Jul 26 2012

Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)

Diketahui A dan B adalah titik–titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p $\sqrt{2}$ meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

A. p $\sqrt{5}$

B. p $\sqrt{17}$

C. 3 $\sqrt{2}$

D. 4p

E. 5p

PEMBAHASAN :

Dalam kasus soal ini kita akan memanfaatkan aturan kosinus :

Rumus aturan kosinus adalah kuadrat sisi depan sudut = jumlah kuadrat sisi yang mengapit sudut dikurangi 2 cos sudut apit.

AB² = CA² + CB² – 2(CA)(CB)cos $\angle$ ACB

= (2p $\sqrt{2}$ )² + (p)² – 2(2p $\sqrt{2}$ )(p)cos 45⁰

= 8p² + p² – (4p² $\sqrt{2}$ )( $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ )

= 9p² – (4p² $\sqrt{2}$ )( $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ )

= 9p² – 4p²

= 5p²

AB = p $\sqrt{5}$

JAWABAN : A
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah … km.

A. 10 $\sqrt{95}$

B. 10 $\sqrt{91}$

C. 10 $\sqrt{85}$

D. 10 $\sqrt{71}$

E. 10 $\sqrt{61}$

PEMBAHASAN :

Perlu diingat bahwa sudut yang dibentuk dalam soal tersebut dihitung dari arah utara. Jadi 044° dari arah utara dan 104° dari arah utara juga. (INGAT : jurusan tiga angka).

Panjang AB = 50km dan panjang BC = 40km.

Kemudian kita penyelesaian soal ini menggunakan aturan kosinus dengan sudut apit yang dibentuk atau $\angle$ ABC adalah 120°(maaf belum bisa bikin gambarnya)

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ACB

= 50² + 40² – 2(50)(40)cos 120⁰

= 2500 + 1600 – 4000( $-\frac{1}{2}$ )

= 4100 + 2000

= 6100

= 61 x 100

AC = 10 $\sqrt{61}$

JAWABAN : E
Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil.

A. 10 $\sqrt{37}$

B. 30 $\sqrt{7}$

C. 30 $\sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$

D. 30 $\sqrt{5 + 2\sqrt{3}}$

E. 30 $\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$

PEMBAHASAN :

Mengingat arah mata angin maka arah timur membentuk sudut 090⁰ dari arah utara. Dengan memperhatikan soal sebelumnya maka sudut apit yang dibentuk adalah 120°.

Misal titi awalnya adalah A dan panjang lintasan kearah timur adalah AB = 30km dan panjang lintasan selanjutnya adalah BC = 60km.

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ACB

= 30² + 60² – 2(30)(60)cos 120⁰

= 900 + 3600 – 3600( $-\frac{1}{2}$ )

= 4500 + 1800

= 6300

= 7 x 9 x 100

AC = 30 $\sqrt{7}$

JAWABAN : B
Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = …

A. 5/7

B. 2/7 $\sqrt{6}$

C. 24/49

D. 2/7

E. 1/7 $\sqrt{6}$

PEMBAHASAN :

BC² = AB² + AC² – 2(AB)(AC)cos $\angle$ BAC

5² = 7² + 6² – 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

25 = 49 + 36 – 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

60 = 2(7)(6)cos $\angle$ BAC

5/7 = cos $\angle$ BAC

Kemudian gambar segitiga ABC siku-siku dengan siku-sikunya di titik B dengan sisi alasnya AB (5cm), sisi tegaknya AC dan sisi miringnya BC(7cm). Dengan menggunakan Rumus Phytagoras maka diperoleh panjang AC = $2\sqrt{6}$ . Maka sin $\angle$ BAC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ = 2/7 $\sqrt{6}$

JAWABAN : B
Jika panjang sisi- sisi $\triangle$ ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = a, sudut ABC = b, sudut BCA = c, maka sin a : sin b : sin c = …

A. 4 : 5 : 6

B. 5 : 6 : 4

C. 6 : 5 : 4

D. 4 : 6 : 5

E. 6 : 4 : 5

PEMBAHASAN :

Pandang sudut BAC :

BC² = AB² + AC² – 2(AB)(AC)cos $\angle$ BAC

6² = 4² + 5² – 2(4)(5)cos a

36 = 16 + 25 – 2(4)(5) cos a

5 = 2(4)(5) cos a

1/8 = cos a

sin a = $\frac{\sqrt{8^2-1^2}}{8}$

= $\frac{\sqrt{64-1}}{8}$

= $\frac{\sqrt{63}}{8}$

= $\frac{\sqrt{9.7}}{8}$

= $\frac{3\sqrt{7}}{8}$

Pandang sudut ABC :

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ABC

5² = 4² + 6² – 2(4)(6)cos b

25 = 16 + 36 – 2(4)(6) cos b

27 = 2(4)(6) cos b

9/16 = cos b

sin b = $\frac{\sqrt{16^2-9^2}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{256-81}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{175}}{16}$

      = $\frac{\sqrt{5.5.7}}{16}$

      = $\frac{5\sqrt{7}}{16}$

Pandang sudut BCA :

