Pembahasan Matematika UN SMA 2013 (3)


1.  Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-3 dan ke-6 berturut-turut adalah 30 dan 51. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah …

A. 625

B. 755

C. 975

D. 1.050

E. 1.150

Pembahasan

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 30

u_6 = a+5b = 51

   —————–  –

   -3b = -21

   b=7

Substitusi nilai b=7 ke u_3, diperoleh

a+2(7) = 30 \Rightarrow a=16

S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{15}= \dfrac{15}{2}(2(16)+(15-1)7)

= \dfrac{15}{2}(2(16)+(14)7)

= 15(16)+15(7)(7)

= 240 + 735

= 975

Jawaban : C

2.  Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mngikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah …

A. 6.200 unit

B. 6.400 unit

C. 12.400 unit

D. 12.600 unit

E. 12.800 unit

Pembahasan.

Rumus suku ke-n geometri : u_n = ar^{n-1}

a = 200

u_4 = ar^3

\Leftrightarrow 1.600 = 200r^3

\Leftrightarrow 8 = r^3

\Leftrightarrow 2 = r

S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{(r-1)}

S_6 = \dfrac{200(2^6-1)}{(2-1)}

= 200(64-1) = 12.600

Jawaban : D

3.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah …

A. 2\sqrt{3}~cm

B. 3\sqrt{2}~cm

C. 2\sqrt{6}~cm

D. 3\sqrt{6}~cm

E. 6\sqrt{2}~cm

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, jarak titik E ke garis AG merupakan tinggi segitiga AEG dengan AG sebagai alasnya. Perhatikan segitiga AEG

AC = \sqrt{AB^2+BC^2}

= \sqrt{6^2+6^2}

= \sqrt{2 \cdot 6^2} = 6\sqrt{2}

AG = \sqrt{AC^2+CG^2}

= \sqrt{(6\sqrt{2})^2+6^2}

= \sqrt{2 \cdot 6^2+6^2}

= \sqrt{3 \cdot 6^2} = 6\sqrt{3}

Luas \triangle AEG = \dfrac{1}{2} AE \cdot EG = \dfrac{1}{2} AG \cdot t

AE \cdot EG = AG \cdot t\triangle

6 \cdot 6\sqrt{2} = 6\sqrt{3} \cdot t\triangle

t\triangle = 6\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{6}

Jawaban : D

4.  Nilai cosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat  pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah …un_math_2013_24

A. \dfrac{2}{6}

B. \dfrac{3}{6}

C. \dfrac{4}{6}

D. \dfrac{7}{9}

E. \dfrac{8}{9}

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik P yang membagi dua garis BG, sehingga diperoleh segi tiga EPG. Jadi, cosinus sudut antara BDE dan BDG adalah \cos \angle EPG pada segi tiga EPG. Perhatikan

AP = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}

EP = \sqrt{AP^2 + AE^2}

= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 8^2}

= \sqrt{8+64}

= \sqrt{72}

Dengan cara yang sama , diperoleh EP = GP = \sqrt{72}.

\cos \angle EPG = \dfrac{EP^2+GP^2-EG^2}{2 \cdot EP \cdot GP}

= \dfrac{(\sqrt{72})^2+(\sqrt{72})^2-(4\sqrt{2})^2}{2(\sqrt{72})(\sqrt{72})}

= \dfrac{72 + 72 -32}{2(72)}

= \dfrac{112}{144} = \dfrac{7}{9}

Jawaban : D

5.  Keliling segi-12 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya adalah r cm adalah …

A. 2r\sqrt{2-\sqrt{3}}

B. 6r\sqrt{2-\sqrt{3}}

C. 12r\sqrt{2-\sqrt{3}}

D. 6r\sqrt{2+\sqrt{3}}

E. 12r\sqrt{2+\sqrt{3}}

Pembahasan

un_math_2013_25Karena segi-12, maka sudut pusat atau sudut puncak segi tiganya adalah \dfrac{360^0}{12} = 30^0 dan segi tiga yang terbentuk adalah segi tiga sama kaki dengan sudut yang lainnya adalah 75^0.

