Nov 23 2017

Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2016/2017 (3)


  1. Diketahui grafik fungsi y=2x^2-3x+7 berpotongan dengan garis y=4x+1 salah satu persamaan garis singgung yang melalui tituk potong kurva dan garis tersebut adalah …

    A. y=5x+7

    B. y=5x-1

    C. y=x+5

    D. y=3x-7

    E. y=3x+5

    PEMBAHASAN.

    Pertama akan dicari titik potong grafik dengan garis. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} 2x^2-3x+7 &= 4x+1\\ 2x^2-7x+6 &= 0\\ (2x-3)(2x-4) &= 0. \end{array}

    Sehingga diperoleh x_1= \dfrac{3}{2} atau x_2 = 2. Selanjutnya dicari titik y, dengan mensubstitusikan nilai x_1 dan x_2 ke persamaan garis y=4x+1, diperoleh y_1=7 dan y_2=9. Sehingga diperoleh titik potongnya, yaitu \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) dan (2,9). Dari Selanjutnya didapat turunan pertama dari fungsi y adalah y' = 4x-3. Kemudian akan dicari gradien garis untuk masing-masing titik singgung. Perhatikan,

    \begin{array}{lccr} \text{untuk } x_1=\dfrac{3}{2} &&& \text{untuk } x_2=2\\ &&&\\ y'\left( \dfrac{3}{2} \right) = 4\left( \dfrac{3}{2} \right)-3 = 3 &&& y'\left( 2 \right) = 4\left( 2 \right)-3 = 5. \end{array}

    Sehingga didapat gradien untuk titik \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) adalah m=3 dan titik (2,9) adalah m=5. Persamaan garis singgung (PGS)

    \begin{array}{lccl} \text{ PGS untuk titik } \left( \dfrac{3}{2}, 7 \right) \text{ dan } m=3 &&& \text{ PGS untuk titik} (2,9) \text{ dan } m=5\\ &&&\\ (y-y_1) = m(x-x_1) &&& (y-y_1) = m(x-x_1)\\ (y-7) = 3\left(x-\dfrac{3}{2} \right) &&& (y-9) = 5(x-2)\\ y-7 = 3x-\dfrac{9}{2} &&& y-9 = 5x-10\\ y = 3x-\dfrac{9}{2}+7 &&& y = 5x-10+9\\ = 3x+\dfrac{5}{2} &&& = 5x-1. \end{array}

    JAWABAN : B

  2. Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebar 2:3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah …

    A. 3.600~cm^3

    B. 5.400~cm^3

    C. 6.300~cm^3

    D. 7.200~cm^3

    E. 8.100~cm^3

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \dfrac{p}{l} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow p = \dfrac{2}{3}l.

    \begin{array}{rl} \text{Luas Permukaan} &= 2pt + 2lt + pl\\ 1800 &= 2\left( \dfrac{2}{3}l \right)t + 2lt + \left( \dfrac{2}{3}l \right)l\\ &= \dfrac{4}{3}lt + 2lt + \dfrac{2}{3}l^2\\ &= \dfrac{10}{3}lt + \dfrac{2}{3}l^2\\ 54.000 &= 10lt + 2l^2\\ 27.000 &= 5lt + l^2\\ t &= \dfrac{27.000-l^2}{l}. \end{array}

    Selanjutnya dibentuk fungsi Volume terhadap l, perhatikan.

    \begin{array}{ll} \text{Volume} &= p \times l \times t\\ V(l) &= \dfrac{2}{3}l \times l \times \dfrac{27.000-l^2}{l}\\ &= \dfrac{2}{3}l (27.000-l^2)\\ &= 18.000l-\dfrac{2}{3}l^3. \end{array}

    Karena volume maksimal, maka syaratnya V'(l) = 0. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} V'(l) &= 0\\ 18.000-2l^2 &= 0\\ 2l^2 &= 18.000\\ l^2 &= 9.000\\ l &= 30. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai l, diperoleh p = \dfrac{2}{3}l = 20 dan t = \dfrac{27.000-l^2}{l} = 60. Jadi, volume akuariumnya adalah 20 \times 30 \times 60 = 3.600~cm^3.

    JAWABAN : A

  3. Hasil dari {\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{x^3+2}}~dx} adalah …

    A. \dfrac{4}{3} \sqrt{x^3+2} + C

    B. -\dfrac{4}{3} \sqrt{x^3+2} + C

    C. \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3+2} + C

    D. -\dfrac{2}{3} \sqrt{x^3+2} + C

    E. \sqrt{x^3+2} + C

    PEMBAHASAN.