AB² = BC² + AC² – 2(BC)(AC)cos $\angle$ BCA

4² = 6² + 5² – 2(6)(5)cos c

16 = 36 + 25 – 2(6)(5) cos c

45 = 2(6)(5) cos c

3/4 = cos c

sin c = $\frac{\sqrt{4^2-3^2}}{4}$

= $\frac{\sqrt{16-9}}{4}$

= $\frac{\sqrt{7}}{4}$

sin a : sin b : sin c = $\frac{3\sqrt{7}}{8}$ : $\frac{5\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{\sqrt{7}}{4}$

sin a : sin b : sin c = $\frac{6\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{5\sqrt{7}}{16}$ : $\frac{4\sqrt{7}}{16}$

sin a : sin b : sin c = 6 : 5 : 4

JAWABAN : C
Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, $\sqrt{21}$ cm adalah …

A. 1/5 $\sqrt{21}$

B. 1/6 $\sqrt{21}$

C. 1/5 $\sqrt{5}$

D. 1/6 $\sqrt{5}$

E. 1/3 $\sqrt{5}$

PEMBAHASAN :

Perhatikan soal nomer.5 diatas, dilihat dari perhitungan tersebut, maka sudut yang memiliki nilai sin yang terkecil adalah sudut yang didepannya memiliki panjang sisi terpendek.

Misal AB = 5cm = $\sqrt{25}$ cm, BC = 6cm = $\sqrt{36}$ cm dan AC = $\sqrt{21}$ cm

Dari panjang ketiga sisi tersebut, panjang sisi terpendek adalah sisi AC. Jadi sudut yang dimaksud adalah $\angle$ ABC

Pandang sudut ABC :

AC² = AB² + BC² – 2(AB)(BC)cos $\angle$ ABC

( $\sqrt{21}$ )² = 5² + 6² – 2(5)(6)cos b

21 = 25 + 36 – 2(5)(6) cos b

40 = 2(5)(6) cos b

2/3 = cos b

sin b = $\frac{\sqrt{3^2-2^2}}{3}$

= $\frac{\sqrt{9-4}}{3}$

= $\frac{\sqrt{5}}{3}$

= 1/3 $\sqrt{5}$

JAWABAN : E
Diketahui $\triangle$ PQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = …

A. 12/10 $\sqrt{2}$

B. 12/5 $\sqrt{2}$

C. 24/5 $\sqrt{2}$

D. 5/6 $\sqrt{2}$

E. 6 $\sqrt{2}$

PEMBAHASAN :

sudut PQR = 90° artinya titik Q merupakan titik siku-sikunya dengan PQ dan QR sisi siku-siku dan PR sisi miringnya.

QS garis bagi sudut PQR artinya sudut PQR dibagi dua.

PR² = QP² + QR²

= 6² + 4²

= 36 + 16

= 52

PR = $\sqrt{2.2.13}$ = 2 $\sqrt{13}$

Jadi panjang PS = RS = 1/2(PR) = $\sqrt{13}$

Untuk menghitung panjang QS, disini kita gunakan aturan kosinus dengan memandang $\triangle$ SQR dengan $\angle$ SQR = 45⁰ dan $\triangle$ SQP dengan $\angle$ SQP = 45⁰

RS² = QS² + QR² – 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

RS² – QR² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = QS² … (i)

PS² = QS² + QP² – 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

PS² – QP² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = QS² … (ii)

(i) = (ii)

RS² – QR² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR = PS² – QP² + 2(QS)(QR)cos $\angle$ SQR

karena RS = PS , maka :

– QR² + 2(QS)(QR) cos 45⁰ = – QP² + 2(QS)(QR)cos 45⁰

– 4² + 2(QS)(4) $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ = – 6² + 2(QS)(6) $\frac{1}{2} \sqrt{2}$

-16 + 4 $\sqrt{2}$ QS = -36 + 6 $\sqrt{2}$ QS

-16 + 36 = (6 – 4) $\sqrt{2}$ QS

$\frac{20}{2\sqrt{2}}$ = QS

$\frac{20}{2\sqrt{2}}$ x $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = QS

$5\sqrt{2}$ = QS

JAWABAN :
Luas segitiga ABC adalah (3 + 2 $\sqrt{3}$ ) cm. Jika panjang sisi AB = (6 + 4 $\sqrt{3}$ ) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sin(A + C) = …

A. 6 $\sqrt{2}$

B. 3 $\sqrt{2}$

C. 1/7

D. $\frac{7}{6+4\sqrt{3}}$

E. $\frac{7}{3+4\sqrt{3}}$

PEMBAHASAN :

misal AB = c dan BC = a dan sudut apitnya adalah $\angle$ B

Luas $\triangle$ ABC = $\frac{1}{2}$ .a.c.sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{2}$ .7. (6 + 4 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{2}$ .7. 2(3 + 2 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

3 + 2 $\sqrt{3}$ = 7(3 + 2 $\sqrt{3}$ ) sin $\angle$ B

1 = 7 sin $\angle$ B

1/7 = sin $\angle$ B

sin (A + C) = sin(180⁰ – B)

= sin B

= 1/7

JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

17 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)”

diansitorus13

Januari 18, 2017 @ 5:15 am

Maaf mau tanya, Ini materi SMA IPS atau IPA ya? Trmksh.

Balas
- aim
  
  Januari 20, 2017 @ 2:32 pm
  
  IPA
  
  Balas
arums883@gmail.com

Februari 6, 2017 @ 11:31 pm

terimakasih contoh2 soalnya, semoga bermanfaat !

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

17 comments on “Pembahasan Soal Trigonometri UN SMA (2)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan