\sqrt{16/3})^2}}{-\sqrt{16/3}}$

= $\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-\sqrt{16/3}}$

= $\frac{-4}{-\sqrt{16/3}}$

x₁ = x₂ = $\frac{4}{\sqrt{16/3}}$ (tidak memenuhi karena nilai x₁,₂ positif)

(x₁)² + (x₂)² = 2 $(\frac{4}{\sqrt{16/3}})^2$

= 2 $(\frac{16}{16/3})$

= 2 (3)

= 6

ambil p = $\sqrt{16/3}$

x₁,₂ = $\frac{-4 \pm \sqrt{16-3(\sqrt{16/3})^2}}{\sqrt{16/3}}$

= $\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-\sqrt{16/3}}$

= $\frac{-4}{\sqrt{16/3}}$

(x₁)² + (x₂)² = 2 $(-\frac{4}{\sqrt{16/3}})^2$

= 2 $(\frac{16}{16/3})$

= 2 (3)

= 6

ambil p = 2 (sebagai pembanding utuk menentukan maks atau min)

x₁,₂ = $\frac{-4 \pm \sqrt{16-3(2)^2}}{2}$

= $\frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2}$

= $\frac{-4 \pm 2}{2}$

(x₁)² + (x₂)² = (-1)² + (-3)²

= 1 + 9

= 10

dapat disimpulkan bahwa 6 adalah nilai minimum.

JAWABAN : C
Apabila k = x + y, maka k² – k = 1 dan apabila k = x – y, maka k² + k = 1, maka x + y = …

(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{5}$

(4) $\frac{1}{2} \sqrt{5}$

PEMBAHASAN :

k² – k = 1

(x + y)² – (x + y) = 1

x² + 2xy + y² – x – y = 1 … (i)

k² + k = 1

(x – y)² + (x – y) = 1

x² – 2xy + y² + x – y = 1 … (ii)

(i) – (ii) = 4xy – 2x = 0

2x(2y – 1) = 0

2x = 0 atau 2y – 1 = 0

x = 0 y = 1/2

x + y = 0 + 1/2

= 1/2

k² – k = 1

k² – k – 1 = 0

k₁,₂ = $\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

= $\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$

= $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

k₁ = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}$

atau

k₂ = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{5}$

(ingat : k = x + y)

JAWABAN : A
Misalkan f : R $\rightarrow$ R dan g : R $\rightarrow$ R, f(x) = x + 2 dan (g o f)(x) = 2x² + 4x – 6. Misalkan juga x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari g(x) = 0, maka x₁ + 2x₂ = ….

(1) 0

(2) 1

(3) 3

(4) 5

PEMBAHASAN :

f(x) = x + 2

f^-1(x) = y – 2 = x – 2

g (x) = (g o I)(x)

= (g o f o f^-1)(x)

= ((g o f) o f^-1)(x)

= (g o f)(f^-1(x))

= (g o f)(x – 2)

= 2(x – 2)² + 4(x – 2) – 6

= 2(x² – 4x + 4) + 4x – 8 – 6

= 2x² – 8x + 8 + 4x – 8 – 6

= 2x² – 4x – 6

g(x) = 0

2x² – 4x – 6 = 0

2(x² – 2x – 3) = 0

2(x – 3)(x + 1) = 0

x₁ = 3 atau x₂ = -1

atau

x₂ = 3 atau x₁ = -1

x₁ + 2x₂ = 3 + 2(-1) = 1

x₁ + 2x₂ = -1 + 2(3) = 5

JAWABAN : C
Jika diketahui $\sqrt{y^2+2y+1}$ , $\frac{y^2+3y-1}{3}$ , y – 1 adalah tiga suku barisan aritmatika, maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah ….

