Jul 26 2012

Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)


  1. Diketahui A dan B adalah titik–titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p\sqrt{2} meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

    A. p\sqrt{5}

    B. p\sqrt{17}

    C. 3\sqrt{2}

    D. 4p

    E. 5p

    PEMBAHASAN :

    Dalam kasus soal ini kita akan memanfaatkan aturan kosinus :

    Rumus aturan kosinus adalah kuadrat sisi depan sudut = jumlah kuadrat sisi yang mengapit sudut dikurangi 2 cos sudut apit.

    AB2 = CA2 + CB2 – 2(CA)(CB)cos \angleACB

    = (2p\sqrt{2})2 + (p)2 – 2(2p\sqrt{2})(p)cos 450

    = 8p2 + p2 – (4p2\sqrt{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})

    = 9p2 – (4p2\sqrt{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})

    = 9p2 – 4p2

    = 5p2

    AB = p\sqrt{5}

    JAWABAN : A

  2. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah … km.

    A. 10\sqrt{95}

    B. 10\sqrt{91}

    C. 10\sqrt{85}

    D. 10\sqrt{71}

    E. 10\sqrt{61}

    PEMBAHASAN :

    Perlu diingat bahwa sudut yang dibentuk dalam soal tersebut dihitung dari arah utara. Jadi 044° dari arah utara dan 104° dari arah utara juga. (INGAT : jurusan tiga angka).

    Panjang AB = 50km dan panjang BC = 40km.

    Kemudian kita penyelesaian soal ini menggunakan aturan kosinus dengan sudut apit yang dibentuk atau \angleABC adalah 120°(maaf belum bisa bikin gambarnya)

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleACB

    = 502 + 402 – 2(50)(40)cos 1200

    = 2500 + 1600 – 4000(-\frac{1}{2})

    = 4100 + 2000

    = 6100

    = 61 x 100

    AC = 10\sqrt{61}

    JAWABAN : E

  3. Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil.

    A. 10\sqrt{37}

    B. 30\sqrt{7}

    C. 30\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}

    D. 30\sqrt{5 + 2\sqrt{3}}

    E. 30\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}

    PEMBAHASAN :

    Mengingat arah mata angin maka arah timur membentuk sudut 0900 dari arah utara. Dengan memperhatikan soal sebelumnya maka sudut apit yang dibentuk adalah 120°.

    Misal titi awalnya adalah A dan panjang lintasan kearah timur adalah AB = 30km dan panjang lintasan selanjutnya adalah BC = 60km.

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleACB

    = 302 + 602 – 2(30)(60)cos 1200

    = 900 + 3600 – 3600(-\frac{1}{2})

    = 4500 + 1800

    = 6300

    = 7 x 9 x 100

    AC = 30\sqrt{7}

    JAWABAN : B

  4. Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = …

    A. 5/7

    B. 2/7 \sqrt{6}

    C. 24/49

    D. 2/7

    E. 1/7 \sqrt{6}

    PEMBAHASAN :

    BC2 = AB2 + AC2 – 2(AB)(AC)cos \angleBAC

    52 = 72 + 62 – 2(7)(6)cos \angleBAC

    25 = 49 + 36 – 2(7)(6)cos \angleBAC

    60 = 2(7)(6)cos \angleBAC

    5/7 = cos \angleBAC

    Kemudian gambar segitiga ABC siku-siku dengan siku-sikunya di titik B dengan sisi alasnya AB (5cm), sisi tegaknya AC dan sisi miringnya BC(7cm). Dengan menggunakan Rumus Phytagoras maka diperoleh panjang AC = 2\sqrt{6}. Maka sin \angleBAC = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{6}}{7} = 2/7 \sqrt{6}

    JAWABAN : B

  5. Jika panjang sisi- sisi \triangle ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = a, sudut ABC = b, sudut BCA = c, maka sin a : sin b : sin c = …

    A. 4 : 5 : 6

    B. 5 : 6 : 4

    C. 6 : 5 : 4

    D. 4 : 6 : 5

    E. 6 : 4 : 5

    PEMBAHASAN :

    Pandang sudut BAC :

    BC2 = AB2 + AC2 – 2(AB)(AC)cos \angleBAC

    62 = 42 + 52 – 2(4)(5)cos a

    36 = 16 + 25 – 2(4)(5) cos a

    5 = 2(4)(5) cos a

    1/8 = cos a

    sin a = \frac{\sqrt{8^2-1^2}}{8}

    = \frac{\sqrt{64-1}}{8}

    = \frac{\sqrt{63}}{8}

    = \frac{\sqrt{9.7}}{8}

    = \frac{3\sqrt{7}}{8}

    Pandang sudut ABC :

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleABC

    52 = 42 + 62 – 2(4)(6)cos b

    25 = 16 + 36 – 2(4)(6) cos b

    27 = 2(4)(6) cos b

    9/16 = cos b

    sin b = \frac{\sqrt{16^2-9^2}}{16}

          = \frac{\sqrt{256-81}}{16}

          = \frac{\sqrt{175}}{16}

          = \frac{\sqrt{5.5.7}}{16}

          = \frac{5\sqrt{7}}{16}

    Pandang sudut BCA :

