Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)


  1. Diketahui A dan B adalah titik–titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p\sqrt{2} meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

    A. p\sqrt{5}

    B. p\sqrt{17}

    C. 3\sqrt{2}

    D. 4p

    E. 5p

    PEMBAHASAN :

    Dalam kasus soal ini kita akan memanfaatkan aturan kosinus :

    Rumus aturan kosinus adalah kuadrat sisi depan sudut = jumlah kuadrat sisi yang mengapit sudut dikurangi 2 cos sudut apit.

    AB2 = CA2 + CB2 – 2(CA)(CB)cos \angleACB

    = (2p\sqrt{2})2 + (p)2 – 2(2p\sqrt{2})(p)cos 450

    = 8p2 + p2 – (4p2\sqrt{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})

    = 9p2 – (4p2\sqrt{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})

    = 9p2 – 4p2

    = 5p2

    AB = p\sqrt{5}

    JAWABAN : A

  2. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah … km.

    A. 10\sqrt{95}

    B. 10\sqrt{91}

    C. 10\sqrt{85}

    D. 10\sqrt{71}

    E. 10\sqrt{61}

    PEMBAHASAN :

    Perlu diingat bahwa sudut yang dibentuk dalam soal tersebut dihitung dari arah utara. Jadi 044° dari arah utara dan 104° dari arah utara juga. (INGAT : jurusan tiga angka).

    Panjang AB = 50km dan panjang BC = 40km.

    Kemudian kita penyelesaian soal ini menggunakan aturan kosinus dengan sudut apit yang dibentuk atau \angleABC adalah 120°(maaf belum bisa bikin gambarnya)

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleACB

    = 502 + 402 – 2(50)(40)cos 1200

    = 2500 + 1600 – 4000(-\frac{1}{2})

    = 4100 + 2000

    = 6100

    = 61 x 100

    AC = 10\sqrt{61}

    JAWABAN : E

  3. Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil.

    A. 10\sqrt{37}

    B. 30\sqrt{7}

    C. 30\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}

    D. 30\sqrt{5 + 2\sqrt{3}}

    E. 30\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}

    PEMBAHASAN :

    Mengingat arah mata angin maka arah timur membentuk sudut 0900 dari arah utara. Dengan memperhatikan soal sebelumnya maka sudut apit yang dibentuk adalah 120°.

    Misal titi awalnya adalah A dan panjang lintasan kearah timur adalah AB = 30km dan panjang lintasan selanjutnya adalah BC = 60km.

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleACB

    = 302 + 602 – 2(30)(60)cos 1200

    = 900 + 3600 – 3600(-\frac{1}{2})

    = 4500 + 1800

    = 6300

    = 7 x 9 x 100

    AC = 30\sqrt{7}

    JAWABAN : B

  4. Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = …

    A. 5/7

    B. 2/7 \sqrt{6}

    C. 24/49

    D. 2/7

    E. 1/7 \sqrt{6}

    PEMBAHASAN :

    BC2 = AB2 + AC2 – 2(AB)(AC)cos \angleBAC

    52 = 72 + 62 – 2(7)(6)cos \angleBAC

    25 = 49 + 36 – 2(7)(6)cos \angleBAC

    60 = 2(7)(6)cos \angleBAC

    5/7 = cos \angleBAC

    Kemudian gambar segitiga ABC siku-siku dengan siku-sikunya di titik B dengan sisi alasnya AB (5cm), sisi tegaknya AC dan sisi miringnya BC(7cm). Dengan menggunakan Rumus Phytagoras maka diperoleh panjang AC = 2\sqrt{6}. Maka sin \angleBAC = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{6}}{7} = 2/7 \sqrt{6}

    JAWABAN : B

  5. Jika panjang sisi- sisi \triangle ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = a, sudut ABC = b, sudut BCA = c, maka sin a : sin b : sin c = …

    A. 4 : 5 : 6

    B. 5 : 6 : 4

    C. 6 : 5 : 4

    D. 4 : 6 : 5

    E. 6 : 4 : 5

    PEMBAHASAN :

    Pandang sudut BAC :

    BC2 = AB2 + AC2 – 2(AB)(AC)cos \angleBAC

    62 = 42 + 52 – 2(4)(5)cos a

    36 = 16 + 25 – 2(4)(5) cos a

    5 = 2(4)(5) cos a

    1/8 = cos a

    sin a = \frac{\sqrt{8^2-1^2}}{8}

    = \frac{\sqrt{64-1}}{8}

    = \frac{\sqrt{63}}{8}

    = \frac{\sqrt{9.7}}{8}

    = \frac{3\sqrt{7}}{8}

    Pandang sudut ABC :

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleABC

    52 = 42 + 62 – 2(4)(6)cos b

    25 = 16 + 36 – 2(4)(6) cos b

    27 = 2(4)(6) cos b

    9/16 = cos b

    sin b = \frac{\sqrt{16^2-9^2}}{16}

          = \frac{\sqrt{256-81}}{16}

          = \frac{\sqrt{175}}{16}

          = \frac{\sqrt{5.5.7}}{16}

          = \frac{5\sqrt{7}}{16}

    Pandang sudut BCA :

