Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA


  1. Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas

    A. 54

    B. 32

    C. 20\frac{5}{6}

    D. 18

    E. 10\frac{2}{3}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudian

    persamaan kurva (y1) = persamaan garis (y2)

    x2 = 6 – x

    x2 + x – 6 = 0

    (x + 3)(x – 2) = 0

    x = -3 atau x = 2

    Luas = \int_{-3}^2 (y1 – y2) dx

    = \int_{-3}^2 x2 + x – 6 dx

    = \frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 6x \mid_{-3}^2

    = (\frac{1}{3}(2)3 + \frac{1}{2}(2)2 – 6(2)) – (\frac{1}{3}(-3)3 + \frac{1}{2}(-3)2 – 6(-3))

    = (\frac{8}{3} + 2 – 12) – (-9 + \frac{9}{2} + 18)

    = -19 – \frac{11}{6}

    = -20\frac{5}{6}

    Luas suatu kurva tidak mungkin bernilai negatif, jadi hasil akhirnya

    = 20\frac{5}{6} satuan luas

    JAWABAN : C

  2. Jika f(x) = (x – 2)2 – 4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan

    A. 10\frac{2}{3}

    B. 21\frac{1}{3}

    C. 22\frac{2}{3}

    D. 42\frac{2}{3}

    E. 45\frac{1}{3}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    f(x) = (x – 2)2 – 4

    g(x) = – f(x) = 4 – (x – 2)2

    f(x) = g(x) [cari batas atas dan batas bawahnya]

    (x – 2)2 – 4 = 4 – (x – 2)2

    2(x – 2)2 – 8 = 0

    2(x2 – 4x + 4) – 8 = 0

    2x2 – 8x = 0

    2x(x – 4) = 0

    x = 0 atau x = 4

    Luas = \int_0^4 (f(x) – g(x)) dx

    = \int_0^4 2x2 – 8x dx

    = \frac{2}{3}x3 – 4x2 \mid_0^4

    = (\frac{2}{3}(4)3 – 4(4)2) – (\frac{2}{3}(0)3 + 4(0)2)

    = (\frac{128}{3} – 64) – (0)

    = -\frac{64}{3}

    = 21\frac{1}{3} satuan luas [luas tidak mungkin negatif]

    JAWABAN : B

  3. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 kuadran I, garis x + y = 2 dan garis y = 4 adalah … satuan luas.

    A. 4\frac{1}{6}

    B. 5

    C. 6

    D. 6\frac{1}{6}

    E. 7\frac{1}{2}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

    x2 = 2 – x

    x2 + x – 2 = 0

    (x + 2)(x – 1) = 0

    x = -2 [tidak mungkin karena pada kuadran I] atau x = 1

    x2 = 4

    x2 – 4 = 0

    (x – 2)(x + 2) = 0

    x = 2 atau x = -2 [tidak mungkin]

    jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [perhatikan gambar diatas]

    Luas = \int_0^1 (y1 – y2) dx + \int_1^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^1 x2 + x – 2 dx + \int_1^2 x2 + x – 2 dx

    = [\frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 2x \mid_0^1] + [\frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 2x \mid_1^2]

    = [(\frac{1}{3}(1)3 + \frac{1}{2}(1)2 – 2(1)) – (\frac{1}{3}(0)3 + \frac{1}{2}(0)2 – 2(0))] – [(\frac{1}{3}(2)3 + \frac{1}{2}(2)2 – 2(2)) – (\frac{1}{3}(1)3 + \frac{1}{2}(1)2 – 2(1))]

    = [(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2) – (0)] + [(\frac{8}{3} + 2 – 4) – (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2)]

    = [-\frac{7}{6}] + [-\frac{7}{3} + \frac{1}{2}]

    = \frac{7}{6} + \frac{11}{6}

    = 3 satuan luas

    JAWABAN :

  4. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu-x, x = -1 dan x = 2 adalah … satuan luas