    Misal u = x^3+2 maka du = 3x^2~dx atau dx = \dfrac{du}{3x^2}. Selanjutnya dengan menggunakan integral substitusi, diperoleh

    \begin{array}{ll} {\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{x^3+2}}~dx} &= {\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{u}}~\dfrac{du}{3x^2}}\\ &= {\displaystyle \int \dfrac{1}{3\sqrt{u}}~du}\\ &= {\displaystyle \int \dfrac{1}{3} u^{-1/2}~du}\\ &= \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{1/2} u^{1/2} + C\\ &= \dfrac{2}{3} u^{1/2} + C\\ &= \dfrac{2}{3} \sqrt{x^3+2} + C. \end{array}

    JAWABAN : C

  4. Nilai {\displaystyle \int_1^3 \left( 6x^2-6x-6 \right) dx} adalah …

    A. 16

    B. 20

    C. 22

    D. 32

    E. 38

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{ll} {\displaystyle \int_1^3 \left( 6x^2-6x-6 \right) dx} &= {\displaystyle 2x^3-3x^2-6x~\mathrel{\bigg|}_1^3}\\ &= (2(3)^3-3(3)^2-6(3))-(2(1)^3-3(1)^2-6(1))\\ &= (54-27-18)-(2-3-6)\\ &= 9+7 = 16. \end{array}

    JAWABAN : A

  5. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tangka angka 080^0 sejauh 60 km. Kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan 200^0 sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan C dan A adalah …

    A. \sqrt{10} km

    B. 5\sqrt{13} km

    C. 10\sqrt{13} km

    D. 20\sqrt{13} km

    E. 100 km

    PEMBAHASAN.

    Dari gambar di soal, didapat \angle UBA = 180^0-080^0 = 100^0 dan \angle ABC = 360^0-100^0- 200^0 = 60^0. Perhatikan,

    \begin{array}{ll} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^0\\ &= 60^0 + 80^2 - 2 \cdot 60 \cdot 80 \cdot \dfrac{1}{2}\\ &= 3600 + 6400 - 4800\\ AC &= \sqrt{5200}\\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13}\\ &= 20 \sqrt{13}. \end{array}

    Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah 20 \sqrt{13} km.

    JAWABAN : D

  6. Himpunan penyelesaian persamaan \cos 2x-\sin x = 0, untuk 0 \leq x \leq 2 \pi adalah …

    A. \left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi \right\}

    B. \left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2} \right\}

    C. \left\{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{3\pi}{2} \right\}

    D. \left\{ \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{3\pi}{2} \right\}

    E. \left\{ \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \cos 2x-\sin x &= 0\\ \cos^2 x - \sin^2 x - \sin x &= 0\\ 1-2\sin^2 x - \sin x &= 0\\ 2\sin^2 x+\sin x-1 &= 0\\ (2\sin x+2)(2\sin x-1) &= 0\\ \sin x = -1 \text{ atau } \sin x &= \dfrac{1}{2}. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rlccrl} \sin x &= -1 = \sin 180 &&& \sin x &= \dfrac{1}{2} = \sin 30\\ x &= \alpha + k \cdot 360 &&& x &= \alpha + k \cdot 360\\ &\text{untuk } k=0 &&& &\text{untuk } k=0\\ x &= 180 + k \cdot 360 &&& x &= 30 + k \cdot 360\\ &= 180 + 0 \cdot 360 &&& &= 30 + 0 \cdot 360\\ &= 180 = \pi. &&& &= 30 = \dfrac{\pi}{6}.\\ &\text{untuk } k=1 &&& &\text{untuk } k=1\\ x &= 180 + 1 \cdot 360 &&& x &= 30 + 1 \cdot 360\\ &= 540 \text{ (tidak termasuk )} &&& &= 390 \text{ (tidak termasuk )}.\\ &&&&&\\ &&&& x &= (180-\alpha) + k \cdot 360\\ &&&& &= (180-30) + k \cdot 360\\ & &&& &= 150 + 0 \cdot 360\\ &&&& &= 150 = \dfrac{5\pi}{6}.\\ & &&& x &= (180-30) + 1 \cdot 360\\ &&&&&= 150+360\\ &&&&&= 510 \text{ (tidak termasuk )}. \end{array}

    Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah \left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi \right\}.

    JAWABAN : A

  7. Diketahui \sin \alpha \cos \beta = \dfrac{2}{5} dan (\alpha + \beta) = \dfrac{5\pi}{6}. Nilai \sin (\alpha-\beta) = \ldots

    A. -\dfrac{1}{2}

    B. -\dfrac{3}{10}

    C. -\dfrac{1}{10}

    D. \dfrac{3}{10}

    E. \dfrac{1}{2}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \sin (\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\ \sin \dfrac{5\pi}{6} &= \dfrac{2}{5} + \cos \alpha \sin \beta\\ \sin 150^0 &= \dfrac{2}{5} + \cos \alpha \sin \beta\\ \dfrac{1}{2} &= \dfrac{2}{5} + \cos \alpha \sin \beta\\ \cos \alpha \sin \beta &= \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10}. \end{array}

    Selanjutnya, perhatikan

    \begin{array}{rl} \sin (\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\\ &= \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{10}. \end{array}

    JAWABAN : D

  8. Nilai dari \dfrac{\sin 280^0-\sin 140^0}{\cos 280^0-\cos 140^0} = \ldots

    A. -\sqrt{3}

    B. -\sqrt{2}

    C. -\dfrac{1}{2} \sqrt{3}

    D. \sqrt{2}

    E. \sqrt{3}

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} \dfrac{\sin 280^0-\sin 140^0}{\cos 280^0-\cos 140^0} &= \dfrac{2 \cos \dfrac{1}{2}(280^0 + 140^0) \sin \dfrac{1}{2}(280^0 -140^0)}{-2 \sin \dfrac{1}{2}(280^0 + 140^0) \sin \dfrac{1}{2}(280^0 -140^0)}\\ &= \dfrac{2 \cos 210^0 \sin 70^0}{-2 \sin 210^0 \sin 70^0}\\ &= \dfrac{\cos 210^0}{-\sin 210^0}\\ &= \dfrac{\cos (180^0+30^0)}{-\sin (180^0+30^0)}\\ &= \dfrac{-\cos 30^0}{-(-\sin 30^0)}\\ &= \dfrac{-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}}{\dfrac{1}{2}}\\ &= -\sqrt{3}. \end{array}

    JAWABAN : A

  9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika \alpha adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai \sin \alpha = \ldots

    A. \dfrac{1}{2}

    B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

    C. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

    D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

    E. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut

    Sudut \alpha yang dibentuk oleh bidang AFH dan BDHF sama dengan \angle P pada segitiga APO. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}\\ AO &= \dfrac{1}{2}AC = 3\sqrt{2}\\ PO &= DH = 6\\ AP &= \sqrt{AO^2+PO^2}\\ &= \sqrt{(3\sqrt{2})^2+6^2}\\ &= \sqrt{18+36}\\ &= \sqrt{54} = 3\sqrt{6}. \end{array}

    Selanjutnya untuk mencari besar \angle P dapat memanfaatkan segitiga siku-siku AOP. Perhatikan, Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \sin \angle P &= \dfrac{AO}{AP}\\ &= \dfrac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &= \dfrac{\sqrt{12}}{6}\\ &= \dfrac{2\sqrt{3}}{6} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}. \end{array}

    Jadi, nilai \sin \alpha = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}.

    JAWABAN : B

  10. Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang atas ABCD adalah …

    A. 2\sqrt{2}

    B. 2\sqrt{3}

    C. 3\sqrt{2}

    D. 3\sqrt{3}

    E. 4\sqrt{3}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut

    Jarak M ke bidang LNQ adalah tinggi segitiga AMQ, yaitu MB, dengan AQ sebagai alasnya. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} KM &= LN = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}\\ AM &= \dfrac{1}{2} KM = 3\sqrt{2}\\ AQ &= \sqrt{AM^2+MQ^2}\\ &= \sqrt{(3\sqrt{2})^2+6^2}\\ &= \sqrt{18+36}\\ &= \sqrt{54} = 3\sqrt{6}. \end{array}

    Selanjutnya dengan memanfaatkan luas segitiga AMQ dengan memandang AM dan MQ sebagai alas dan tingginya serta AQ dan BM sebagai alas dan tingginya, diperoleh

    \begin{array}{rl} \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot MQ &= \dfrac{1}{2} \cdot AQ \cdot BM\\ 3\sqrt{2} \cdot 6 &= 3\sqrt{6} \cdot BM\\ \sqrt{2} \cdot 6 &= \sqrt{6} \cdot BM\\ BM &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\ &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\\ &= \dfrac{6\sqrt{12}}{6}\\ &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \end{array}

    JAWABAN : B

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s