Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)

Diketahui A dan B adalah titik–titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p $\sqrt{2}$ meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

A. p $\sqrt{5}$

B. p $\sqrt{17}$

C. 3 $\sqrt{2}$

D. 4p

E. 5p

PEMBAHASAN :

Dalam kasus soal ini kita akan memanfaatkan aturan kosinus :

Rumus aturan kosinus adalah kuadrat sisi depan sudut = jumlah kuadrat sisi yang mengapit sudut dikurangi 2 cos sudut apit.

AB² = CA² + CB² – 2(CA)(CB)cos $\angle$ ACB

= (2p $\sqrt{2}$ )² + (p)² – 2(2p $\sqrt{2}$ )(p)cos 45⁰

= 8p² + p² – (4p² $\sqrt{2}$ )( $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ )

= 9p² – (4p² $\sqrt{2}$ )( $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ )

= 9p² – 4p²

= 5p²

AB = p $\sqrt{5}$

JAWABAN : A
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah … km.

A. 10 $\sqrt{95}$

B. 10 $\sqrt{91}$

C. 10 $\sqrt{85}$

D. 10 $\sqrt{71}$

E. 10 $\sqrt{61}$

PEMBAHASAN :

Perlu diingat bahwa sudut yang dibentuk dalam soal tersebut dihitung dari arah utara. Jadi 044° dari arah utara dan 104° dari arah utara juga. (INGAT : jurusan tiga angka).

Panjang AB = 50km dan panjang BC = 40km.

Kemudian kita penyelesaian soal ini menggunakan aturan kosinus dengan sudut apit yang dibentuk atau $\angle$ ABC adalah 120°(maaf belum bisa bikin gambarnya)

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ACB

= 50² + 40² – 2(50)(40)cos 120⁰

= 2500 + 1600 – 4000( $-\frac{1}{2}$ )

= 4100 + 2000

= 6100

= 61 x 100

AC = 10 $\sqrt{61}$

JAWABAN : E
Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil.

A. 10 $\sqrt{37}$

B. 30 $\sqrt{7}$

C. 30 $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$

D. 30 $\sqrt{5 + 2\sqrt{3}}$

E. 30 $\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$

PEMBAHASAN :

Mengingat arah mata angin maka arah timur membentuk sudut 090⁰ dari arah utara. Dengan memperhatikan soal sebelumnya maka sudut apit yang dibentuk adalah 120°.

Misal titi awalnya adalah A dan panjang lintasan kearah timur adalah AB = 30km dan panjang lintasan selanjutnya adalah BC = 60km.

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ACB

= 30² + 60² – 2(30)(60)cos 120⁰

= 900 + 3600 – 3600( $-\frac{1}{2}$ )

= 4500 + 1800

= 6300

= 7 x 9 x 100

AC = 30 $\sqrt{7}$

JAWABAN : B
Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = …

A. 5/7

B. 2/7 $\sqrt{6}$

C. 24/49

D. 2/7

E. 1/7 $\sqrt{6}$

PEMBAHASAN :

BC² = AB² + AC² – 2(AB)(AC)cos $\angle$ BAC

5² = 7² + 6² – 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

25 = 49 + 36 – 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

60 = 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

5/7 = cos $\angle$ BAC

Kemudian gambar segitiga ABC siku-siku dengan siku-sikunya di titik B dengan sisi alasnya AB (5cm), sisi tegaknya AC dan sisi miringnya BC(7cm). Dengan menggunakan Rumus Phytagoras maka diperoleh panjang AC = $2\sqrt{6}$ . Maka sin $\angle$ BAC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ = 2/7 $\sqrt{6}$

JAWABAN : B
Jika panjang sisi- sisi $\triangle$ ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = a, sudut ABC = b, sudut BCA = c, maka sin a : sin b : sin c = …

A. 4 : 5 : 6

B. 5 : 6 : 4

C. 6 : 5 : 4

D. 4 : 6 : 5

E. 6 : 4 : 5

PEMBAHASAN :

Pandang sudut BAC :

BC² = AB² + AC² – 2(AB)(AC)cos $\angle$ BAC

6² = 4² + 5² – 2(4)(5)cos a

36 = 16 + 25 – 2(4)(5) cos a

5 = 2(4)(5) cos a

1/8 = cos a

sin a = $\frac{\sqrt{8^2-1^2}}{8}$

= $\frac{\sqrt{64-1}}{8}$

= $\frac{\sqrt{63}}{8}$

= $\frac{\sqrt{9.7}}{8}$

= $\frac{3\sqrt{7}}{8}$

Pandang sudut ABC :

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ABC

5² = 4² + 6² – 2(4)(6)cos b

25 = 16 + 36 – 2(4)(6) cos b

27 = 2(4)(6) cos b

9/16 = cos b

sin b = $\frac{\sqrt{16^2-9^2}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{256-81}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{175}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{5.5.7}}{16}$

      = $\frac{5\sqrt{7}}{16}$

Pandang sudut BCA :

