Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012 [Kode Soal 221] (2)


  1. Diketahui y = \frac{1}{csc \quad x} . Jika y \leq 1 + \frac{2}{y} dan 0 \leq x \leq 2\pi, maka nilai x yang memenuhi adalah ….

    (A) 0 < x < \frac{\pi}{2}

    (B) 0 < x \leq \frac{\pi}{2}

    (C) 0 \leq x \leq \pi

    (D) 0 < x \leq \pi

    (E) 0 < x < \pi

    PEMBAHASAN :

    y \leq 1 + \frac{2}{y}

    y – 1 + \frac{2}{y} \leq 0

    \frac{y(y-1)}{y} \frac{2}{y} \leq 0

    \frac{y^2-y+2}{y} \leq 0

    pembilang :

    y = \frac{1}{csc \quad x} \Rightarrow y = sin x

    y2 – y + 2 \leq 0

    (y + 1)(y – 2) \leq 0

    y = -1 atau y = 2

    sin x = 2 (tidak ada x yang memenuhi)

    sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}

    penyebut :

    y < 0

    sin x < 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi

    dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh

    0 < x < \pi atau \frac{3\pi}{2} \leq x < 2\pi

    JAWABAN :

  2. lim_{x \to 1} \frac{sin \quad 2(x-1)}{(x^2-2x+1).cot \frac{1}{2}(x-1)} = ….

    (A) 1/4

    (B) 1/2

    (C) 1

    (D) 2

    (E) 4

    PEMBAHASAN :

    lim_{x \to 1} \frac{sin \quad 2(x-1)}{(x^2-2x+1).cot \frac{1}{2}(x-1)}

    = lim_{x \to 1} \frac{2.sin(x-2).cos(x-1).tan \frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)(x-1)}

    = lim_{x \to 1} \frac{sin(x-2)}{(x-1)} \frac{tan \frac{1}{2}(x-1)}{2.\frac{1}{2}(x-1)} 2.cos(x-1)

    = lim_{x \to 1} 1.\frac{1}{2} 2.cos(x-1)

    = 1

    JAWABAN : C

  3. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm2, maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ….

    (A) 256 cm3

    (B) 320 cm3

    (C) 364 cm3

    (D) 381 cm3

    (E) 428 cm3

    PEMBAHASAN :

    Luas = luas alas + 4 luas sisi

    192 = s2 + 4st

    (192 – s2)/4s = t

    V = s2[(192 – s2)/4s]

    = (192s2 – s4)/4s

    = 48s – s3/4

    V’ = 48 – 3s2/4

    0 = 48 – 3s2/4

    48s = 3s2/4

    s = 8cm

    192 = s2 + 4st

    t = (192 – s2)/4s

      = (192 – 82)/4.8

      = 4cm

    Volume = s2t

    = (8 cm)2 4 cm

    = 256 cm3

    JAWABAN : A

  4. Jika diketahui xyz = 26 dan (2log x)(2log yz) + (2log y)(2log z) = 10 dengan x, y, z \geq 0, maka \sqrt{^2log^2x+^2log^2y+^2log^2z} = ….

    (A) 2

    (B) 3

    (C) 4

    (D) 5

    (E) 6

    PEMBAHASAN :

    xyz = 26

    2log (xyz) = 2log 26

    2log x + 2log y + 2log z = 6

    (2log x)(2log yz) + (2log y)(2log z) = 10

    (2log x)(2log y + 2log z) + (2log y)(2log z) = 10

    2log x 2log y + 2log x 2log z + 2log y 2log z = 10

    misal : a = 2log x, b = 2log y, c = 2log z

    maka diperoleh

    a + b + c = 6

    ab + ac + bc = 10

    \sqrt{^2log^2x+^2log^2y+^2log^2z}

    = \sqrt{a^2+b^2+c^2}

    = \sqrt{(a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc}

    = \sqrt{(a+b+c)^2-2(ab-ac-bc)}

    = \sqrt{(6)^2-2(10)}

    = \sqrt{16}

    = 4

    JAWABAN : C

  5. Jika diketahui

    a + b + c = 18

    a2 + b2 + c2 = 756

    a2 = bc

    maka a = ….

