Des 13 2012

Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA

Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x² dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas

A. 54

B. 32

C. 20 $\frac{5}{6}$

D. 18

E. 10 $\frac{2}{3}$

PEMBAHASAN :

Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudian

persamaan kurva (y₁) = persamaan garis (y₂)

x² = 6 – x

x² + x – 6 = 0

(x + 3)(x – 2) = 0

x = -3 atau x = 2

Luas = $\int_{-3}^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_{-3}^2$ x² + x – 6 dx

= $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 6x $\mid_{-3}^2$

= ( $\frac{1}{3}$ (2)³ + $\frac{1}{2}$ (2)² – 6(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (-3)³ + $\frac{1}{2}$ (-3)² – 6(-3))

= ( $\frac{8}{3}$ + 2 – 12) – (-9 + $\frac{9}{2}$ + 18)

= -19 – $\frac{11}{6}$

= $-20\frac{5}{6}$

Luas suatu kurva tidak mungkin bernilai negatif, jadi hasil akhirnya

= $20\frac{5}{6}$ satuan luas

JAWABAN : C
Jika f(x) = (x – 2)² – 4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan

A. 10 $\frac{2}{3}$

B. 21 $\frac{1}{3}$

C. 22 $\frac{2}{3}$

D. 42 $\frac{2}{3}$

E. 45 $\frac{1}{3}$

PEMBAHASAN :

f(x) = (x – 2)² – 4

g(x) = – f(x) = 4 – (x – 2)²

f(x) = g(x) [cari batas atas dan batas bawahnya]

(x – 2)² – 4 = 4 – (x – 2)²

2(x – 2)² – 8 = 0

2(x² – 4x + 4) – 8 = 0

2x² – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

Luas = $\int_0^4$ (f(x) – g(x)) dx

= $\int_0^4$ 2x² – 8x dx

= $\frac{2}{3}$ x³ – 4x² $\mid_0^4$

= ( $\frac{2}{3}$ (4)³ – 4(4)²) – ( $\frac{2}{3}$ (0)³ + 4(0)²)

= ( $\frac{128}{3}$ – 64) – (0)

= $-\frac{64}{3}$

= $21\frac{1}{3}$ satuan luas [luas tidak mungkin negatif]

JAWABAN : B
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x² kuadran I, garis x + y = 2 dan garis y = 4 adalah … satuan luas.

A. 4 $\frac{1}{6}$

B. 5

C. 6

D. 6 $\frac{1}{6}$

E. 7 $\frac{1}{2}$

PEMBAHASAN :

cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

x² = 2 – x

x² + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 [tidak mungkin karena pada kuadran I] atau x = 1

x² = 4

x² – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2 [tidak mungkin]

jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [perhatikan gambar diatas]

Luas = $\int_0^1$ (y₁ – y₂) dx + $\int_1^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^1$ x² + x – 2 dx + $\int_1^2$ x² + x – 2 dx

= [ $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_0^1$ ] + [ $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_1^2$ ]

= [( $\frac{1}{3}$ (1)³ + $\frac{1}{2}$ (1)² – 2(1)) – ( $\frac{1}{3}$ (0)³ + $\frac{1}{2}$ (0)² – 2(0))] – [( $\frac{1}{3}$ (2)³ + $\frac{1}{2}$ (2)² – 2(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (1)³ + $\frac{1}{2}$ (1)² – 2(1))]

= [( $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2) – (0)] + [( $\frac{8}{3}$ + 2 – 4) – ( $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2)]

= [- $\frac{7}{6}$ ] + [- $\frac{7}{3}$ + $\frac{1}{2}$ ]

= $\frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$

= 3 satuan luas

JAWABAN :
Luas daerah yang dibatasi oleh y = x³ – 1, sumbu-x, x = -1 dan x = 2 adalah … satuan luas

A. $\frac{3}{4}$

B. 2

C. 2 $\frac{3}{4}$

D. 3 $\frac{1}{4}$

E. 4 $\frac{3}{4}$

PEMBAHASAN :

Luas I = $\int_{-1}^1$ x³ – 1 dx

= $\frac{1}{4}$ x⁴ – x $\mid_{-1}^1$

= ( $\frac{1}{4}$ (1)⁴ – 1) – ( $\frac{1}{4}$ (-1)⁴ – (-1))

= ( $\frac{1}{4}$ – 1) – ( $\frac{1}{4}$ + 1)

= -2

= 2 [luas tidak mungkin negatif]

Luas II = $\int_{1}^2$ x³ – 1 dx

= $\frac{1}{4}$ x⁴ – x $\mid_{1}^2$

= ( $\frac{1}{4}$ (2)⁴ – 2) – ( $\frac{1}{4}$ (1)⁴ – 1)