AB² = BC² + AC² – 2(BC)(AC)cos $\angle$ BCA

4² = 6² + 5² – 2(6)(5)cos c

16 = 36 + 25 – 2(6)(5) cos c

45 = 2(6)(5) cos c

3/4 = cos c

sin c = $\frac{\sqrt{4^2-3^2}}{4}$

= $\frac{\sqrt{16-9}}{4}$

= $\frac{\sqrt{7}}{4}$

sin a : sin b : sin c = $\frac{3\sqrt{7}}{8}$ : $\frac{5\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{\sqrt{7}}{4}$

sin a : sin b : sin c = $\frac{6\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{5\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{4\sqrt{7}}{16}$

sin a : sin b : sin c = 6 : 5 : 4

JAWABAN : C
Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, $\sqrt{21}$ cm adalah …

A. 1/5 $\sqrt{21}$

B. 1/6 $\sqrt{21}$

C. 1/5 $\sqrt{5}$

D. 1/6 $\sqrt{5}$

E. 1/3 $\sqrt{5}$

PEMBAHASAN :

Perhatikan soal nomer.5 diatas, dilihat dari perhitungan tersebut, maka sudut yang memiliki nilai sin yang terkecil adalah sudut yang didepannya memiliki panjang sisi terpendek.

Misal AB = 5cm = $\sqrt{25}$ cm, BC = 6cm = $\sqrt{36}$ cm dan AC = $\sqrt{21}$ cm

Dari panjang ketiga sisi tersebut, panjang sisi terpendek adalah sisi AC. Jadi sudut yang dimaksud adalah $\angle$ ABC

Pandang sudut ABC :

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ABC

( $\sqrt{21}$ )² = 5² + 6² – 2(5)(6)cos b

21 = 25 + 36 – 2(5)(6) cos b

40 = 2(5)(6) cos b

2/3 = cos b

sin b = $\frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}$

= $\frac{\sqrt{9-4}}{3}$

= $\frac{\sqrt{5}}{3}$

= 1/3 $\sqrt{5}$

JAWABAN : E
Diketahui $\triangle$ PQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = …

A. 12/10 $\sqrt{2}$

B. 12/5 $\sqrt{2}$

C. 24/5 $\sqrt{2}$

D. 5/6 $\sqrt{2}$

E. 6 $\sqrt{2}$

PEMBAHASAN :

sudut PQR = 90° artinya titik Q merupakan titik siku-sikunya dengan PQ dan QR sisi siku-siku dan PR sisi miringnya.

QS garis bagi sudut PQR artinya sudut PQR dibagi dua.

PR² = QP² + QR²

= 6² + 4²

= 36 + 16

= 52

PR = $\sqrt{2.2.13}$ = 2 $\sqrt{13}$

Jadi panjang PS = RS = 1/2(PR) = $\sqrt{13}$

Untuk menghitung panjang QS, disini kita gunakan aturan kosinus dengan memandang $\triangle$ SQR dengan $\angle$ SQR = 45⁰ dan $\triangle$ SQP dengan $\angle$ SQP = 45⁰

RS² = QS² + QR² – 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

RS² – QR² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = QS² … (i)

PS² = QS² + QP² – 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

PS² – QP² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = QS² … (ii)

(i) = (ii)

RS² – QR² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = PS² – QP² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

karena RS = PS , maka :

– QR² + 2(QS)(QR) cos 45⁰ = – QP² + 2(QS)(QR)cos 45⁰

– 4² + 2(QS)(4) $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ = – 6² + 2(QS)(6) $\frac{1}{2} \sqrt{2}$

-16 + 4 $\sqrt{2}$ QS = -36 + 6 $\sqrt{2}$ QS

-16 + 36 = (6 – 4) $\sqrt{2}$ QS

$\frac{20}{2\sqrt{2}}$ = QS

$\frac{20}{2\sqrt{2}}$ x $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = QS

$5\sqrt{2}$ = QS

JAWABAN :
Luas segitiga ABC adalah (3 + 2 $\sqrt{3}$ ) cm. Jika panjang sisi AB = (6 + 4 $\sqrt{3}$ ) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sin(A + C) = …

A. 6 $\sqrt{2}$

B. 3 $\sqrt{2}$

C. 1/7

D. $\frac{7}{6+4\sqrt{3}}$

E. $\frac{7}{3+4\sqrt{3}}$

PEMBAHASAN :

misal AB = c dan BC = a dan sudut apitnya adalah $\angle$ B

Luas $\triangle$ ABC = $\frac{1}{2}$ .a.c.sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{2}$ .7. (6 + 4 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{2}$ .7. 2(3 + 2 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = 7(3 + 2 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

1 = 7 sin $\angle$ B

1/7 = sin $\angle$ B

sin (A + C) = sin(180⁰ – B)

= sin B

= 1/7

JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

17 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)”

diansitorus13

Januari 18, 2017 @ 5:15 am

Maaf mau tanya, Ini materi SMA IPS atau IPA ya? Trmksh.

Balas
- aim
  
  Januari 20, 2017 @ 2:32 pm
  
  IPA
  
  Balas
arums883@gmail.com

Februari 6, 2017 @ 11:31 pm

terimakasih contoh2 soalnya, semoga bermanfaat !

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…
	aim di Tutorial LaTeX (5)
	aim di Tukar Link
	Habiby di Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Samira di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Paulisa Bunga Chinta… di Tutorial LaTeX (5)
	Anugrah Yoga Pratama di Tukar Link
	eko suseno di Menentukan Suku ke-n pada Bari…
	ilhamganteng di Nilai Log (0)
	aim di Pembahasan Latihan Soal Olimpi…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

17 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan