Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA

Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x² dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas

A. 54

B. 32

C. 20 $\frac{5}{6}$

D. 18

E. 10 $\frac{2}{3}$

PEMBAHASAN :

Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudian

persamaan kurva (y₁) = persamaan garis (y₂)

x² = 6 – x

x² + x – 6 = 0

(x + 3)(x – 2) = 0

x = -3 atau x = 2

Luas = $\int_{-3}^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_{-3}^2$ x² + x – 6 dx

= $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 6x $\mid_{-3}^2$

= ( $\frac{1}{3}$ (2)³ + $\frac{1}{2}$ (2)² – 6(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (-3)³ + $\frac{1}{2}$ (-3)² – 6(-3))

= ( $\frac{8}{3}$ + 2 – 12) – (-9 + $\frac{9}{2}$ + 18)

= -19 – $\frac{11}{6}$

= $-20\frac{5}{6}$

Luas suatu kurva tidak mungkin bernilai negatif, jadi hasil akhirnya

= $20\frac{5}{6}$ satuan luas

JAWABAN : C
Jika f(x) = (x – 2)² – 4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan

A. 10 $\frac{2}{3}$

B. 21 $\frac{1}{3}$

C. 22 $\frac{2}{3}$

D. 42 $\frac{2}{3}$

E. 45 $\frac{1}{3}$

PEMBAHASAN :

f(x) = (x – 2)² – 4

g(x) = – f(x) = 4 – (x – 2)²

f(x) = g(x) [cari batas atas dan batas bawahnya]

(x – 2)² – 4 = 4 – (x – 2)²

2(x – 2)² – 8 = 0

2(x² – 4x + 4) – 8 = 0

2x² – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

Luas = $\int_0^4$ (f(x) – g(x)) dx

= $\int_0^4$ 2x² – 8x dx

= $\frac{2}{3}$ x³ – 4x² $\mid_0^4$

= ( $\frac{2}{3}$ (4)³ – 4(4)²) – ( $\frac{2}{3}$ (0)³ + 4(0)²)

= ( $\frac{128}{3}$ – 64) – (0)

= $-\frac{64}{3}$

= $21\frac{1}{3}$ satuan luas [luas tidak mungkin negatif]

JAWABAN : B
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x² kuadran I, garis x + y = 2 dan garis y = 4 adalah … satuan luas.

A. 4 $\frac{1}{6}$

B. 5

C. 6

D. 6 $\frac{1}{6}$

E. 7 $\frac{1}{2}$

PEMBAHASAN :

cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

x² = 2 – x

x² + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 [tidak mungkin karena pada kuadran I] atau x = 1

x² = 4

x² – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2 [tidak mungkin]

jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [perhatikan gambar diatas]

Luas = $\int_0^1$ (y₁ – y₂) dx + $\int_1^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^1$ x² + x – 2 dx + $\int_1^2$ x² + x – 2 dx

= [ $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_0^1$ ] + [ $\frac{1}{3}$ x³ + $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_1^2$ ]

= [( $\frac{1}{3}$ (1)³ + $\frac{1}{2}$ (1)² – 2(1)) – ( $\frac{1}{3}$ (0)³ + $\frac{1}{2}$ (0)² – 2(0))] – [( $\frac{1}{3}$ (2)³ + $\frac{1}{2}$ (2)² – 2(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (1)³ + $\frac{1}{2}$ (1)² – 2(1))]

= [( $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2) – (0)] + [( $\frac{8}{3}$ + 2 – 4) – ( $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2)]

= [- $\frac{7}{6}$ ] + [- $\frac{7}{3}$ + $\frac{1}{2}$ ]

= $\frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$

= 3 satuan luas

JAWABAN :
Luas daerah yang dibatasi oleh y = x³ – 1, sumbu-x, x = -1 dan x = 2 adalah … satuan luas

A. $\frac{3}{4}$

B. 2

C. 2 $\frac{3}{4}$

D. 3 $\frac{1}{4}$

E. 4 $\frac{3}{4}$

PEMBAHASAN :

Luas I = $\int_{-1}^1$ x³ – 1 dx

= $\frac{1}{4}$ x⁴ – x $\mid_{-1}^1$

= ( $\frac{1}{4}$ (1)⁴ – 1) – ( $\frac{1}{4}$ (-1)⁴ – (-1))

= ( $\frac{1}{4}$ – 1) – ( $\frac{1}{4}$ + 1)

= -2

= 2 [luas tidak mungkin negatif]

Luas II = $\int_{1}^2$ x³ – 1 dx

= $\frac{1}{4}$ x⁴ – x $\mid_{1}^2$

= ( $\frac{1}{4}$ (2)⁴ – 2) – ( $\frac{1}{4}$ (1)⁴ – 1)

