Problem (2) : Aljabar


soal dikirim melalui Facebook

Jika a, b adalah akar-akar dari persamaan x2 – px + r = 0 dan jika \frac{a}{2} dan 2b adalah akar-akar dari persamaan x2 – qx + r = 0. Nyatakan nilai r dalam bentuk p dan q.

PENYELESAIAN :

Substitusi a dan b ke persamaan x2 – px + r = 0 sehingga diperoleh :

a2 – pa + r = 0 … (i)

b2 – pb + r = 0 … (ii)

(i) = (ii)

a2 – pa + r = b2 – pb + r

a2 – b2 = pa – pb

(a – b)(a + b) = p(a – b)

a + b = p

a = p – b … (iii)

Substitusi \frac{a}{2} dan 2b ke persamaan x2 – qx + r = 0 sehingga diperoleh :

(\frac{a}{2})^2 – q(\frac{a}{2}) + r = 0

\frac{a^2}{4} \frac{qa}{2} + r = 0 … (iv)

4b2 – 2qb + r = 0 … (v)

(iv) = (v)

\frac{a^2}{4} \frac{qa}{2} + r = 4b2 – 2qb + r

\frac{a^2}{4} – 4b2 = \frac{qa}{2} – 2qb (x4 kedua ruas)

a2 – 16b2 = 2qa – 8qb

(a – 4b)(a + 4b) = 2q(a – 4b)

a + 4b = 2q

a = 2q – 4b … (vi)

Substitusi (iii) ke (i), sehingga diperoleh :

(p – b)2 – p(p – b) + r = 0

p2 – 2pb + b2 – p2 + pb + r = 0

pb – b2 = r

b(p – b) = r … (vii)

Substitusi (vi) ke (iv), sehingga diperoleh :

\frac{(2q-4b)^2}{4} \frac{q(2q-4b)}{2} + r = 0

\frac{4q^2-16qb+16b^2}{4} \frac{2q^2-4qb}{2} + r = 0

\frac{4q^2-16qb+16b^2}{4} \frac{4q^2-8qb}{4} + r = 0

\frac{4q^2-16qb+16b^2}{4} + \frac{-4q^2+8qb}{4} + r = 0

\frac{-8qb+16b^2}{4} + r = 0

4b2 – 2qb + r = 0

r = 2qb – 4b2 … (viii)

Dari (ii) diperoleh : b2 = pb – r kemudian substitusi ke (viii)

r = 2qb – 4(pb – r)

= 2qb – 4pb + 4r

4pb – 2qb = 3r

\frac{b(4p-2q)}{3} = r … (ix)

Substitusi (vii) ke (ix), sehingga diperoleh :

\frac{b(4p-2q)}{3} = b(p – b)

4p – 2q = 3p – 3b

3b = 2q – p

b = \frac{2q-p}{3} … (x)

substitusi (x) ke (ix) :

(\frac{2q-p}{3})(\frac{4p-2q}{3}) = r

\frac{(2q-p)(4p-2q)}{3} = r

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s