Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (3)


1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah …

A. \dfrac{3}{5} \sqrt{5}~cm

B. \dfrac{9}{5} \sqrt{5}~cm

C. \dfrac{18}{5} \sqrt{5}~cm

D. \dfrac{18}{5} \sqrt{10}~cm

E. 5\sqrt{5}~cm

Pembahasan

un_math_2010_21Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga EBT. Dimana jarak titik E ke BT adalah panjang garis EX dengan titik X terletak pada garis BT. Perhatikan.

BT = \sqrt{BC^2+CT^2}

= \sqrt{6^2+3^2}

= \sqrt{36+9}

= \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

EB = 6\sqrt{2}

ET = \sqrt{EG^2+GT^2}

= \sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2}

= \sqrt{72+9}

= \sqrt{81} = 9

\cos \angle EBT = \dfrac{EB^2+BT^2-ET}{2(EB)(BT)}

= \dfrac{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{5})^2-9^2}{2(6\sqrt{2})(3\sqrt{5})}

= \dfrac{72 + 45-81}{36\sqrt{10}}

= \dfrac{36}{36\sqrt{10}}

= \dfrac{1}{\sqrt{10}}

Dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh \sin \angle EBT = \dfrac{3}{\sqrt{10}}. Selanjutnya diperoleh

Luas \triangle EBT = \dfrac{1}{2} (EB)(BT) \sin \angle EBT

= \dfrac{1}{2} (6\sqrt{2})(3\sqrt{5}) \dfrac{3}{\sqrt{10}}

= \dfrac{1}{2} (18\sqrt{10}) \dfrac{3}{\sqrt{10}}

= 27

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EBT dengan BT sebagai alas, diperoleh

Luas \triangle EBT = \dfrac{1}{2} (BT)(EX)

27 = \dfrac{1}{2} (3\sqrt{5}) EX

EX = \dfrac{2.27}{3\sqrt{5}}

= \dfrac{18}{\sqrt{5}}

= \dfrac{18}{5}\sqrt{5}

Jadi, jarak titik E ke BT adalah \dfrac{18}{5}\sqrt{5}

Jawaban : C

2.  Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah …

A. \dfrac{1}{6} \sqrt{3}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. \sqrt{3}

Pembahasan

un_math_2010_22Misal panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a cm. Perhatikan

EX = \dfrac{1}{2} ED = \dfrac{1}{2} a\sqrt{2} = \dfrac{a}{2} \sqrt{2}

EX = XD = \dfrac{a}{2} \sqrt{2}

FX = \sqrt{FE^2 + EX^2}

= \sqrt{a^2 + \left( \dfrac{a}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{a^2+\dfrac{1}{2}a^2}

= \sqrt{\dfrac{3}{2}a^2}

= \dfrac{a}{2} \sqrt{6}

CX = \sqrt{CD^2 + DX^2}

= \sqrt{a^2 + \left( \dfrac{a}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{a^2+\dfrac{1}{2}a^2}

= \sqrt{\dfrac{3}{2}a^2}

= \dfrac{a}{2} \sqrt{6}

\cos \angle XCF = \dfrac{CX^2+CF^2-XF^2}{2 \cdot CF \cdot CX}

= \dfrac{\left(\dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right)^2+(a \sqrt{2})^2- \left( \dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right)^2}{2 \left( \dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right) (a \sqrt{2})}

= \dfrac{2a^2}{ a^2 \sqrt{12}}

= \dfrac{2a^2}{ 2a^2 \sqrt{3}}

= \dfrac{1}{\sqrt{3}}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

Jawaban : B

3.  Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

A. 192~cm^2

B. 172\sqrt{2}~cm^2

C. 162~cm^2

D. 148~cm^2

E. 144 ~cm^2

Pembahasan

un_math_2013_25Sudut pusat = \dfrac{360}{12} = 30^0.

Selanjutnya, diperoleh 12 segitiga yang berpusat di O dengan sudut pusat 30^0. Selanjutnya karena diketahui sudut pusat dan dua sisi yang mengapit sudut, bisa menggunakan Luas Segitiga Tanpa Diketahui Tinggi.