(1) -1

(2) -2

(3) 1

(4) 2

PEMBAHASAN :

2u₂ = u₁ + u₃

2( $\frac{y^2+3y-1}{3}$ ) = (y – 1) – $\sqrt{y^2+2y+1}$

$\frac{2}{3}$ (y² + 3y – 1) – (y – 1) = – $\sqrt{y^2+2y+1}$

$\frac{2}{3}$ y² + y + $\frac{1}{3}$ = – $\sqrt{y^2+2y+1}$ [kuadratin kedua ruas]

$\frac{4}{9}$ y⁴ + y² + $\frac{1}{9}$ + 2( $\frac{2}{3}$ y²)(y) + 2( $\frac{2}{3}$ y²)( $\frac{1}{3}$ ) + 2(3y)( $\frac{1}{3}$ )) = y² + 2y + 1

$\frac{4}{9}$ y⁴ + $\frac{4}{3}$ y³ + $\frac{4}{9}$ y² – $\frac{4}{3}$ y – $\frac{8}{9}$ = 0

dengan menggunakan metode horner, diperoleh

y₁ = -2, y₂ = y₃ = -1 atau y₄ = 1

untuk y = -2

u₂ = $\frac{y^2+3y-1}{3}$

= $\frac{(-2)^2+3(-2)-1}{3}$

= $\frac{4-6-1}{3}$

= -1

untuk y = -1

u₂ = $\frac{y^2+3y-1}{3}$

= $\frac{(-1)^2+3(-1)-1}{3}$

= $\frac{1-3-1}{3}$

= -1

untuk y = 1

u₂ = $\frac{y^2+3y-1}{3}$

= $\frac{(1)^2+3(1)-1}{3}$

= $\frac{1+3-1}{3}$

= 1

JAWABAN : B
Diketahui bahwa x² + 2xy + 2y² = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x – y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah ….

(1) 4

(2) 1

(3) -4

(4) -1

PEMBAHASAN :

x² + 2xy + 2y² = 13

(x² + 2xy + y²) + y² = 13

(x + y)² + y² = 13

kemunhgkinan pertama :

x + y = 2 dan y = 3

maka x = -1

sehingga x – y = -4

kemuningkinan kedua :

x + y = 3 dan y = 2

maka x = 1

sehingga x – y = -1

karena persayatannya adalah x > 0 dan y > 0, maka jawaban yang memenuhi syarat adalah x – y = -1

JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

4 comments on “Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012 [Kode Soal 221] (2)”

Che Fernanda

Maret 29, 2014 @ 12:08 pm

mas soal no 10 simak ui 2012 [Kode Soal 221] (1), kenapa k yang d ambil k nya -2 dan -1 …?

Balas
- aimprof08
  
  April 3, 2014 @ 10:21 pm
  
  karena cuma k yang -2 dan -1 yang memenuhi, coba aja km cek kemungkinan yang ada, selain -2 dan -1, tidak memenuhi syarat.
  
  Balas
  - chefernanda
    
    April 9, 2014 @ 10:38 pm
    
    2 dan 1 kenapa gk boleh
    
    Balas
    - aimprof08
      
      April 13, 2014 @ 2:27 pm
      
      coba perhatikan persamaan terakhir $sin^2(x) - k.sin(x) + 2 \geq 0$
      dan persamaan umum dari persamaan kuadrat $x^2 + (a+b)x + ab = 0$
      jika kita substitusi 2 dan 1, tidak akan memenuhi di koefesien $x$ nya, ketika $a=1$ dan $b=2$ , maka $a+b=3$ , padahal yang kita butuhkan adalah tanda negatif yaitu $-k$ , makanya yang memenuhi itu -1 dan -2.
      
      Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Sri Muliati pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Nabilla Setyaningtya… pada Pembahasan TPA USM STAN 2014…
	Daffa pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	Hamuro pada Luas Segiempat Sembarang
	Anggi pada Pembahasan Soal Barisan dan De…
	al pada Metode Secant (Secant Met…
	Invers Matriks… pada Metode Sarrus
	Frans pada Berpapasan dan Menyusul
	Hi! pada Pembahasan Soal Peluang UN…
	Aku pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

4 comments on “Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012 [Kode Soal 221] (2)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan