Apr 30 2016

Sifat-Sifat Ring


Pada tulisan ini akan diberikan beberapa sifat ring.

Teorema 1.

Diberikan ring R dan a,b,c \in R. Maka

a.  a0 = 0a = 0

b.  a(-b) = (-a)b = -ab

c.  (-a)(-b) = ab

d.  a(b-c)=ab-ac dan (b-c)a = ba-ca

Bukti.

Ambil sebarang a,b,c \in R.

a.  Dari sifat distributif ring, diperoleh a0+a0 = a(0+0). Karena sifat 0 pada penjumlahan, berbakibat a0+a0 = a0. Karena a0 \in R, berakibat -a0 \in R. Diperoleh

(a0+a0)+(-a0)=a0+(-a0)

a0+(a0+(-a0))=0

a0+0=0

a0=0

Dengan, cara yang sama diperoleh 0a=0.

b.  Perhatikan,

ab+a(-b) = a(b+(-b)) = a0 = 0

Karena ab \in R, berakibat -ab \in R. Sehingga diperoleh

-ab+ab+a(-b) = -ab+0

0+a(-b) = -ab

a(-b) = -ab

Dengan cara yang sama diperoleh, (-a)b = -ab

c.  Dengan menggunakan sifat b, diperoleh

(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-ab) = ab

d.  Karena b-c = b+(-c), diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)). Karena sifat distributif ring, diperoleh ab+a(-c). Karena sifat c, berakibat ab-ac. Jadi a(b-c)=ab-ac. Dengan cara yang sama, diperoleh (b-c)a=ba-ca. \blacksquare

Akibat 2.

Misal R ring dengan 1. Maka R \neq \{0\} jika dan hanya jika 0 dan 1 berbeda.

Bukti.

Diketahui R \neq \{0\}. Ambil a \in R sedemikian hingga a \neq 0. Andaikan 1=0. Berakibat a = 1a = 0a = 0. Hal ini kontradiksi dengan a \neq 0. Jadi haruslah 1 \neq 0. Dengan kata lain, 0 dan 1 berbeda. Sebaliknya, diketahui 0 dan 1 berbeda, jelas berakibat R \neq \{0\}. \blacksquare

Akibat 3.

Diberikan R ring dengan elemen 1. Maka (-1)a=-a untuk setiap a \in R.

Bukti.

Ambil sebarang a \in R. Perhatikan,

a+(-1)a = 1a+(-1)a

= (1+(-1))a

= 0a

= 0

Karena a \in R, berakibat -a \in R. Diperoleh

-a+a+(-1)a=-a+0

0+(-1)a=-a

(-1)a=-a

\blacksquare

Misal R dengan elemen 1. Elemen u \in R disebut unit (elemen invertibel) jika terdapat v \in R sedemikian hingga uv=1=vu.

Contoh 4.

Misal diberikan ring \mathbb{Z}_4 dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 4. Perhatikan tabel berikut

\bullet_4

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

Jelas bahwa 1 merupakan elemen identitas ring R. Selanjutnya 1 dan 3 merupakan elemen unit, karena terdapat 1 \in R sedemikian hingga 1 \bullet_4 1 = 1 dan 3 \in R sedemikian hingga 3 \bullet_4 3 = 1. \square

Teorema 5.

Misal R ring dengan elemen 1 dan T himpunan semua unit dari R. Maka

a.  T \neq \emptyset

b.  0 \notin T

c.  ab \in T untuk setiap a,b \in T

Bukti.

a.  Karena 1 \cdot 1 = 1 = 1 \cdot 1 \in T. Oleh karena itu, T \neq \emptyset

b.  Andaikan 0 \in T. Maka terdapat v \in R sedemikian hingga v0 = 1 = 0v. Di lain pihak v0 = 0. Diperoleh 1 = v0 = 0. Jadi, 0 = 1. Hal ini kontradiksi, jadi haruslah 0 \notin T.

c.  Ambil sebarang a,b \in T. Akan dibuktikan ab \in T. Karena a,b \in T, berakibat terdapat u,v \in R sedemikian hingga au=1=ua dan bv=1=vb. Perhatikan

(ab)(vu) = a(bv)u = a1u = au = 1

(vu)(ab) = v(ua)b = v1b = vb = 1

Jadi, ab \in T. \blacksquare

Contoh 6.

Misal diberikan ring \mathbb{Z}_7 dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 7. Perhatikan tabel berikut

\bullet_6

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

2

0

2

4

6

1

3

5

3

0

3

6

2

5

1

4

4

0

4

1

5

2

6

3

5

0

5

3

1

6

4

2

6

0

6

5

4

3

2

1

Dari tabel di atas, berdasarkan definisi unit, diperoleh bahwa T = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Jadi, T \neq \empty. Selanjutnya jelas bahwa 0 bukan elemen unit. Jadi, 0 \notin T. Untuk sifat yang ketiga, silahkan cek sendiri sebagai latihan. \square

Tinggalkan komentar