Luas segitiga = \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} r^2 \cdot \dfrac{1}{2}

= \dfrac{1}{4} r^2

Luas segi dua belas = 12 x Luas Segitiga

= 12 \times \dfrac{1}{4} r^2

= 3r^3

= 3(8)^2 = 192

Jawaban : A

4.  Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6~cm, BC = 3\sqrt{7}~cm dan AC = 3~cm. Tinggi prisma adalah 20~cm. Volume prisma adalah …un_math_2010_24

A. 55\sqrt{2}~cm^3

B. 60\sqrt{2}~cm^3

C. 75\sqrt{3}~cm^3

D. 90\sqrt{3}~cm^3

E. 120\sqrt{3}~cm^3

Pembahasan

Perhatikan segitiga ABC. Jika dipandang AC sebagai alas dan titik X berada pada alas AC sedemikian hingga BX tegak lurus dengan AC, diperoleh

BX^2 = AB^2-AX^2 = BC^2-CX^2

AB^2-AX^2 = BC^2-(AC-AX)^2

6^2-AX^2 = (3\sqrt{7})^2-(3-AX)^2

36-AX^2 = 63-(9-6AX+AX^2)

36-AX^2 = 63-9+6AX-AX^2

36 = 54+6AX

AX = \dfrac{36-54}{6} = -3

Jadi, BX =\sqrt{6^2-AX^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

Luas \triangle ABC = \dfrac{1}{2} (AC)(BX) = \dfrac{9}{2} \sqrt{3}

Volume = Luas \triangle ABC \times AD

= \dfrac{9}{2} \sqrt{3} \cdot 20

= 90 \sqrt{3}

Jawaban : D

5.  Himpunan penyelesaian persamaan 2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2\pi adalah …

A. \left \{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6} \right \}

B. \left \{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \right \}

C. \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3} \right \}

D. \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \right \}

E. \left \{ \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3} \right \}

Pembahasan

2 \cos^2 x- 3 \cos x + 1 = 0

(2 \cos x-1)(\cos x-1) = 0

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = 1

untuk \cos x = \dfrac{1}{2}

x = 60^0, 300^0 = \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}

untuk \cos x = 1

x = 0, 360^0 = 0 = \pi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \right \}.

Jawaban : D

6.  Hasil dari \dfrac{\sin (60-a) + \sin (60+a)}{\cos (30+a) + \cos (30-a)} = \ldots

A. -\sqrt{3}

B. -\dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. 1

E. \sqrt{3}

Pembahasan

INGAT : \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)

\cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)

\dfrac{\sin (60-a) + \sin (60+a)}{\cos (30+a) + \cos (30-a)} = \dfrac{2 \sin 120 \cos 2a}{2 \cos 60 \cos 2a}

= \dfrac{\sin 120}{\cos 60}

= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}}

= \sqrt{3}

Jawaban : E

7.  Diketahui (A+B) = \dfrac{\pi}{3} dan \sin A \sin B = \dfrac{1}{4}. Nilai \cos (A-B) = \ldots

A. -1

B. -\dfrac{1}{2}

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{3}{4}

E. 1

Pembahasan

\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos -\sin A \cdot \sin B

\cos \dfrac{\pi}{3} = \cos A \cos -\dfrac{1}{4}

\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}

\cos(A-B) = \cos A \cos + \sin A \cdot \sin B

= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1

Jawaban : E

8.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) = \ldots

A. -2

B. 0

C. 1

D. 2

E. 4

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) \times \left( \dfrac{\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x})}{(1-2x)-(1+2x)} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x})}{-4x)} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( -(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}) \right)

= -(\sqrt{1-2(0)}+\sqrt{1+2(0})

= -2

Jawaban : A

9.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x-\sin 2x}{6x} \right) = \ldots

A. 1

B. \dfrac{2}{3}

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{1}{3}

E. \dfrac{1}{6}

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x-\sin 2x}{6x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x}{6x}-\dfrac{\sin 4x}{6x} \right)

= \dfrac{4}{6}-\dfrac{2}{6}

= \dfrac{2}{6}

= \dfrac{1}{3}

Jawaban : D

10.Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik \left( -1,\dfrac{9}{2} \right) pada kurva y = \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{4}{x} dengan sumbu Y adalah …

A. \left( 0,-4 \right)

B. \left( 0,-\dfrac{1}{2} \right)

C. \left( 0,\dfrac{9}{2} \right)

D. \left( 0,\dfrac{15}{2} \right)

E. \left( 0,8 \right)

Pembahasan

Pertama akan dicari gradien garis singgung, yaitu m =y'.

y = \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{4}{x} = x+\dfrac{4}{x^2}

gradien m = y'(-1) = -1+\dfrac{4}{(-1)^2} = 3

Kemudian, diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

(y-y_1) = m(x-x_1)

\left( y-\dfrac{9}{2} \right) = 3(x+1) (kalikan 2 kedua ruas)

2y-9 = 6x+6

2y-6x-15 = 0

Karena garis singgung memotong sumbu Y, artinya x=0, diperoleh

2y-6(0)-15 = 0

x=\dfrac{15}{2}

Jadi, persamaan garis singgung memotong sumbu Y pada titik \left( 0,\dfrac{15}{2} \right)

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (3)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s