= (4 – 2) – ( $\frac{1}{4}$ – 1)

= $2\frac{3}{4}$

Luas kurva = Luas I + Luas II

= 2 + $2\frac{3}{4}$

= $4\frac{3}{4}$ satuan luas

JAWABAN : E
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x² , y = -x + 2 dan 0 $\leq$ x $\leq$ 2 adalah …

A. $\frac{8}{3}$ satuan luas

B. $\frac{10}{3}$ satuan luas

C. $\frac{14}{3}$ satuan luas

D. $\frac{16}{3}$ satuan luas

E. $\frac{26}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^2$ x² – x – 2 dx

= $\frac{1}{3}$ x³ – $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_0^2$

= ( $\frac{1}{3}$ (2)³ – $\frac{1}{2}$ (2)² – 2(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (0)³ – $\frac{1}{2}$ (0)² – 2(0))

= ( $\frac{8}{3}$ – 2 – 4) – (0)

= $-\frac{10}{3}$

= $\frac{10}{3}$ satuan luas

JAWABAN : B
Luas daerah yang dibatasi parabola y = x² – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 $\leq$ x $\leq$ 3 adalah …

A. 5 satuan luas

B. 7 satuan luas

C. 9 satuan luas

D. $10\frac{1}{3}$ satuan luas

E. $10\frac{2}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^3$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^3$ ((x² – x – 2) – (x + 1)) dx

= $\int_0^3$ (x² – 2x – 3) dx

= $\frac{1}{3}$ x³ – x² – 3x $\mid_0^3$

= ( $\frac{1}{3}$ 3³ – 3² – 3.3) – ( $\frac{1}{3}$ 0³ – 0² – 3.0)

= (9 – 9 – 9) – (0)

= 9 satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x³, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …

A. $2\frac{1}{4}$ satuan luas

B. $2\frac{1}{2}$ satuan luas

C. $3\frac{1}{4}$ satuan luas

D. $3\frac{1}{2}$ satuan luas

E. $4\frac{1}{4}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

x³ = x

x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [lihat gambar]

Luas = $\int_0^1$ (y₁ – y₂) dx + $\int_1^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^1$ x³ – x dx + $\int_1^2$ x³ – x dx

= [ $\frac{1}{4}$ x⁴ – $\frac{1}{2}$ x² $\mid_0^1$ ] + [ $\frac{1}{4}$ x⁴ – $\frac{1}{2}$ x² $\mid_1^2$ ]

= [( $\frac{1}{4}$ 1⁴ – $\frac{1}{2}$ 1²) – ( $\frac{1}{4}$ 0⁴ – $\frac{1}{2}$ 0²)] + [( $\frac{1}{4}$ 2⁴ – $\frac{1}{2}$ 2²) – ( $\frac{1}{4}$ 1⁴ – $\frac{1}{2}$ 1²)]

= [( $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{2}$ ) – (0)] + [(4 – 2) – ( $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{2}$ )]

= [- $\frac{1}{4}$ ] + [(2) – (- $\frac{1}{4}$ )]

= [- $\frac{1}{4}$ ] + [2 $\frac{1}{4}$ ]

= $\frac{1}{4}$ + 2 $\frac{1}{4}$ (ambil nilai positifnya saja)

= 2 $\frac{1}{2}$ satuan luas

JAWABAN : B
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = $\sqrt{x+1}$ , sumbu-x dan 0 $\leq$ x $\leq$ 8 adalah …

A. 6 satuan luas

B. $6\frac{2}{3}$ satuan luas

C. $17\frac{1}{3}$ satuan luas

D. 18 satuan luas

E. $18\frac{2}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^8$ $\sqrt{x+1}$ dx

= $\int_0^8$ (x + 1)^1/2 dx

= $\frac{2}{3}$ (x + 1)^3/2 $\mid_0^8$

= $\frac{2}{3}$ (8 + 1)^3/2 – $\frac{2}{3}$ (0 + 1)^3/2

= 18 – $\frac{2}{3}$

= 17 $\frac{1}{3}$ satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y² dan garis y = x – 2 adalah …

A. 0 satuan luas

B. 1 satuan luas

C. $4\frac{1}{2}$ satuan luas

D. 6 satuan luas

E. 16 satuan luas

PEMBAHASAN :

Perhatikan gambar diatas, dalam kasus ini kita pandang sebagai fungsi y [y sebagai variable bebas dan x sebagai variable terikat]

Cari terlebih dahulu titik potongnya.