    A. \frac{3}{4}

    B. 2

    C. 2\frac{3}{4}

    D. 3\frac{1}{4}

    E. 4\frac{3}{4}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas I = \int_{-1}^1 x3 – 1 dx

    = \frac{1}{4}x4 – x \mid_{-1}^1

    = (\frac{1}{4}(1)4 – 1) – (\frac{1}{4}(-1)4 – (-1))

    = (\frac{1}{4} – 1) – (\frac{1}{4} + 1)

    = -2

    = 2 [luas tidak mungkin negatif]

    Luas II = \int_{1}^2 x3 – 1 dx

    = \frac{1}{4}x4 – x \mid_{1}^2

    = (\frac{1}{4}(2)4 – 2) – (\frac{1}{4}(1)4 – 1)

    = (4 – 2) – (\frac{1}{4} – 1)

    = 2\frac{3}{4}

    Luas kurva = Luas I + Luas II

    = 2 + 2\frac{3}{4}

    = 4\frac{3}{4} satuan luas

    JAWABAN : E

  5. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2 dan 0 \leq x \leq 2 adalah …

    A. \frac{8}{3} satuan luas

    B. \frac{10}{3} satuan luas

    C. \frac{14}{3} satuan luas

    D. \frac{16}{3} satuan luas

    E. \frac{26}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^2 x2 – x – 2 dx

    = \frac{1}{3}x3\frac{1}{2}x2 – 2x \mid_0^2

    = (\frac{1}{3}(2)3\frac{1}{2}(2)2 – 2(2)) – (\frac{1}{3}(0)3\frac{1}{2}(0)2 – 2(0))

    = (\frac{8}{3} – 2 – 4) – (0)

    = -\frac{10}{3}

    = \frac{10}{3} satuan luas

    JAWABAN : B

  6. Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 \leq x \leq 3 adalah …

    A. 5 satuan luas

    B. 7 satuan luas

    C. 9 satuan luas

    D. 10\frac{1}{3} satuan luas

    E. 10\frac{2}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^3 (y1 – y2) dx

    = \int_0^3 ((x2 – x – 2) – (x + 1)) dx

    = \int_0^3 (x2 – 2x – 3) dx

    = \frac{1}{3} x3 – x2 – 3x \mid_0^3

    = (\frac{1}{3} 33 – 32 – 3.3) – (\frac{1}{3} 03 – 02 – 3.0)

    = (9 – 9 – 9) – (0)

    = 9 satuan luas

    JAWABAN : C

  7. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …

    A. 2\frac{1}{4} satuan luas

    B. 2\frac{1}{2} satuan luas

    C. 3\frac{1}{4} satuan luas

    D. 3\frac{1}{2} satuan luas

    E. 4\frac{1}{4} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

    x3 = x

    x3 – x = 0

    x(x2 – 1) = 0

    x = 0 atau x = 1

    jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [lihat gambar]

    Luas = \int_0^1 (y1 – y2) dx + \int_1^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^1 x3 – x dx + \int_1^2 x3 – x dx

    = [\frac{1}{4}x4\frac{1}{2}x2 \mid_0^1] + [\frac{1}{4}x4\frac{1}{2}x2 \mid_1^2]

    = [(\frac{1}{4}14\frac{1}{2}12) – (\frac{1}{4}04\frac{1}{2}02)] + [(\frac{1}{4}24\frac{1}{2}22) – (\frac{1}{4}14\frac{1}{2}12)]

    = [(\frac{1}{4}\frac{1}{2}) – (0)] + [(4 – 2) – (\frac{1}{4}\frac{1}{2})]

    = [-\frac{1}{4}] + [(2) – (-\frac{1}{4})]

    = [-\frac{1}{4}] + [2\frac{1}{4}]

    = \frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} (ambil nilai positifnya saja)

    = 2\frac{1}{2} satuan luas

    JAWABAN : B

  8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = \sqrt{x+1}, sumbu-x dan 0 \leq x \leq 8 adalah …

