Des 13 2012

Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA


  1. Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas

    A. 54

    B. 32

    C. 20\frac{5}{6}

    D. 18

    E. 10\frac{2}{3}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudian

    persamaan kurva (y1) = persamaan garis (y2)

    x2 = 6 – x

    x2 + x – 6 = 0

    (x + 3)(x – 2) = 0

    x = -3 atau x = 2

    Luas = \int_{-3}^2 (y1 – y2) dx

    = \int_{-3}^2 x2 + x – 6 dx

    = \frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 6x \mid_{-3}^2

    = (\frac{1}{3}(2)3 + \frac{1}{2}(2)2 – 6(2)) – (\frac{1}{3}(-3)3 + \frac{1}{2}(-3)2 – 6(-3))

    = (\frac{8}{3} + 2 – 12) – (-9 + \frac{9}{2} + 18)

    = -19 – \frac{11}{6}

    = -20\frac{5}{6}

    Luas suatu kurva tidak mungkin bernilai negatif, jadi hasil akhirnya

    = 20\frac{5}{6} satuan luas

    JAWABAN : C

  2. Jika f(x) = (x – 2)2 – 4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan

    A. 10\frac{2}{3}

    B. 21\frac{1}{3}

    C. 22\frac{2}{3}

    D. 42\frac{2}{3}

    E. 45\frac{1}{3}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    f(x) = (x – 2)2 – 4

    g(x) = – f(x) = 4 – (x – 2)2

    f(x) = g(x) [cari batas atas dan batas bawahnya]

    (x – 2)2 – 4 = 4 – (x – 2)2

    2(x – 2)2 – 8 = 0

    2(x2 – 4x + 4) – 8 = 0

    2x2 – 8x = 0

    2x(x – 4) = 0

    x = 0 atau x = 4

    Luas = \int_0^4 (f(x) – g(x)) dx

    = \int_0^4 2x2 – 8x dx

    = \frac{2}{3}x3 – 4x2 \mid_0^4

    = (\frac{2}{3}(4)3 – 4(4)2) – (\frac{2}{3}(0)3 + 4(0)2)

    = (\frac{128}{3} – 64) – (0)

    = -\frac{64}{3}

    = 21\frac{1}{3} satuan luas [luas tidak mungkin negatif]

    JAWABAN : B

  3. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 kuadran I, garis x + y = 2 dan garis y = 4 adalah … satuan luas.

    A. 4\frac{1}{6}

    B. 5

    C. 6

    D. 6\frac{1}{6}

    E. 7\frac{1}{2}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

    x2 = 2 – x

    x2 + x – 2 = 0

    (x + 2)(x – 1) = 0

    x = -2 [tidak mungkin karena pada kuadran I] atau x = 1

    x2 = 4

    x2 – 4 = 0

    (x – 2)(x + 2) = 0

    x = 2 atau x = -2 [tidak mungkin]

    jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [perhatikan gambar diatas]

    Luas = \int_0^1 (y1 – y2) dx + \int_1^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^1 x2 + x – 2 dx + \int_1^2 x2 + x – 2 dx

    = [\frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 2x \mid_0^1] + [\frac{1}{3}x3 + \frac{1}{2}x2 – 2x \mid_1^2]

    = [(\frac{1}{3}(1)3 + \frac{1}{2}(1)2 – 2(1)) – (\frac{1}{3}(0)3 + \frac{1}{2}(0)2 – 2(0))] – [(\frac{1}{3}(2)3 + \frac{1}{2}(2)2 – 2(2)) – (\frac{1}{3}(1)3 + \frac{1}{2}(1)2 – 2(1))]

    = [(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2) – (0)] + [(\frac{8}{3} + 2 – 4) – (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2)]

    = [-\frac{7}{6}] + [-\frac{7}{3} + \frac{1}{2}]

    = \frac{7}{6} + \frac{11}{6}

    = 3 satuan luas

    JAWABAN :

  4. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu-x, x = -1 dan x = 2 adalah … satuan luas