    AB2 = BC2 + AC2 – 2(BC)(AC)cos \angleBCA

    42 = 62 + 52 – 2(6)(5)cos c

    16 = 36 + 25 – 2(6)(5) cos c

    45 = 2(6)(5) cos c

    3/4 = cos c

    sin c = \frac{\sqrt{4^2-3^2}}{4}

    = \frac{\sqrt{16-9}}{4}

    = \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin a : sin b : sin c = \frac{3\sqrt{7}}{8} : \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin a : sin b : sin c = \frac{6\sqrt{7}}{16} : \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{4\sqrt{7}}{16}

    sin a : sin b : sin c = 6 : 5 : 4

    JAWABAN : C

  6. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, \sqrt{21} cm adalah …

    A. 1/5 \sqrt{21}

    B. 1/6 \sqrt{21}

    C. 1/5 \sqrt{5}

    D. 1/6 \sqrt{5}

    E. 1/3 \sqrt{5}

    PEMBAHASAN :

    Perhatikan soal nomer.5 diatas, dilihat dari perhitungan tersebut, maka sudut yang memiliki nilai sin yang terkecil adalah sudut yang didepannya memiliki panjang sisi terpendek.

    Misal AB = 5cm = \sqrt{25}cm, BC = 6cm = \sqrt{36}cm dan AC = \sqrt{21}cm

    Dari panjang ketiga sisi tersebut, panjang sisi terpendek adalah sisi AC. Jadi sudut yang dimaksud adalah \angleABC

    Pandang sudut ABC :

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleABC

    (\sqrt{21})2 = 52 + 62 – 2(5)(6)cos b

    21 = 25 + 36 – 2(5)(6) cos b

    40 = 2(5)(6) cos b

    2/3 = cos b

    sin b = \frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}

    = \frac{\sqrt{9-4}}{3}

    = \frac{\sqrt{5}}{3}

    = 1/3 \sqrt{5}

    JAWABAN : E

  7. Diketahui \trianglePQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = …

    A. 12/10 \sqrt{2}

    B. 12/5 \sqrt{2}

    C. 24/5 \sqrt{2}

    D. 5/6 \sqrt{2}

    E. 6 \sqrt{2}

    PEMBAHASAN :

    sudut PQR = 90° artinya titik Q merupakan titik siku-sikunya dengan PQ dan QR sisi siku-siku dan PR sisi miringnya.

    QS garis bagi sudut PQR artinya sudut PQR dibagi dua.

    PR2 = QP2 + QR2

    = 62 + 42

    = 36 + 16

    = 52

    PR = \sqrt{2.2.13} = 2\sqrt{13}

    Jadi panjang PS = RS = 1/2(PR) = \sqrt{13}

    Untuk menghitung panjang QS, disini kita gunakan aturan kosinus dengan memandang \triangleSQR dengan \angleSQR = 450 dan \triangleSQP dengan \angleSQP = 450

    RS2 = QS2 + QR2 – 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    RS2 – QR2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = QS2 … (i)

    PS2 = QS2 + QP2 – 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    PS2 – QP2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = QS2 … (ii)

    (i) = (ii)

    RS2 – QR2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = PS2 – QP2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    karena RS = PS , maka :

    – QR2 + 2(QS)(QR) cos 450 = – QP2 + 2(QS)(QR)cos 450

    – 42 + 2(QS)(4) \frac{1}{2} \sqrt{2} = – 62 + 2(QS)(6) \frac{1}{2} \sqrt{2}

    -16 + 4\sqrt{2} QS = -36 + 6\sqrt{2} QS

    -16 + 36 = (6 – 4) \sqrt{2} QS

    \frac{20}{2\sqrt{2}} = QS

    \frac{20}{2\sqrt{2}} x \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = QS

    5\sqrt{2} = QS

    JAWABAN :

  8. Luas segitiga ABC adalah (3 + 2\sqrt{3}) cm. Jika panjang sisi AB = (6 + 4\sqrt{3}) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sin(A + C) = …

    A. 6\sqrt{2}

    B. 3\sqrt{2}

    C. 1/7

    D. \frac{7}{6+4\sqrt{3}}

    E. \frac{7}{3+4\sqrt{3}}

    PEMBAHASAN :

    misal AB = c dan BC = a dan sudut apitnya adalah \angleB

    Luas \triangleABC = \frac{1}{2}.a.c.sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = \frac{1}{2}.7. (6 + 4\sqrt{3}) sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = \frac{1}{2}.7. 2(3 + 2\sqrt{3}) sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = 7(3 + 2\sqrt{3}) sin \angleB

    1 = 7 sin \angleB

    1/7 = sin \angleB

    sin (A + C) = sin(1800 – B)

    = sin B

    = 1/7

    JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

14 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)

    • betul sekali, tapi ini tentang ‘jurusan tiga angka’ sehingga perhitungan sudutnya sedikit berbeda. Sudutnya selalu dihitung melalui arah utara. Coba dipelajari lagi materinya.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s