Integral Tak Tentu

Bila pengertian turunan (derivatif) bersandar pada limit, maka pengertian Integral Taktentu (indefinite integrals) bersandar pada turunan. Dengan demikian Integral Taktentu dimaksud di dalam tulisan ini adalah integral yang dipandang sebagai anti turunan. Integral inilah yang akan menjadi alat pada penyelesaian persamaan diferensial dalam pembicaraan lebih lanjut.

Definisi 1

Fungsi F(x) adalah integral suatu fungsi f(x) pada interval I, ditulis :

f(x) dx = F(x), x I

equivalen dengan pernyataan:

F(x) = f(x), x I

Contoh :

3x² dx = x³ + C, x untuk sebarang konstanta C,

sebab : (x³ + C) = 3x², x

Pada pembicaraan selanjutnya, tidak akan dipermasalahkan mengenai interval I di mana integral tersebut terdefinisi, tetapi persoalan terfokus pada bagaimana mencari F(x) untuk suatu f(x) yang diketahui.

Berdasarkan Definisi 1 di atas, maka dapat disusun beberapa hasil fungsi-fungsi sederhana berikut ini yang kita sebut rumus-rumus dasar integral.

1.  xⁿ dx = + C, n & n -1

2. dx = ln x + C

3. e^x dx = e^x + C

4. sin x dx = -cos x + C

5. cos x dx = sin x + C

6. dx = tan^-1 + C

7. = sin^-1 + C

Boleh jadi pada bahasan-bahasan selanjutnya rumus dasar di atas akan ditambahkan sesuai kebutuhan. Perlu disepakati bahwa rumus dasar adalah rumusan yang dapat dibuktikan menggunakan definisi integral.

Teorema berikut merupakan sifat umum yang muncul sebagai konsekuensi Definisi 1 di atas :

Teorema 1 :

Jika f dan g masing-masing fungsi yang mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta sebarang, maka:

1. k f(x) dx = k f(x) dx

2. f(x) g(x) dx = f(x) dx g(x) dx

Bukti (1):

Ambil f(x) dx = F(x) F(x) = f(x) , maka untuk sebarang konstanta berlaku :

F(x) = k f(x) (k F(x)) = k f(x)

         k f(x) dx = k F(x)

         k f(x) dx = k f(x) dx

Contoh :

[(x + 1)² – ] dx =

= [x² + 2x + 1 – 5x^1/3] dx

= x² dx + 2 x dx + dx – 5 x^1/3 dx

= x³ + x² + x – x^2/3 + C