    A. \frac{3}{4}

    B. 2

    C. 2\frac{3}{4}

    D. 3\frac{1}{4}

    E. 4\frac{3}{4}

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas I = \int_{-1}^1 x3 – 1 dx

    = \frac{1}{4}x4 – x \mid_{-1}^1

    = (\frac{1}{4}(1)4 – 1) – (\frac{1}{4}(-1)4 – (-1))

    = (\frac{1}{4} – 1) – (\frac{1}{4} + 1)

    = -2

    = 2 [luas tidak mungkin negatif]

    Luas II = \int_{1}^2 x3 – 1 dx

    = \frac{1}{4}x4 – x \mid_{1}^2

    = (\frac{1}{4}(2)4 – 2) – (\frac{1}{4}(1)4 – 1)

    = (4 – 2) – (\frac{1}{4} – 1)

    = 2\frac{3}{4}

    Luas kurva = Luas I + Luas II

    = 2 + 2\frac{3}{4}

    = 4\frac{3}{4} satuan luas

    JAWABAN : E

  5. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2 dan 0 \leq x \leq 2 adalah …

    A. \frac{8}{3} satuan luas

    B. \frac{10}{3} satuan luas

    C. \frac{14}{3} satuan luas

    D. \frac{16}{3} satuan luas

    E. \frac{26}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^2 x2 – x – 2 dx

    = \frac{1}{3}x3 – \frac{1}{2}x2 – 2x \mid_0^2

    = (\frac{1}{3}(2)3 – \frac{1}{2}(2)2 – 2(2)) – (\frac{1}{3}(0)3 – \frac{1}{2}(0)2 – 2(0))

    = (\frac{8}{3} – 2 – 4) – (0)

    = -\frac{10}{3}

    = \frac{10}{3} satuan luas

    JAWABAN : B

  6. Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 \leq x \leq 3 adalah …

    A. 5 satuan luas

    B. 7 satuan luas

    C. 9 satuan luas

    D. 10\frac{1}{3} satuan luas

    E. 10\frac{2}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^3 (y1 – y2) dx

    = \int_0^3 ((x2 – x – 2) – (x + 1)) dx

    = \int_0^3 (x2 – 2x – 3) dx

    = \frac{1}{3} x3 – x2 – 3x \mid_0^3

    = (\frac{1}{3} 33 – 32 – 3.3) – (\frac{1}{3} 03 – 02 – 3.0)

    = (9 – 9 – 9) – (0)

    = 9 satuan luas

    JAWABAN : C

  7. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …

    A. 2\frac{1}{4} satuan luas

    B. 2\frac{1}{2} satuan luas

    C. 3\frac{1}{4} satuan luas

    D. 3\frac{1}{2} satuan luas

    E. 4\frac{1}{4} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.

    x3 = x

    x3 – x = 0

    x(x2 – 1) = 0

    x = 0 atau x = 1

    jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [lihat gambar]

    Luas = \int_0^1 (y1 – y2) dx + \int_1^2 (y1 – y2) dx

    = \int_0^1 x3 – x dx + \int_1^2 x3 – x dx

    = [\frac{1}{4}x4 – \frac{1}{2}x2 \mid_0^1] + [\frac{1}{4}x4 – \frac{1}{2}x2 \mid_1^2]

    = [(\frac{1}{4}14 – \frac{1}{2}12) – (\frac{1}{4}04 – \frac{1}{2}02)] + [(\frac{1}{4}24 – \frac{1}{2}22) – (\frac{1}{4}14 – \frac{1}{2}12)]

    = [(\frac{1}{4} – \frac{1}{2}) – (0)] + [(4 – 2) – (\frac{1}{4} – \frac{1}{2})]

    = [-\frac{1}{4}] + [(2) – (-\frac{1}{4})]

    = [-\frac{1}{4}] + [2\frac{1}{4}]

    = \frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} (ambil nilai positifnya saja)

    = 2\frac{1}{2} satuan luas

    JAWABAN : B

  8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = \sqrt{x+1}, sumbu-x dan 0 \leq x \leq 8 adalah …

