Integral Tak Tentu


Bila pengertian turunan (derivatif) bersandar pada limit, maka pengertian Integral Taktentu (indefinite integrals) bersandar pada turunan. Dengan demikian Integral Taktentu dimaksud di dalam tulisan ini adalah integral yang dipandang sebagai anti turunan. Integral inilah yang akan menjadi alat pada penyelesaian persamaan diferensial dalam pembicaraan lebih lanjut.

Definisi 1

Fungsi F(x) adalah integral suatu fungsi f(x) pada interval I, ditulis :

\int f(x) dx = F(x), \forall x \epsilon I

equivalen dengan pernyataan:

\frac{d}{dx} F(x) = f(x), \forall x \epsilon I

Contoh :

\int 3x2 dx = x3 + C, \forall x \epsilon (-\infty,\infty) untuk sebarang konstanta C,

sebab : \frac{d}{dx} (x3 + C) = 3x2, \forall x \epsilon (-\infty ,\infty)

Pada pembicaraan selanjutnya, tidak akan dipermasalahkan mengenai interval I di mana integral tersebut terdefinisi, tetapi persoalan terfokus pada bagaimana mencari F(x) untuk suatu f(x) yang diketahui.

Berdasarkan Definisi 1 di atas, maka dapat disusun beberapa hasil fungsi-fungsi sederhana berikut ini yang kita sebut rumus-rumus dasar integral.

Rumus-Rumus \quad Dasar \quad Integral

1. \int xn dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \epsilon \quad \mathbb{Q} & n \neq -1

2. \int \frac{1}{x} dx = ln x + C

3. \int ex dx = ex + C

4. \int sin x dx = -cos x + C

5. \int cos x dx = sin x + C

6. \int \frac{a}{x^2 + a^2} dx = tan-1 (\frac{x}{a}) + C

7. \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = sin-1 (\frac{x}{a}) + C

Boleh jadi pada bahasan-bahasan selanjutnya rumus dasar di atas akan ditambahkan sesuai kebutuhan. Perlu disepakati bahwa rumus dasar adalah rumusan yang dapat dibuktikan menggunakan definisi integral.

Teorema berikut merupakan sifat umum yang muncul sebagai konsekuensi Definisi 1 di atas :

Teorema 1 :

Jika f dan g masing-masing fungsi yang mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta sebarang, maka:

1. \int k f(x) dx = k \int f(x) dx

2. \int f(x) \pm g(x) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

Bukti (1):

Ambil \int f(x) dx = F(x) \Leftrightarrow \frac{d}{dx} F(x) = f(x) , maka untuk sebarang konstanta berlaku :

k \frac{d}{dx} F(x) = k f(x) \Leftrightarrow \frac{d}{dx} (k F(x)) = k f(x)

        \Leftrightarrow \int k f(x) dx = k F(x)

        \Leftrightarrow \int k f(x) dx = k \int f(x) dx

Contoh :

\int [(x + 1)2\frac{5}{\sqrt[3]{x}} ] dx =

= \int ]dx = \int [x2 + 2x + 1 – 5x1/3] dx

= \int x2 dx + 2 \int x dx + \int dx – 5 \int x1/3 dx

= \frac{1}{3} x3 + x2 + x – \frac{15}{2} x2/3 + C

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s