    (A) -18

    (B) -12

    (C) 1

    (D) 12

    (E) 18

    PEMBAHASAN :

    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

    (18)2 = 756 + 2ab + 2ac + 2a2

    (18)2 = 756 + 2a(b + c) + 2a2

    (18)2 = 756 + 2a(b + c + a)

    (18)2 = 756 + 2a(18)

    324 = 756 + 36a

    -432 = 36a

    -12 = a

    JAWABAN : B

  6. Jika kedua akar persamaan px2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai ….

    (A) maksimum 30

    (B) minimum 30

    (C) minimum 6

    (D) maksimum 6

    (E) minimum -15/2

    PEMBAHASAN :

    px2 + 8x + 3p = 0

    x1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2-4.p.3p}}{2.p}

    = \frac{-8 \pm \sqrt{64-12p^2}}{2p}

    = \frac{-8 \pm \sqrt{4(16-3p^2)}}{2p}

    = \frac{-8 \pm 2\sqrt{16-3p^2}}{2p}

    = \frac{-4 \pm \sqrt{16-3p^2}}{p}

    Karena memiliki dua akar rill (keduanya negatif), maka 16 – 3p2 \geq 0

    16 – 3p2 \geq 0

    p \geq \sqrt{16/3}

    -\sqrt{16/3} \leq p \leq \sqrt{16/3}

    ambil p = -\sqrt{16/3}

    x1,2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16-3(-\sqrt{16/3})^2}}{-\sqrt{16/3}}

    = \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-\sqrt{16/3}}

    = \frac{-4}{-\sqrt{16/3}}

    x1 = x2 = \frac{4}{\sqrt{16/3}} (tidak memenuhi karena nilai x1,2 positif)

    (x1)2 + (x2)2 = 2 (\frac{4}{\sqrt{16/3}})^2

    = 2 (\frac{16}{16/3})

    = 2 (3)

    = 6

    ambil p = \sqrt{16/3}

    x1,2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16-3(\sqrt{16/3})^2}}{\sqrt{16/3}}

    = \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-\sqrt{16/3}}

    = \frac{-4}{\sqrt{16/3}}

    (x1)2 + (x2)2 = 2 (-\frac{4}{\sqrt{16/3}})^2

    = 2 (\frac{16}{16/3})

    = 2 (3)

    = 6

    ambil p = 2 (sebagai pembanding utuk menentukan maks atau min)

    x1,2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16-3(2)^2}}{2}

    = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2}

    = \frac{-4 \pm 2}{2}

    (x1)2 + (x2)2 = (-1)2 + (-3)2

    = 1 + 9

    = 10

    dapat disimpulkan bahwa 6 adalah nilai minimum.

    JAWABAN : C

  7. Apabila k = x + y, maka k2 – k = 1 dan apabila k = x – y, maka k2 + k = 1, maka x + y = …

    (1) \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}

    (2) \frac{1}{2}

    (3) \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{5}

    (4) \frac{1}{2} \sqrt{5}

    PEMBAHASAN :

    k2 – k = 1

    (x + y)2 – (x + y) = 1

    x2 + 2xy + y2 – x – y = 1 … (i)

    k2 + k = 1

    (x – y)2 + (x – y) = 1

    x2 – 2xy + y2 + x – y = 1 … (ii)

    (i) – (ii) = 4xy – 2x = 0

    2x(2y – 1) = 0

    2x = 0 atau 2y – 1 = 0

    x = 0 y = 1/2

    x + y = 0 + 1/2

    = 1/2

    k2 – k = 1

    k2 – k – 1 = 0

    k1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}

    = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

    k1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}

    atau

    k2 = \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{5}

    (ingat : k = x + y)

    JAWABAN : A

  8. Misalkan f : R \rightarrow R dan g : R \rightarrow R, f(x) = x + 2 dan (g o f)(x) = 2x2 + 4x – 6. Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar-akar dari g(x) = 0, maka x1 + 2x2 = ….

