Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (3)


1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah …

A. \dfrac{3}{5} \sqrt{5}~cm

B. \dfrac{9}{5} \sqrt{5}~cm

C. \dfrac{18}{5} \sqrt{5}~cm

D. \dfrac{18}{5} \sqrt{10}~cm

E. 5\sqrt{5}~cm

Pembahasan

un_math_2010_21Dalam menyelesaikan soal ini, akan digunakan bantuan segitiga EBT. Dimana jarak titik E ke BT adalah panjang garis EX dengan titik X terletak pada garis BT. Perhatikan.

BT = \sqrt{BC^2+CT^2}

= \sqrt{6^2+3^2}

= \sqrt{36+9}

= \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

EB = 6\sqrt{2}

ET = \sqrt{EG^2+GT^2}

= \sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2}

= \sqrt{72+9}

= \sqrt{81} = 9

\cos \angle EBT = \dfrac{EB^2+BT^2-ET}{2(EB)(BT)}

= \dfrac{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{5})^2-9^2}{2(6\sqrt{2})(3\sqrt{5})}

= \dfrac{72 + 45-81}{36\sqrt{10}}

= \dfrac{36}{36\sqrt{10}}

= \dfrac{1}{\sqrt{10}}

Dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh \sin \angle EBT = \dfrac{3}{\sqrt{10}}. Selanjutnya diperoleh

Luas \triangle EBT = \dfrac{1}{2} (EB)(BT) \sin \angle EBT

= \dfrac{1}{2} (6\sqrt{2})(3\sqrt{5}) \dfrac{3}{\sqrt{10}}

= \dfrac{1}{2} (18\sqrt{10}) \dfrac{3}{\sqrt{10}}

= 27

Selanjutnya, dengan memperhatikan segitiga EBT dengan BT sebagai alas, diperoleh

Luas \triangle EBT = \dfrac{1}{2} (BT)(EX)

27 = \dfrac{1}{2} (3\sqrt{5}) EX

EX = \dfrac{2.27}{3\sqrt{5}}

= \dfrac{18}{\sqrt{5}}

= \dfrac{18}{5}\sqrt{5}

Jadi, jarak titik E ke BT adalah \dfrac{18}{5}\sqrt{5}

Jawaban : C

2.  Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah …

A. \dfrac{1}{6} \sqrt{3}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

D. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

E. \sqrt{3}

Pembahasan

un_math_2010_22Misal panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a cm. Perhatikan

EX = \dfrac{1}{2} ED = \dfrac{1}{2} a\sqrt{2} = \dfrac{a}{2} \sqrt{2}

EX = XD = \dfrac{a}{2} \sqrt{2}

FX = \sqrt{FE^2 + EX^2}

= \sqrt{a^2 + \left( \dfrac{a}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{a^2+\dfrac{1}{2}a^2}

= \sqrt{\dfrac{3}{2}a^2}

= \dfrac{a}{2} \sqrt{6}

CX = \sqrt{CD^2 + DX^2}

= \sqrt{a^2 + \left( \dfrac{a}{2}\sqrt{2} \right)^2}

= \sqrt{a^2+\dfrac{1}{2}a^2}

= \sqrt{\dfrac{3}{2}a^2}

= \dfrac{a}{2} \sqrt{6}

\cos \angle XCF = \dfrac{CX^2+CF^2-XF^2}{2 \cdot CF \cdot CX}

= \dfrac{\left(\dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right)^2+(a \sqrt{2})^2- \left( \dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right)^2}{2 \left( \dfrac{a}{2} \sqrt{6} \right) (a \sqrt{2})}

= \dfrac{2a^2}{ a^2 \sqrt{12}}

= \dfrac{2a^2}{ 2a^2 \sqrt{3}}

= \dfrac{1}{\sqrt{3}}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

Jawaban : B

3.  Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

A. 192~cm^2

B. 172\sqrt{2}~cm^2

C. 162~cm^2

D. 148~cm^2

E. 144 ~cm^2

Pembahasan

un_math_2013_25Sudut pusat = \dfrac{360}{12} = 30^0.

Selanjutnya, diperoleh 12 segitiga yang berpusat di O dengan sudut pusat 30^0. Selanjutnya karena diketahui sudut pusat dan dua sisi yang mengapit sudut, bisa menggunakan Luas Segitiga Tanpa Diketahui Tinggi.