y² = y + 2

y² – y – 2 = 0

(y – 2)(y + 1) = 0

y = 2 atau y = -1

Luas = $\int_{-1}^2$ (y²) – (y + 2) dy

= $\int_{-1}^2$ y² – y – 2 dy

= $\frac{1}{3}$ y³ – $\frac{1}{2}$ y² – 2y $\mid_{-1}^2$

= ( $\frac{1}{3}$ 2³ – $\frac{1}{2}$ 2² – 2.2) – ( $\frac{1}{3}$ (-1)³ – $\frac{1}{2}$ (-1)² – 2(-1))

= ( $\frac{8}{3}$ – 2 – 4) – (- $\frac{1}{3}$ – $\frac{1}{2}$ + 2)

= $\frac{8}{3}$ – 6 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2

= $\frac{9}{3}$ – 8 + $\frac{1}{2}$

= -5 + $\frac{1}{2}$

= -4 $\frac{1}{2}$

= 4 $\frac{1}{2}$ satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x² dan y = x² – 2x pada interval 0 $\leq$ x $\leq$ 5 sama dengan …

A. 30 satuan luas

B. 26 satuan luas

C. $\dfrac{64}{3}$ satuan luas

D. $\dfrac{50}{3}$ satuan luas

E. $\dfrac{14}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

titik potong

6x – x² = x² – 2x

2x² – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

perhatikan gambar diatas, bahwa luas yang dimaksud terbagi menjadi dua yaitu antara 0 $\leq$ x $\leq$ 4 dan 4 $\leq$ x $\leq$ 5

Luas = $\int_0^4 2x^2 - 8x ~ dx + \int_4^5 2x^2 - 8x ~ dx$

= $\left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_0^4 + \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_4^5$

= $\left[ \left( \dfrac{2}{3} 4^3 - 4(4)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}0^3 - 4(0)^2\right) \right] + \left[\left( \dfrac{2}{3} 5^3 - 4(5)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}4^3 - 4(4)^2 \right) \right]$

= $\left[ \left( \dfrac{128}{3}-64 \right)-(0) \right] + \left[ \left(\dfrac{250}{3}-100 \right)-\left(\dfrac{128}{3}-64 \right) \right]$

= $\left[-\dfrac{64}{3} + \dfrac{122}{3} - 36 \right]$

= $-\dfrac{64}{3} + \dfrac{14}{3}$

= $\dfrac{50}{3}$ satuan luas

JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA”

lania

Maret 24, 2013 @ 4:31 pm

yang nomer 2 tuh kk agak kurang teliti coba deh kk liat lg dan hitung lagi baik” ka’
sebelumnyah thanks banget yach kk.. :):):) semua ini ngebantu aku banget dech sumpah..

Balas
Frans edison manu hadjo

April 5, 2013 @ 6:58 pm

Thanks ya atas postnya……sangat membantu buat hadapin un nanti..

Balas
Nova Sinulingga Cenish

September 9, 2014 @ 9:32 pm

Makasii buat postingan’y..
Membantu bgt buat ngrjain pR… 🙂

Balas
yolanda

November 29, 2014 @ 8:51 pm

no. 10,
2x^2 – 8x dari mana ??
karna yg integral itu (6x – x^2) – (x^2 – 2x)
karna kurva 6x – x^2 yg di atas..

Balas
- aimprof08
  
  Desember 10, 2014 @ 12:58 pm
  
  luas dibawah kurva (6x – x^2) – (x^2 – 2x) atau (x^2 – 2x) – (6x – x^2), hasilnya pasti sama 🙂
  
  Balas
fery

Februari 4, 2015 @ 4:37 pm

saya mau tanya itu yang no 10.
(-64/3 + ( 122/3 – 36 ) setelah ini kok
64/3 + 14/3 = 78/3 (C)
bukannya itu yang 64 negatif kak ?
jadi hasilnya
-64/3 + 14/3 = 50/3 (D)

Balas
- aimprof08
  
  Maret 20, 2015 @ 7:26 am
  
  terimakasih atas koreksinya 🙂
  
  Balas
n

April 8, 2015 @ 7:09 pm

Makasih banget, un aku terselamatkan 🙂

Balas
wahyu

Juli 20, 2016 @ 7:51 pm

maksih kk membantu banget

Balas
Victory manullang

September 8, 2016 @ 10:04 pm

Nomor 3 kurang teliti ,cobak duliat lagi

Balas
- aim
  
  September 14, 2016 @ 4:31 pm
  
  makasi mas koreksinya, akan segera diperbaiki 🙂
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ixan pada Pembahasan Matematika Dasar SI…
	Mencari Solusi Persa… pada Sifat-Sifat Determinan Matriks
	Apent pada Penyelesaian Persamaan Diferen…
	Chessa pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Riani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putry pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	nana pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Trinita Nadiya Hasan pada Jasa Jawab Soal
	Inoe pada Luas Segiempat Sembarang
	Sidiq pada Jasa Jawab Soal

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan