Apr 16 2015

Pembahasan Matematika UN SMA 2013 (2)


1.  Diketahui fungsi f(x)=x-4 dan g(x)=x^2-3x+7. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \ldots

A. x^2-3x+3

B. x^2-3x+11

C. x^2-11x+15

D. x^2-11x+27

E. x^2-11x+35

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(x^2-3x+7)

= (x^2-3x+7)-4

= x^2-3x+3

Jawaban : A

2.  Diketahui fungsi g(x) = \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1. Invers fungi g adalah g^{-1}(x) = \ldots

A. \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1

B. \dfrac{x+3}{x+1}, x \neq -1

C. \dfrac{x+1}{x-3}, x \neq 3

D. \dfrac{x+1}{x+3}, x \neq -3

E. \dfrac{x-1}{x-3}, x \neq 3

Pembahasan

m = \dfrac{x+3}{x-1}

mx-m = x+3

mx-x = m+3

x(m-1) = m+3

x = \dfrac{m+3}{m-1}

Invers dari g(x) adalah g^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{x-1}, x \neq 1

Jawaban : A

3.  Luas daerah parkir 1.760~m^2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4~m^2 dan mobil besar 20~m^2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000/jam dan mobil besar Rp2.000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …

A. Rp176.000

B. Rp200.000

C. Rp260.000

D. Rp300.000

E. Rp340.000

Pembahasan.

un_math_2013_13Model matematika

Misal : mobil kecil = x dan mobil besar = y

4x+20y \leq 1.760 … (i)

x+y \leq 200 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 1.000x + 2.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

4(200-y) + 20y = 1.760

\Leftrightarrow 16y = 960

\Leftrightarrow y = 60

Sehingga didapat x = 200-y = 140

Diperoleh titik (0,0), (0,88), (140,60) dan (200,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 1.000(0) + 2.000(0) = 0

f(0,88) = 1.000(0) + 2.000(88) = 176.000

f(200,0) = 1.000(200) + 2.000(0) = 200.000

f(140,60) = 1.000(140) + 2.000(60) = 260.000

Jawaban : C

4.  Diketahui persamaan matriks \begin{pmatrix} 4&x-2\\ 3&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6&8\\ y&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&20\\ -8&-4\end{pmatrix}. Nilai x+y = \ldots

A. 3

B. 11

C. 14

D. 19

E. 25

Pembahasan

\begin{pmatrix} 4&x-2\\ 3&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6&8\\ y&-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&20\\ -8&-4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -2&x+6\\ 3+y&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&-20\\ -8&-4\end{pmatrix}

Diperoleh,

x+6 = 20 \Leftrightarrow x=14

3+y = -8 \Leftrightarrow x=-11

Jadi, x+y = 14+(-11) = 3

Jawaban : A

5.  Diketahui vektor \vec{a} = 2i-j, \vec{b} = 2i-k dan \vec{c} = 3i+j+2k. Hasil \vec{a}+2\vec{b}-\vec{c} adalah …

A. -i+2j-4k

B. 5i-3j

C. i-2j+2k

D. i-3j+4k

E. i-2i+4k

Pembahasan

\vec{a}+2\vec{b}-\vec{c} = \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1\\-2\\-4 \end{pmatrix}

= i-2j-4k

Jawaban : E

6.  Diketahui vektor \vec{u} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} dan \vec{v} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}. Nilai sinus sudut antara vektor \vec{u} dan \vec{v} adalah …

A. -\dfrac{1}{2}

B. 0

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{1}{2}\sqrt{2}

E. \dfrac{1}{2}\sqrt{3}

Pembahasan.

\vec{u} \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \alpha

\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cos \alpha

1.1+0.(-1)+1.0 = \sqrt{2} \sqrt{2} \cos \alpha

1 = 2 \cos \alpha

\cos \alpha = \dfrac{1}{2}

\alpha = 60^0

Jadi, \sin \alpha = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}

Jawaban : E

7.  Diketahui vektor \vec{a} = -i-j+2k dan \vec{b} = i-j-2k. Proyeksi ortogonal \vec{a} pada \vec{b} adalah …

A. -\dfrac{1}{3}i-\dfrac{1}{3}j+\dfrac{2}{3}k

B. -\dfrac{1}{3}i+\dfrac{1}{3}j+\dfrac{2}{3}k

C. -\dfrac{2}{3}i+\dfrac{2}{3}j-\dfrac{4}{3}k

D. -\dfrac{2}{3}i-\dfrac{2}{3}j+\dfrac{4}{3}k

E. -\dfrac{2}{3}i+\dfrac{2}{3}j+\dfrac{4}{3}k

Pembahasan

Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b

= \dfrac{(-1,-1,2)(1,-1,-2)}{(\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2})^2}(1,-1,-2)

= \dfrac{-1+1-4}{1+1+4}(1,-1,-2)

= \dfrac{-4}{6}(1,-1,-2)

= -\dfrac{2}{3}(1,-1,-2)

Jawaban : D

8.  Titik P(-3,1) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90^0, dilanjutkan dengan translasi T = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}. Peta titik P adalah …

A. P''(2,1)

B. P''(0,3)

C. P''(2,7)

D. P''(4,7)

E. P''(4,1)

Pembahasan

Rotasi :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}

Translasi :

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}

Jawaban : A

9.  Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ^2\log (x+2) + ^2\log (x-2) \leq ^2\log 5

A. \{ x | x \geq -2 \}

B. \{ x | x \geq 2 \}

C. \{ x | x \geq 3 \}

D. \{ x | 2 < x \leq 3 \}

E. \{ x | -2 < x < 2 \}

Pembahasan

^2\log (x+2) + ^2\log (x-2) \leq ^2\log 5

^2\log ((x+2)(x-2)) \leq ^2\log 5

^2\log (x^2-4) \leq ^2\log 5

x^2-4 \leq 5

x^2-9 \leq 0

(x-3)(x+3) \leq 0

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh -3 \leq x \leq 3

Jawaban :

10.Persamaan grafik fungsi seperti pada gambar berikut adalah …

 un_math_2013_20

A. y = 2^{\frac{1}{2}x-1}

B. y = 2^{-\frac{1}{2}x-1}

C. y = 2^{x-2}

D. y = 2^{x+2}

E. y = 2^{2x-1}

Pembahasan

Pada grafik di atas, diperoleh

f(2) = 1

f(4) = 2

Kemudian kita substitusi nilai x ke fungsi pada pilihan gandanya, fungsi mana yang sesuai.

1.  f(2) = 2^{2(2)-1} = 2^3 = 8 (tidak sesuai)

2.  f(2) = 2^{2+2} = 2^4 = 16 (tidak sesuai)

3.  f(2) = 2^{2-2} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{4-2} = 2^2 = 4 (tidak sesuai)

4.  f(2) = 2^{-\frac{1}{2}2-1} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{-\frac{1}{2}4-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2} (tidak sesuai)

5.  f(2) = 2^{\frac{1}{2}2-1} = 2^0 = 1

f(4) = 2^{\frac{1}{2}4-1} = 2^1 = 2

Berdasarkan hasil pengujian titik di atas, fungsi yang sesuai adalah y = 2^{\frac{1}{2}x-1}

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan komentar