    (1) 0

    (2) 1

    (3) 3

    (4) 5

    PEMBAHASAN :

    f(x) = x + 2

    f-1(x) = y – 2 = x – 2

    g (x) = (g o I)(x)

    = (g o f o f-1)(x)

    = ((g o f) o f-1)(x)

    = (g o f)(f-1(x))

    = (g o f)(x – 2)

    = 2(x – 2)2 + 4(x – 2) – 6

    = 2(x2 – 4x + 4) + 4x – 8 – 6

    = 2x2 – 8x + 8 + 4x – 8 – 6

    = 2x2 – 4x – 6

    g(x) = 0

    2x2 – 4x – 6 = 0

    2(x2 – 2x – 3) = 0

    2(x – 3)(x + 1) = 0

    x1 = 3 atau x2 = -1

    atau

    x2 = 3 atau x1 = -1

    x1 + 2x2 = 3 + 2(-1) = 1

    x1 + 2x2 = -1 + 2(3) = 5

    JAWABAN : C

  9. Jika diketahui \sqrt{y^2+2y+1}, \frac{y^2+3y-1}{3} , y – 1 adalah tiga suku barisan aritmatika, maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah ….

    (1) -1

    (2) -2

    (3) 1

    (4) 2

    PEMBAHASAN :

    2u2 = u1 + u3

    2(\frac{y^2+3y-1}{3} ) = (y – 1) – \sqrt{y^2+2y+1}

    \frac{2}{3}(y2 + 3y – 1) – (y – 1) = –\sqrt{y^2+2y+1}

    \frac{2}{3}y2 + y + \frac{1}{3} = –\sqrt{y^2+2y+1} [kuadratin kedua ruas]

    \frac{4}{9}y4 + y2 + \frac{1}{9} + 2(\frac{2}{3}y2)(y) + 2(\frac{2}{3}y2)(\frac{1}{3}) + 2(3y)( \frac{1}{3})) = y2 + 2y + 1

    \frac{4}{9}y4 + \frac{4}{3}y3 + \frac{4}{9}y2\frac{4}{3}y – \frac{8}{9} = 0

    dengan menggunakan metode horner, diperoleh

    y1 = -2, y2 = y3 = -1 atau y4 = 1

    untuk y = -2

    u2 = \frac{y^2+3y-1}{3}

    = \frac{(-2)^2+3(-2)-1}{3}

    = \frac{4-6-1}{3}

    = -1

    untuk y = -1

    u2 = \frac{y^2+3y-1}{3}

    = \frac{(-1)^2+3(-1)-1}{3}

    = \frac{1-3-1}{3}

    = -1

    untuk y = 1

    u2 = \frac{y^2+3y-1}{3}

    = \frac{(1)^2+3(1)-1}{3}

    = \frac{1+3-1}{3}

    = 1

    JAWABAN : B

  10. Diketahui bahwa x2 + 2xy + 2y2 = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x – y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah ….

    (1) 4

    (2) 1

    (3) -4

    (4) -1

    PEMBAHASAN :

    x2 + 2xy + 2y2 = 13

    (x2 + 2xy + y2) + y2 = 13

    (x + y)2 + y2 = 13

    kemunhgkinan pertama :

    x + y = 2 dan y = 3

    maka x = -1

    sehingga x – y = -4

    kemuningkinan kedua :

    x + y = 3 dan y = 2

    maka x = 1

    sehingga x – y = -1

    karena persayatannya adalah x > 0 dan y > 0, maka jawaban yang memenuhi syarat adalah x – y = -1

    JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

sin x = 2 (tidak ada x yang memenuhi)

sin x = -1

4 comments on “Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2012 [Kode Soal 221] (2)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s