Luas segitiga = \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} r^2 \cdot \dfrac{1}{2}

= \dfrac{1}{4} r^2

Luas segi dua belas = 12 x Luas Segitiga

= 12 \times \dfrac{1}{4} r^2

= 3r^3

= 3(8)^2 = 192

Jawaban : A

4.  Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6~cm, BC = 3\sqrt{7}~cm dan AC = 3~cm. Tinggi prisma adalah 20~cm. Volume prisma adalah …un_math_2010_24

A. 55\sqrt{2}~cm^3

B. 60\sqrt{2}~cm^3

C. 75\sqrt{3}~cm^3

D. 90\sqrt{3}~cm^3

E. 120\sqrt{3}~cm^3

Pembahasan

Perhatikan segitiga ABC. Jika dipandang AC sebagai alas dan titik X berada pada alas AC sedemikian hingga BX tegak lurus dengan AC, diperoleh

BX^2 = AB^2-AX^2 = BC^2-CX^2

AB^2-AX^2 = BC^2-(AC-AX)^2

6^2-AX^2 = (3\sqrt{7})^2-(3-AX)^2

36-AX^2 = 63-(9-6AX+AX^2)

36-AX^2 = 63-9+6AX-AX^2

36 = 54+6AX

AX = \dfrac{36-54}{6} = -3

Jadi, BX =\sqrt{6^2-AX^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

Luas \triangle ABC = \dfrac{1}{2} (AC)(BX) = \dfrac{9}{2} \sqrt{3}

Volume = Luas \triangle ABC \times AD

= \dfrac{9}{2} \sqrt{3} \cdot 20

= 90 \sqrt{3}

Jawaban : D

5.  Himpunan penyelesaian persamaan 2 \cos^2 x-3 \cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2\pi adalah …

A. \left \{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6} \right \}

B. \left \{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \right \}

C. \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3} \right \}

D. \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \right \}

E. \left \{ \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3} \right \}

Pembahasan

2 \cos^2 x- 3 \cos x + 1 = 0

(2 \cos x-1)(\cos x-1) = 0

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = 1

untuk \cos x = \dfrac{1}{2}

x = 60^0, 300^0 = \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}

untuk \cos x = 1

x = 0, 360^0 = 0 = \pi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \left \{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3} \right \}.

Jawaban : D

6.  Hasil dari \dfrac{\sin (60-a) + \sin (60+a)}{\cos (30+a) + \cos (30-a)} = \ldots

A. -\sqrt{3}

B. -\dfrac{1}{3} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. 1

E. \sqrt{3}

Pembahasan

INGAT : \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)

\cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)

\dfrac{\sin (60-a) + \sin (60+a)}{\cos (30+a) + \cos (30-a)} = \dfrac{2 \sin 120 \cos 2a}{2 \cos 60 \cos 2a}

= \dfrac{\sin 120}{\cos 60}

= \dfrac{\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}}

= \sqrt{3}

Jawaban : E

7.  Diketahui (A+B) = \dfrac{\pi}{3} dan \sin A \sin B = \dfrac{1}{4}. Nilai \cos (A-B) = \ldots

A. -1

B. -\dfrac{1}{2}

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{3}{4}

E. 1

Pembahasan

\cos(A+B) = \cos A \cdot \cos -\sin A \cdot \sin B

\cos \dfrac{\pi}{3} = \cos A \cos -\dfrac{1}{4}

\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}

\cos(A-B) = \cos A \cos + \sin A \cdot \sin B

= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1

Jawaban : E

8.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) = \ldots

A. -2

B. 0

C. 1

D. 2

E. 4

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x}{\sqrt{1-2x}-\sqrt{1+2x}} \right) \times \left( \dfrac{\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x})}{(1-2x)-(1+2x)} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{4x(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x})}{-4x)} \right)

= \lim_{x \to 0} \left( -(\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}) \right)

= -(\sqrt{1-2(0)}+\sqrt{1+2(0})

= -2

Jawaban : A

9.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x-\sin 2x}{6x} \right) = \ldots

A. 1

B. \dfrac{2}{3}

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{1}{3}

E. \dfrac{1}{6}

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x-\sin 2x}{6x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin 4x}{6x}-\dfrac{\sin 4x}{6x} \right)

= \dfrac{4}{6}-\dfrac{2}{6}

= \dfrac{2}{6}

= \dfrac{1}{3}

Jawaban : D

10.Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik \left( -1,\dfrac{9}{2} \right) pada kurva y = \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{4}{x} dengan sumbu Y adalah …

A. \left( 0,-4 \right)

B. \left( 0,-\dfrac{1}{2} \right)

C. \left( 0,\dfrac{9}{2} \right)

D. \left( 0,\dfrac{15}{2} \right)

E. \left( 0,8 \right)

Pembahasan

Pertama akan dicari gradien garis singgung, yaitu m =y'.

y = \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{4}{x} = x+\dfrac{4}{x^2}

gradien m = y'(-1) = -1+\dfrac{4}{(-1)^2} = 3

Kemudian, diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

(y-y_1) = m(x-x_1)

\left( y-\dfrac{9}{2} \right) = 3(x+1) (kalikan 2 kedua ruas)

2y-9 = 6x+6

2y-6x-15 = 0

Karena garis singgung memotong sumbu Y, artinya x=0, diperoleh

2y-6(0)-15 = 0

x=\dfrac{15}{2}

Jadi, persamaan garis singgung memotong sumbu Y pada titik \left( 0,\dfrac{15}{2} \right)

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (3)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s