Perhatikan segitiga di atas, diperoleh

a \triangle = 2 \dfrac{1}{2} a

= 2 (r \cos 75^0)

= 2 r \cos (45^0+30^0)

= 2 r (\cos 45^2 \cos 30 -\sin 45^0 \sin 30^0)

= 2 r \left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{3}- \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \dfrac{1}{2} \right)

= 2 r \left( \dfrac{1}{4} \sqrt{6} -\dfrac{1}{4} \sqrt{2} \right)

= \dfrac{1}{2} r (\sqrt{6} -\sqrt{2})

= \dfrac{1}{2} r \sqrt{(\sqrt{6} -\sqrt{2})^2}

= \dfrac{1}{2} r \sqrt{6-2\sqrt{12}+2}

= \dfrac{1}{2} r \sqrt{8-2 \cdot 2\sqrt{3}}

= \dfrac{1}{2} r \sqrt{8-4\sqrt{3}}

= \dfrac{1}{2} r \sqrt{4(2-\sqrt{3})}

= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot r \sqrt{2-\sqrt{3}}

= r \sqrt{2-\sqrt{3}}

Keliling segi-12 adalah = 12 \cdot a = 12r \sqrt{2-\sqrt{3}}

Jawaban : C

6.  Nilai x yang memenuhi persamaan \cos 2x -\sin x = 0 untuk 0^0<x<360^0 adalah …

A. \{ 30^0, 150^0 \}

B. \{ 30^0, 270^0 \}

C. \{ 30^0, 150^0, 180^0 \}

D. \{ 60^0, 120^0, 300^0 \}

E. \{ 30^0, 150^0, 270^0 \}

Pembahasan

\cos 2x -\sin x = 0

\cos^2 x -\sin^2 x -\sin x = 0

(1-\sin^2 x) -\sin^2 x -\sin x = 0

1 -2 \sin^2 x -\sin x = 0

2\sin x + \sin x -1 = 0

(2\sin x -1)(\sin x + 1)

\sin x = \dfrac{1}{2} atau \sin x = -1

a. untuk \sin x = \dfrac{1}{2}, diperoleh x = \{ 30^0, 150^0 \}.

b. untuk \sin x = -1, diperoleh x = \{ 270^0 \}.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 30^0, 150^0, 270^0 \}

Jawaban : E

7.  Nilai \dfrac{\cos 115^0 + \cos 5^0}{\sin 115^0 + \sin 5^0} = \ldots

A. -\sqrt{3}

B. -1

C. -\dfrac{1}{3} \sqrt{3}

D. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

E. \sqrt{3}

Pembahasan

\dfrac{\cos 115^0 + \cos 5^0}{\sin 115^0 + \sin 5^0} = \dfrac{2 \cos \dfrac{1}{2} (115^0+5^0) \cos \dfrac{1}{2} (115^0-5^0)}{2 \sin \dfrac{1}{2} (115^0+5^0) + \cos \dfrac{1}{2}(115^0-5^0)}

= \dfrac{2 \cos 60^0 \cos 55^0}{2 \sin 60^0 \cos 55^0}

= \dfrac{\cos 60^0}{\sin 60^0}

= \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} \sqrt{3}}

= \dfrac{1}{\sqrt{3}}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

Jawaban : D

8.  Nilai dari \lim_{x \to \infty} ((2x-1)-\sqrt{4x^2-6x-5}) = ...

A. 4

B. 2

C. 1

D. \dfrac{1}{2}

E. \dfrac{1}{4}

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+Pd+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} ((2x-1)-\sqrt{4x^2-6x-5}) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(2x-1)^2}-\sqrt{4x^2-6x-5})

= \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2-4x+1}-\sqrt{4x^2-6x-5})

= \dfrac{-4-(-6)}{2\sqrt{4}}

= \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}

Jawaban : D

9.  Nilai dari \lim_{x \to -2} \dfrac{(x^2-4) \tan (x+2)}{\sin^2 (x+2)} = ...

A. -4

B. -3

C. 0

D. 4

E. \infty

Pembahasan

\lim_{x \to -2} \dfrac{(x^2-4) \tan (x+2)}{\sin^2 (x+2)} = \lim_{x \to -2} \dfrac{(x-2)(x+2) \tan (x+2)}{\sin^2 (x+2)}

= \lim_{x \to -2} (x-2)\dfrac{(x+2)}{\sin (x+2)} \dfrac{\tan (x+2)}{\sin (x+2)}

= \lim_{x \to -2} (x-2) = -4

Jawaban : A

10.Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2x+24)m dan lebar (8-x)m. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah …

A. 4 m

B. 8 m

C. 10 m

D. 12 m

E. 13 m

Pembahasan

Keliling = 2(p+l)

(2x+24) = 2(p+(8-x))

x+12 = p+(8-x)

p = 2x+4

L(x) = (2x+4)(8-x) = 16x-2x^2+32-4x = 32+12x-2x^2

Syarat maksimum L'(x) = 0

12-4x = 0 \Rightarrow x=3

Jadi, panjang taman adalah 2(3)+4 = 10 m

Jawaban : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s