= (4 – 2) – ( $\frac{1}{4}$ – 1)

= $2\frac{3}{4}$

Luas kurva = Luas I + Luas II

= 2 + $2\frac{3}{4}$

= $4\frac{3}{4}$ satuan luas

JAWABAN : E
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x² , y = -x + 2 dan 0 $\leq$ x $\leq$ 2 adalah …

A. $\frac{8}{3}$ satuan luas

B. $\frac{10}{3}$ satuan luas

C. $\frac{14}{3}$ satuan luas

D. $\frac{16}{3}$ satuan luas

E. $\frac{26}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^2$ x² – x – 2 dx

= $\frac{1}{3}$ x³ – $\frac{1}{2}$ x² – 2x $\mid_0^2$

= ( $\frac{1}{3}$ (2)³ – $\frac{1}{2}$ (2)² – 2(2)) – ( $\frac{1}{3}$ (0)³ – $\frac{1}{2}$ (0)² – 2(0))

= ( $\frac{8}{3}$ – 2 – 4) – (0)

= $-\frac{10}{3}$

= $\frac{10}{3}$ satuan luas

JAWABAN : B
Luas daerah yang dibatasi parabola y = x² – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 $\leq$ x $\leq$ 3 adalah …

A. 5 satuan luas

B. 7 satuan luas

C. 9 satuan luas

D. $10\frac{1}{3}$ satuan luas

E. $10\frac{2}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^3$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^3$ ((x² – x – 2) – (x + 1)) dx

= $\int_0^3$ (x² – 2x – 3) dx

= $\frac{1}{3}$ x³ – x² – 3x $\mid_0^3$

= ( $\frac{1}{3}$ 3³ – 3² – 3.3) – ( $\frac{1}{3}$ 0³ – 0² – 3.0)

= (9 – 9 – 9) – (0)

= 9 satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x³, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …

A. $2\frac{1}{4}$ satuan luas

B. $2\frac{1}{2}$ satuan luas

C. $3\frac{1}{4}$ satuan luas

D. $3\frac{1}{2}$ satuan luas

E. $4\frac{1}{4}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

x³ = x

x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0

x = 0 atau x = 1

jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [lihat gambar]

Luas = $\int_0^1$ (y₁ – y₂) dx + $\int_1^2$ (y₁ – y₂) dx

= $\int_0^1$ x³ – x dx + $\int_1^2$ x³ – x dx

= [ $\frac{1}{4}$ x⁴ – $\frac{1}{2}$ x² $\mid_0^1$ ] + [ $\frac{1}{4}$ x⁴ – $\frac{1}{2}$ x² $\mid_1^2$ ]

= [( $\frac{1}{4}$ 1⁴ – $\frac{1}{2}$ 1²) – ( $\frac{1}{4}$ 0⁴ – $\frac{1}{2}$ 0²)] + [( $\frac{1}{4}$ 2⁴ – $\frac{1}{2}$ 2²) – ( $\frac{1}{4}$ 1⁴ – $\frac{1}{2}$ 1²)]

= [( $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{2}$ ) – (0)] + [(4 – 2) – ( $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{2}$ )]

= [- $\frac{1}{4}$ ] + [(2) – (- $\frac{1}{4}$ )]

= [- $\frac{1}{4}$ ] + [2 $\frac{1}{4}$ ]

= $\frac{1}{4}$ + 2 $\frac{1}{4}$ (ambil nilai positifnya saja)

= 2 $\frac{1}{2}$ satuan luas

JAWABAN : B
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = $\sqrt{x+1}$ , sumbu-x dan 0 $\leq$ x $\leq$ 8 adalah …

A. 6 satuan luas

B. $6\frac{2}{3}$ satuan luas

C. $17\frac{1}{3}$ satuan luas

D. 18 satuan luas

E. $18\frac{2}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

Luas = $\int_0^8$ $\sqrt{x+1}$ dx

= $\int_0^8$ (x + 1)^1/2 dx

= $\frac{2}{3}$ (x + 1)^3/2 $\mid_0^8$

= $\frac{2}{3}$ (8 + 1)^3/2 – $\frac{2}{3}$ (0 + 1)^3/2

= 18 – $\frac{2}{3}$

= 17 $\frac{1}{3}$ satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y² dan garis y = x – 2 adalah …

A. 0 satuan luas

B. 1 satuan luas

C. $4\frac{1}{2}$ satuan luas

D. 6 satuan luas

E. 16 satuan luas

PEMBAHASAN :

Perhatikan gambar diatas, dalam kasus ini kita pandang sebagai fungsi y [y sebagai variable bebas dan x sebagai variable terikat]

Cari terlebih dahulu titik potongnya.