    A. 6 satuan luas

    B. 6\frac{2}{3} satuan luas

    C. 17\frac{1}{3} satuan luas

    D. 18 satuan luas

    E. 18\frac{2}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^8 \sqrt{x+1} dx

    = \int_0^8 (x + 1)1/2 dx

    = \frac{2}{3} (x + 1)3/2 \mid_0^8

    = \frac{2}{3} (8 + 1)3/2\frac{2}{3} (0 + 1)3/2

    = 18 – \frac{2}{3}

    = 17\frac{1}{3} satuan luas

    JAWABAN : C

  9. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah …

    A. 0 satuan luas

    B. 1 satuan luas

    C. 4\frac{1}{2} satuan luas

    D. 6 satuan luas

    E. 16 satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Perhatikan gambar diatas, dalam kasus ini kita pandang sebagai fungsi y [y sebagai variable bebas dan x sebagai variable terikat]

    Cari terlebih dahulu titik potongnya.

    y2 = y + 2

    y2 – y – 2 = 0

    (y – 2)(y + 1) = 0

    y = 2 atau y = -1

    Luas = \int_{-1}^2 (y2) – (y + 2) dy

    = \int_{-1}^2 y2 – y – 2 dy

    = \frac{1}{3} y3\frac{1}{2} y2 – 2y \mid_{-1}^2

    = (\frac{1}{3} 23\frac{1}{2} 22 – 2.2) – (\frac{1}{3} (-1)3\frac{1}{2} (-1)2 – 2(-1))

    = (\frac{8}{3} – 2 – 4) – (-\frac{1}{3} \frac{1}{2} + 2)

    = \frac{8}{3} – 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2

    = \frac{9}{3} – 8 + \frac{1}{2}

    = -5 + \frac{1}{2}

    = -4\frac{1}{2}

    = 4\frac{1}{2} satuan luas

    JAWABAN : C

  10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 \leq x \leq 5 sama dengan …

    A. 30 satuan luas

    B. 26 satuan luas

    C. \dfrac{64}{3} satuan luas

    D. \dfrac{50}{3} satuan luas

    E. \dfrac{14}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    titik potong

    6x – x2 = x2 – 2x

    2x2 – 8x = 0

    2x(x – 4) = 0

    x = 0 atau x = 4

    perhatikan gambar diatas, bahwa luas yang dimaksud terbagi menjadi dua yaitu antara 0 \leq x \leq 4 dan 4 \leq x \leq 5

    Luas = \int_0^4 2x^2 - 8x ~ dx + \int_4^5 2x^2 - 8x ~ dx

    = \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_0^4 + \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_4^5

    = \left[ \left( \dfrac{2}{3} 4^3 - 4(4)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}0^3 - 4(0)^2\right) \right] + \left[\left( \dfrac{2}{3} 5^3 - 4(5)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}4^3 - 4(4)^2 \right) \right]

    = \left[ \left( \dfrac{128}{3}-64 \right)-(0) \right] + \left[ \left(\dfrac{250}{3}-100 \right)-\left(\dfrac{128}{3}-64 \right) \right]

    = \left[-\dfrac{64}{3} + \dfrac{122}{3} - 36 \right]

    = -\dfrac{64}{3} + \dfrac{14}{3}

    = \dfrac{50}{3} satuan luas

    JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA

  1. yang nomer 2 tuh kk agak kurang teliti coba deh kk liat lg dan hitung lagi baik” ka’
    sebelumnyah thanks banget yach kk.. :):):) semua ini ngebantu aku banget dech sumpah..

  2. saya mau tanya itu yang no 10.
    (-64/3 + ( 122/3 – 36 ) setelah ini kok
    64/3 + 14/3 = 78/3 (C)
    bukannya itu yang 64 negatif kak ?
    jadi hasilnya
    -64/3 + 14/3 = 50/3 (D)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s