Pembahasan Soal Turunan SPMB/SNMPTN


  1. Grafik y = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 turun untuk x yang memenuhi …

    A. x > 2

    B. –1 < x < 2

    C. –3 < x < –1

    D. x < –1 atau x > 2

    E. x < –3 atau x > 1

    PEMBAHASAN :

    fungsi turun artinya y’ < 0

    y’ = 6x2 – 6x – 12 < 0

      6(x2 – x – 2) = 0

      (x – 2)(x + 1) = 0

      x = 2 atau x = -1

    dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh –1 < x < 2

    JAWABAN : B

  2. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah …

    A. 10 meter dan 90 meter

    B. 15 meter dan 85 meter

    C. 25 meter dan 75 meter

    D. 40 meter dan 60 meter

    E. 50 meter dan 50 meter

    PEMBAHASAN :

    misal panjang salah satu rusuknya adalah tinggi balok yaitu 25m

    Panjang rusuk balok = 4(p + l + t)

                    500 = 4(p + l + 25)

               125 – 25 = p + l

                      P = 100 – l

    Volume balok = p x l x t

                 = (100 – l) x l x 25

            V(l) = 2500(l) – (25)l2

    Karena diketahui bahwa volume balok maksimum, maka dari persamaan di atas kita turunkan dan turunan pertamanya sama dengan nol.

    V'(l) = 2500 – 50(l)

        0 = 2500 – 50(l) \Rightarrow l = 50m

    Jadi : p = 50m, l = 50m dan t = 25m

    JAWABAN : E

  3. Jumlah dua bilangan p dan q adalah 6. Nilai minimum dari 2p2 + q2 = …

    A. 12

    B. 18

    C. 20

    D. 24

    E. 32

    PEMBAHASAN :

    p + q = 6 \Rightarrow p = 6 – q

    2p2 + q2 = 2(6 – q)2 + q2

            = 72 – 24q + 2q2 + q2

       f(q) = 72 – 24q + 3q2

      f'(q) = – 24 + 6q = 0

       q = 4 \Rightarrow p = 2

    jadi, 2p2 + q2 = 2(2)2 + (4)2 = 8 + 16 = 24

    JAWABAN : D

  4. Garis singgung pada kurva y = \frac{2x+1}{2-3x} di titik (1, –3) adalah …

    A. y + 7x – 10 = 0

    B. y – 7x + 10 = 0

    C. 7y + x + 20 = 0

    D. 7y – x – 20 = 0

    E. 7y – x + 20 = 0

    PEMBAHASAN :

    Persamaan garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)

    (x1, y1) sudah diketahui yaitu (1, –3), jadi kita tinggal mencari m atao gradient, dimana gradient adalah turunan pertama dari fungsi. Karena fungsi dalam soal tersebut berbentuk pecahan , berarti kita mencari turunan tersebut menggunakan rumus seperti ini : y’ = \frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^2} .

    misal :

    u(x) = 2x + 1 \Rightarrow u'(x) = 2

    v(x) = 2 – 3x \Rightarrow v'(x) = -3

    y'(x) = \frac{(2)(2-3x) - (-3)(2x+1)}{(2-3x)^2}

          = \frac{4 - 6x + 6x + 3}{(2-3x)^2}

          = \frac{7}{(2-3x)^2}

    Kemudian subsitusi nilai x1 = 1

    y'(x1) = m = \frac{7}{(2-3(1))^2} = 7

    (y – (-3)) = 7(x – 1)

    y + 3 = 7x – 7

    y – 7x + 10 = 0

    JAWABAN : B

  5. Jika fungsi f(x) = cos ax + sin bx memenuhi f'(0) = b dan f'(\frac{\pi}{2})=-1, maka a + b = …

    A. -1

    B. 0

    C. 1

    D. 2

    E. 3

    PEMBAHASAN :

    f'(x) = – a sin ax + b cos bx

    f'(0) = – a sin a(0) + b cos b(0) = b

    kemungkinan untuk nilai a dan b nya adalah 0,1,2,dan 3.

    f'(\frac{\pi}{2}) = – a sin a(\frac{\pi}{2}) + b cos b(\frac{\pi}{2}) = – a sin a(\frac{\pi}{2}) + 0 = -1

    dari hasil diatas, kemungkinan untuk nilai a yang memenuhi hanya a = 1. Karena b cos b(\frac{\pi}{2}) = 0, maka nilai b yang memenuhi hanya 1 dan 3 (cos 1(\frac{\pi}{2}) dan cos 3(\frac{\pi}{2}).

    Jadi a + b = 1 + 1 = 2 atau a + b = 1 + 3 = 4 (tidak ada dalam pilihan ganda)

    JAWABAN : D

  6. Fungsi f(x) = \frac{x^2+3}{x-1} , turun untuk nilai x yang memenuhi …

    A. –3 < x < –1

    B. –3 < x < 1 atau x > 1

    C. –1 < x < 1 atau 1 < x < 3

    D. x < –3 atau x > 1

    E. x < –1 atau x > 4

    PEMBAHASAN :

    Fungsi f(x) akan turun jika f'(x) < 0

    misal :

    u(x) = x2 + 3 \Rightarrow u'(x) = 2x

    v(x) = x – 1 \Rightarrow v'(x) = 1

    f'(x) = \frac{u'v-v'u}{v^2} < 0

    \frac{2x(x - 1) - 1(x^2+3)}{( x - 1)^2} < 0

    \frac{(2x^2 - 2x) - x^2 - 3}{( x - 1)^2} < 0

    \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} < 0

    Pembilang : x2 – 2x – 3 > 0 \Rightarrow (x – 3)(x + 1)= 0 \Rightarrow x = 3 atau x = -1

    Penyebut : (x – 1)2 = 0 \Rightarrow x1,2 = 1

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka x yang memenuhi adalah –1 < x < 1 atau 1 < x < 3

    JAWABAN : C

  7. Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75. Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah …

    A. 50

    B. 75

    C. 175

    D. 250

    E. 350

    PEMBAHASAN :

    misal x = bilangan pertama dan y = bilangan kedua

    x + y2 = 75 \Rightarrow x = 75 – y2

    hasil kali f(y) = x \cdot y

                    = (75 – y2)y

                    = 75y – y3

    f'(y) = 75 – 3y2 = 0

    y2 = 25 \Rightarrow y = 5

    x = 75 – y2 = 75 – (5)2 = 50

    jadi x \cdot y = 50 \cdot 5 = 250

    JAWABAN : D

  8. Persamaan garis singgung pada kurva y = x + 3/x di titik yang absisnya 1 adalah …

    A. 2x – y + 2 = 0

    B. 2x + y – 6 = 0

    C. 4x – y = 0

    D. –2x + y – 2 = 0

    E. –4x – y + 6 = 0

    PEMBAHASAN :

    Subsitusi titik x = 1 untuk mencari nilai y :

    y = (1) + 3/1 = 4

    jadi (x1, y1) = (1, 4)

    y’ = 1 – 3/x2

    subsitusi x = 1 sehingga diperoleh y’ = m = -2

    Persamaan garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)

    (y – 4) = -2(x – 1)

    y – 4 = -2x + 2

    -2x – y + 6 = 0 atau 2x + y – 6 = 0

    JAWABAN : B

  9. Grafik fungsi f(x) = x\sqrt{x-2} naik untuk nilai x yang memenuhi …

    A. 2 < x < 3

    B. 3 < x < 4

    C. 2 < x < 4

    D. x > 4

    E. x > 2

    PEMBAHASAN :

    Fungsi f(x) akan naik jika f'(x) > 0

    misal :

    u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1

    v(x) = \sqrt{x-2} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x-2}}

    f'(x) = u’ v + v’ u

        = 1 \sqrt{x-2} + \frac{1}{2 \sqrt{x-2}} x > 0

    \frac{2(x-2) + x}{2 \sqrt{x-2}} > 0

    \frac{3x - 4}{2 \sqrt{x-2}} > 0

    Pembilang : 3x – 4 0 0 \Rightarrow x = 4/3

    Penyebut : 2 \sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x = 2

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka akan x yang memenuhi adalah

    JAWABAN :

  10. Dari karton berbentuk persegi dengan sisi c cm akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di pojoknya sebesar h cm. Volume kotak akan maksimum untuk h = …

    A. 1/2 c atau 1/6 c

    B. 1/3 c

    C. 1/5 c

    D. 1/8 c

    E. 1/4 c

    PEMBAHASAN :

    Berarti kotak yang akan terbentuk, alasnya berbentuk persegi yaitu dengan panjang = lebar = (c – 2h) cm dan tingginya = h cm

    Volume kotak = h \times (c-2h)^2

             V(h) = h \times (c^2-4ch+4h^2) = c^2h-4ch^2+4h^3

       V'(h) = c^2-8ch+12h^2 = 0

           0 = (2h-c)(6h-c)

           h = \dfrac{1}{2}c atau h = \dfrac{1}{6}c

    JAWABAN : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

8 comments on “Pembahasan Soal Turunan SPMB/SNMPTN

  1. Ka yang nomor terakhir bukannya volume kotak = luas alas kali tinggi ua?

    Berarti luas alas = panjang dikali lebar. Panjang denan lebar nya sama jadi (c-2h)(c-2h)dikali h. Turunan dr hasil perkalian itu sama dengan nol.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s