    A. 6 satuan luas

    B. 6\frac{2}{3} satuan luas

    C. 17\frac{1}{3} satuan luas

    D. 18 satuan luas

    E. 18\frac{2}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Luas = \int_0^8 \sqrt{x+1} dx

    = \int_0^8 (x + 1)1/2 dx

    = \frac{2}{3} (x + 1)3/2 \mid_0^8

    = \frac{2}{3} (8 + 1)3/2 – \frac{2}{3} (0 + 1)3/2

    = 18 – \frac{2}{3}

    = 17\frac{1}{3} satuan luas

    JAWABAN : C

  9. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah …

    A. 0 satuan luas

    B. 1 satuan luas

    C. 4\frac{1}{2} satuan luas

    D. 6 satuan luas

    E. 16 satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    Perhatikan gambar diatas, dalam kasus ini kita pandang sebagai fungsi y [y sebagai variable bebas dan x sebagai variable terikat]

    Cari terlebih dahulu titik potongnya.

    y2 = y + 2

    y2 – y – 2 = 0

    (y – 2)(y + 1) = 0

    y = 2 atau y = -1

    Luas = \int_{-1}^2 (y2) – (y + 2) dy

    = \int_{-1}^2 y2 – y – 2 dy

    = \frac{1}{3} y3 – \frac{1}{2} y2 – 2y \mid_{-1}^2

    = (\frac{1}{3} 23 – \frac{1}{2} 22 – 2.2) – (\frac{1}{3} (-1)3 – \frac{1}{2} (-1)2 – 2(-1))

    = (\frac{8}{3} – 2 – 4) – (-\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 2)

    = \frac{8}{3} – 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} – 2

    = \frac{9}{3} – 8 + \frac{1}{2}

    = -5 + \frac{1}{2}

    = -4\frac{1}{2}

    = 4\frac{1}{2} satuan luas

    JAWABAN : C

  10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 \leq x \leq 5 sama dengan …

    A. 30 satuan luas

    B. 26 satuan luas

    C. \dfrac{64}{3} satuan luas

    D. \dfrac{50}{3} satuan luas

    E. \dfrac{14}{3} satuan luas

    PEMBAHASAN : Photobucket

    titik potong

    6x – x2 = x2 – 2x

    2x2 – 8x = 0

    2x(x – 4) = 0

    x = 0 atau x = 4

    perhatikan gambar diatas, bahwa luas yang dimaksud terbagi menjadi dua yaitu antara 0 \leq x \leq 4 dan 4 \leq x \leq 5

    Luas = \int_0^4 2x^2 - 8x ~ dx + \int_4^5 2x^2 - 8x ~ dx

    = \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_0^4 + \left[ \dfrac{2}{3}x^3-4x^2 \right]_4^5

    = \left[ \left( \dfrac{2}{3} 4^3 - 4(4)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}0^3 - 4(0)^2\right) \right] + \left[\left( \dfrac{2}{3} 5^3 - 4(5)^2 \right) - \left( \dfrac{2}{3}4^3 - 4(4)^2 \right) \right]

    = \left[ \left( \dfrac{128}{3}-64 \right)-(0) \right] + \left[ \left(\dfrac{250}{3}-100 \right)-\left(\dfrac{128}{3}-64 \right) \right]

    = \left[-\dfrac{64}{3} + \dfrac{122}{3} - 36 \right]

    = -\dfrac{64}{3} + \dfrac{14}{3}

    = \dfrac{50}{3} satuan luas

    JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

11 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (3) UN SMA”

  1. yang nomer 2 tuh kk agak kurang teliti coba deh kk liat lg dan hitung lagi baik” ka’
    sebelumnyah thanks banget yach kk.. :):):) semua ini ngebantu aku banget dech sumpah..

    Balas

  5. saya mau tanya itu yang no 10.
    (-64/3 + ( 122/3 – 36 ) setelah ini kok
    64/3 + 14/3 = 78/3 (C)
    bukannya itu yang 64 negatif kak ?
    jadi hasilnya
    -64/3 + 14/3 = 50/3 (D)

    Balas

Tinggalkan komentar