    AB2 = BC2 + AC2 – 2(BC)(AC)cos \angleBCA

    42 = 62 + 52 – 2(6)(5)cos c

    16 = 36 + 25 – 2(6)(5) cos c

    45 = 2(6)(5) cos c

    3/4 = cos c

    sin c = \frac{\sqrt{4^2-3^2}}{4}

    = \frac{\sqrt{16-9}}{4}

    = \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin a : sin b : sin c = \frac{3\sqrt{7}}{8} : \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{\sqrt{7}}{4}

    sin a : sin b : sin c = \frac{6\sqrt{7}}{16} : \frac{5\sqrt{7}}{16} : \frac{4\sqrt{7}}{16}

    sin a : sin b : sin c = 6 : 5 : 4

    JAWABAN : C

  6. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, \sqrt{21} cm adalah …

    A. 1/5 \sqrt{21}

    B. 1/6 \sqrt{21}

    C. 1/5 \sqrt{5}

    D. 1/6 \sqrt{5}

    E. 1/3 \sqrt{5}

    PEMBAHASAN :

    Perhatikan soal nomer.5 diatas, dilihat dari perhitungan tersebut, maka sudut yang memiliki nilai sin yang terkecil adalah sudut yang didepannya memiliki panjang sisi terpendek.

    Misal AB = 5cm = \sqrt{25}cm, BC = 6cm = \sqrt{36}cm dan AC = \sqrt{21}cm

    Dari panjang ketiga sisi tersebut, panjang sisi terpendek adalah sisi AC. Jadi sudut yang dimaksud adalah \angleABC

    Pandang sudut ABC :

    AC2 = AB2 + BC2 – 2(AB)(BC)cos \angleABC

    (\sqrt{21})2 = 52 + 62 – 2(5)(6)cos b

    21 = 25 + 36 – 2(5)(6) cos b

    40 = 2(5)(6) cos b

    2/3 = cos b

    sin b = \frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}

    = \frac{\sqrt{9-4}}{3}

    = \frac{\sqrt{5}}{3}

    = 1/3 \sqrt{5}

    JAWABAN : E

  7. Diketahui \trianglePQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = …

    A. 12/10 \sqrt{2}

    B. 12/5 \sqrt{2}

    C. 24/5 \sqrt{2}

    D. 5/6 \sqrt{2}

    E. 6 \sqrt{2}

    PEMBAHASAN :

    sudut PQR = 90° artinya titik Q merupakan titik siku-sikunya dengan PQ dan QR sisi siku-siku dan PR sisi miringnya.

    QS garis bagi sudut PQR artinya sudut PQR dibagi dua.

    PR2 = QP2 + QR2

    = 62 + 42

    = 36 + 16

    = 52

    PR = \sqrt{2.2.13} = 2\sqrt{13}

    Jadi panjang PS = RS = 1/2(PR) = \sqrt{13}

    Untuk menghitung panjang QS, disini kita gunakan aturan kosinus dengan memandang \triangleSQR dengan \angleSQR = 450 dan \triangleSQP dengan \angleSQP = 450

    RS2 = QS2 + QR2 – 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    RS2 – QR2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = QS2 … (i)

    PS2 = QS2 + QP2 – 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    PS2 – QP2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = QS2 … (ii)

    (i) = (ii)

    RS2 – QR2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR = PS2 – QP2 + 2(QS)(QR)cos \angleSQR

    karena RS = PS , maka :

    – QR2 + 2(QS)(QR) cos 450 = – QP2 + 2(QS)(QR)cos 450

    – 42 + 2(QS)(4) \frac{1}{2} \sqrt{2} = – 62 + 2(QS)(6) \frac{1}{2} \sqrt{2}

    -16 + 4\sqrt{2} QS = -36 + 6\sqrt{2} QS

    -16 + 36 = (6 – 4) \sqrt{2} QS

    \frac{20}{2\sqrt{2}} = QS

    \frac{20}{2\sqrt{2}} x \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = QS

    5\sqrt{2} = QS

    JAWABAN :

  8. Luas segitiga ABC adalah (3 + 2\sqrt{3}) cm. Jika panjang sisi AB = (6 + 4\sqrt{3}) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sin(A + C) = …

    A. 6\sqrt{2}

    B. 3\sqrt{2}

    C. 1/7

    D. \frac{7}{6+4\sqrt{3}}

    E. \frac{7}{3+4\sqrt{3}}

    PEMBAHASAN :

    misal AB = c dan BC = a dan sudut apitnya adalah \angleB

    Luas \triangleABC = \frac{1}{2}.a.c.sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = \frac{1}{2}.7. (6 + 4\sqrt{3}) sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = \frac{1}{2}.7. 2(3 + 2\sqrt{3}) sin \angleB

    3 + 2\sqrt{3} = 7(3 + 2\sqrt{3}) sin \angleB

    1 = 7 sin \angleB

    1/7 = sin \angleB

    sin (A + C) = sin(1800 – B)

    = sin B

    = 1/7

    JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

17 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)”

Tinggalkan komentar