y² = y + 2

y² – y – 2 = 0

(y – 2)(y + 1) = 0

y = 2 atau y = -1

Luas = $\int_{-1}^2$ (y²) – (y + 2) dy

= $\int_{-1}^2$ y² – y – 2 dy

= $\frac{1}{3}$ y³ – $\frac{1}{2}$ y² – 2y $\mid_{-1}^2$

= ( $\frac{1}{3}$ 2³ – $\frac{1}{2}$ 2² – 2.2) – ( $\frac{1}{3}$ (-1)³ – $\frac{1}{2}$ (-1)² – 2(-1))

= ( $\frac{8}{3}$ – 2 – 4) – (- $\frac{1}{3}$ – $\frac{1}{2}$ + 2)

= $\frac{8}{3}$ – 6 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ – 2

= $\frac{9}{3}$ – 8 + $\frac{1}{2}$

= -5 + $\frac{1}{2}$

= -4 $\frac{1}{2}$

= 4 $\frac{1}{2}$ satuan luas

JAWABAN : C
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x² dan y = x² – 2x pada interval 0 $\leq$ x $\leq$ 5 sama dengan …

A. 30 satuan luas

B. 26 satuan luas

C. $\dfrac{64}{3}$ satuan luas

D. $\dfrac{50}{3}$ satuan luas

E. $\dfrac{14}{3}$ satuan luas

PEMBAHASAN :

titik potong

6x – x² = x² – 2x

2x² – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 atau x = 4

perhatikan gambar diatas, bahwa luas yang dimaksud terbagi menjadi dua yaitu antara 0 $\leq$ x $\leq$ 4 dan 4 $\leq$ x $\leq$ 5

Luas = $\int_0^4 2x^2 - 8x ~ dx + \int_4^5 2x^2 - 8x ~ dx$

= $\left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_0^4 + \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_4^5$

= $\left[ \left( \dfrac{2}{3} 4^3 - 4(4)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}0^3 - 4(0)^2\right) \right] + \left[\left( \dfrac{2}{3} 5^3 - 4(5)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}4^3 - 4(4)^2 \right) \right]$

= $\left[ \left( \dfrac{128}{3}-64 \right)-(0) \right] + \left[ \left(\dfrac{250}{3}-100 \right)-\left(\dfrac{128}{3}-64 \right) \right]$

= $\left[-\dfrac{64}{3} + \dfrac{122}{3} - 36 \right]$

= $-\dfrac{64}{3} + \dfrac{14}{3}$

= $\dfrac{50}{3}$ satuan luas

JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA”

lania

Maret 24, 2013 @ 4:31 pm

yang nomer 2 tuh kk agak kurang teliti coba deh kk liat lg dan hitung lagi baik” ka’
sebelumnyah thanks banget yach kk.. :):):) semua ini ngebantu aku banget dech sumpah..

Balas
Frans edison manu hadjo

April 5, 2013 @ 6:58 pm

Thanks ya atas postnya……sangat membantu buat hadapin un nanti..

Balas
Nova Sinulingga Cenish

September 9, 2014 @ 9:32 pm

Makasii buat postingan’y..
Membantu bgt buat ngrjain pR… 🙂

Balas
yolanda

November 29, 2014 @ 8:51 pm

no. 10,
2x^2 – 8x dari mana ??
karna yg integral itu (6x – x^2) – (x^2 – 2x)
karna kurva 6x – x^2 yg di atas..

Balas
- aimprof08
  
  Desember 10, 2014 @ 12:58 pm
  
  luas dibawah kurva (6x – x^2) – (x^2 – 2x) atau (x^2 – 2x) – (6x – x^2), hasilnya pasti sama 🙂
  
  Balas
fery

Februari 4, 2015 @ 4:37 pm

saya mau tanya itu yang no 10.
(-64/3 + ( 122/3 – 36 ) setelah ini kok
64/3 + 14/3 = 78/3 (C)
bukannya itu yang 64 negatif kak ?
jadi hasilnya
-64/3 + 14/3 = 50/3 (D)

Balas
- aimprof08
  
  Maret 20, 2015 @ 7:26 am
  
  terimakasih atas koreksinya 🙂
  
  Balas
n

April 8, 2015 @ 7:09 pm

Makasih banget, un aku terselamatkan 🙂

Balas
wahyu

Juli 20, 2016 @ 7:51 pm

maksih kk membantu banget

Balas
Victory manullang

September 8, 2016 @ 10:04 pm

Nomor 3 kurang teliti ,cobak duliat lagi

Balas
- aim
  
  September 14, 2016 @ 4:31 pm
  
  makasi mas koreksinya, akan segera diperbaiki 🙂
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Alfian Rizky Saputra di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Firman di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Carles di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Indah Qurratua'yun S… di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan