Pembahasan Matematika UN SMA 2013 (2)


1.  Diketahui fungsi f(x)=x-4 dan g(x)=x^2-3x+7. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \ldots

A. x^2-3x+3

B. x^2-3x+11

C. x^2-11x+15

D. x^2-11x+27

E. x^2-11x+35

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(x^2-3x+7)

= (x^2-3x+7)-4

= x^2-3x+3

Jawaban : A

2.  Diketahui fungsi g(x) = \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1. Invers fungi g adalah g^{-1}(x) = \ldots

A. \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1

B. \dfrac{x+3}{x+1}, x \neq -1

C. \dfrac{x+1}{x-3}, x \neq 3

D. \dfrac{x+1}{x+3}, x \neq -3

E. \dfrac{x-1}{x-3}, x \neq 3

Pembahasan

m = \dfrac{x+3}{x-1}

mx-m = x+3

mx-x = m+3

x(m-1) = m+3

x = \dfrac{m+3}{m-1}

Invers dari g(x) adalah g^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1

Jawaban : A

3.  Luas daerah parkir 1.760~m^2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4~m^2 dan mobil besar 20~m^2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000/jam dan mobil besar Rp2.000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …

A. Rp176.000

B. Rp200.000

C. Rp260.000

D. Rp300.000

E. Rp340.000

Pembahasan.

un_math_2013_13Model matematika

Misal : mobil kecil = x dan mobil besar = y

4x+20y \leq 1.760 … (i)

x+y \leq 200 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 1.000x + 2.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

4(200-y) + 20y = 1.760

\Leftrightarrow 16y = 960

\Leftrightarrow y = 60

Sehingga didapat x = 200-y = 140

Diperoleh titik (0,0), (0,88), (140,60) dan (200,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 1.000(0) + 2.000(0) = 0

f(0,88) = 1.000(0) + 2.000(88) = 176.000

f(200,0) = 1.000(200) + 2.000(0) = 200.000

f(140,60) = 1.000(140) + 2.000(60) = 260.000

Jawaban : C

4.  Diketahui persamaan matriks \begin{pmatrix} 4&x-2\\ 3&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6&8\\ y&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&20\\ -8&-4\end{pmatrix}. Nilai x+y = \ldots

A. 3

B. 11

C. 14

D. 19

E. 25

Pembahasan

\begin{pmatrix} 4&x-2\\ 3&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6&8\\ y&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&20\\ -8&-4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -2&x+6\\ 3+y&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&-20\\ -8&-4\end{pmatrix}

Diperoleh,

x+6 = 20 \Leftrightarrow x=14

3+y = -8 \Leftrightarrow x=-11

Jadi, x+y = 14+(-11) = 3

Jawaban : A

5.  Diketahui vektor \vec{a} = 2i-j, \vec{b} = 2i-k dan \vec{c} = 3i+j+2k. Hasil \vec{a}+2\vec{b}-\vec{c} adalah …

A. -i+2j-4k

B. 5i-3j

C. i-2j+2k

D. i-3j+4k

E. i-2i+4k

Pembahasan

\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c} = \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1\\-2\\-4 \end{pmatrix}

= i-2j-4k

Jawaban : E

6.  Diketahui vektor \vec{u} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} dan \vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}. Nilai sinus sudut antara vektor \vec{u} dan \vec{v} adalah …

A. -\dfrac{1}{2}

B. 0

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{1}{2}\sqrt{2}

E. \dfrac{1}{2}\sqrt{3}

Pembahasan.

\vec{u} \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \alpha

\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cos \alpha

1.1+0.(-1)+1.0 = \sqrt{2} \sqrt{2} \cos \alpha

1 = 2 \cos \alpha

\cos \alpha = \dfrac{1}{2}

\alpha = 60^0

Jadi, \sin \alpha = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}

Jawaban : E

7.  Diketahui vektor \vec{a} = -i-j+2k dan \vec{b} = i-j-2k. Proyeksi ortogonal \vec{a} pada \vec{b} adalah …

A. -\dfrac{1}{3}i-\dfrac{1}{3}j+\dfrac{2}{3}k

B. -\dfrac{1}{3}i+\dfrac{1}{3}j+\dfrac{2}{3}k

C. -\dfrac{2}{3}i+\dfrac{2}{3}j-\dfrac{4}{3}k

D. -\dfrac{2}{3}i-\dfrac{2}{3}j+\dfrac{4}{3}k

E. -\dfrac{2}{3}i+\dfrac{2}{3}j+\dfrac{4}{3}k

Pembahasan

Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b

= \dfrac{(-1,-1,2)(1,-1,-2)}{(\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2})^2}(1,-1,-2)

= \dfrac{-1+1-4}{1+1+4}(1,-1,-2)

= \dfrac{-4}{6}(1,-1,-2)

= -\dfrac{2}{3}(1,-1,-2)

Jawaban : D

8.  Titik P(-3,1) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90^0, dilanjutkan dengan translasi T = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}. Peta titik P adalah …

A. P''(2,1)

B. P''(0,3)

C. P''(2,7)

D. P''(4,7)

E. P''(4,1)

Pembahasan

Rotasi :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}

Translasi :

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}

Jawaban : A

9.  Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ^2\log (x+2) + ^2\log (x-2) \leq ^2\log 5

A. \{ x | x \geq -2 \}

B. \{ x | x \geq 2 \}

C. \{ x | x \geq 3 \}

D. \{ x | 2 < x \leq 3 \}

E. \{ x | -2 < x < 2 \}

Pembahasan

^2\log (x+2) + ^2\log (x-2) \leq ^2\log 5

^2\log ((x+2)(x-2)) \leq ^2\log 5

^2\log (x^2-4) \leq ^2\log 5

x^2-4 \leq 5

x^2-9 \leq 0

(x-3)(x+3) \leq 0

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh -3 \leq x \leq 3

Jawaban :

10.Persamaan grafik fungsi seperti pada gambar berikut adalah …

 un_math_2013_20

A. y = 2^{\frac{1}{2}x-1}

B. y = 2^{-\frac{1}{2}x-1}

C. y = 2^{x-2}

D. y = 2^{x+2}

E. y = 2^{2x-1}

Pembahasan

Pada grafik di atas, diperoleh

f(2) = 1

f(4) = 2

Kemudian kita substitusi nilai x ke fungsi pada pilihan gandanya, fungsi mana yang sesuai.

1.  f(2) = 2^{2(2)-1} = 2^3 = 8 (tidak sesuai)

2.  f(2) = 2^{2+2} = 2^4 = 16 (tidak sesuai)

3.  f(2) = 2^{2-2} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{4-2} = 2^2 = 4 (tidak sesuai)

4.  f(2) = 2^{-\frac{1}{2}2-1} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{-\frac{1}{2}4-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2} (tidak sesuai)

5.  f(2) = 2^{\frac{1}{2}2-1} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{\frac{1}{2}4-1} = 2^1 = 2

Berdasarkan hasil pengujian titik di atas, fungsi yang sesuai adalah y = 2^{\frac{1}{2}x-1}

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s