Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Eksak


Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)

serta jika memenuhi

\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Contoh :

  1. y dx + x dy = 0

    misal : M(x, y) = y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1

    N(x, y) = x \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas merupakan PD eksak.

  2. (2xy + ln x) dx + x2 dy = 0

    misal : M(x, y) = 2xy + ln x \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 2x

    N(x, y) = x2 \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 2x

    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas merupakan PD eksak.

  3. (x – y) dx + (x + y) dy = 0

    misal : M(x, y) = x – y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = -1

    N(x, y) = x + y \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas bukan merupakan PD eksak.

Jika F adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain D, maka diferensial total fungsi F yaitu dF didefinisikan oleh

dF(x) = \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} dy, \forall (x, y) \epsilon D

Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka

dF(x, y) = 0, sedemikian sehingga

\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} dy = 0 … (ii)

dari PD (i) dan pers (ii), diperoleh

(a) \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y)

(b) \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y)

Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :

(a) \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y)

F(x, y) = \int^x M(x, y) dx + g(y)

NOTE : bentuk \int^x adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari.

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [\int^x M(x, y) dx] + g'(y)

Karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y) maka

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [\int^x M(x, y) dx] + g'(y) = N(x, y)

g'(y) = N(x, y) – \frac{\partial}{\partial y} [\int^x M(x, y) dx]

karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari

(b) \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y)

Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

F(x, y) = \int^y N(x, y) dy + f(x)

turunkan kedua ruas dengan turunan parsial terhadap x

\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [\int^y N(x, y) dy] + f'(x)

karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y) maka

\frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [\int^y N(x, y) dy] + f'(x) = M(x, y)

f'(x) = M(x, y) – \frac{\partial}{\partial x} [\int^y N(x, y) dy]

Contoh :

  1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y) dy = 0

    Penyelesaian :

    Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.

    misal : M(x , y) = x + y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1

    N(x , y) = x – y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD tesebut adalah PD eksak.

    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

    F(x, y) = \int^x M(x, y) dx + g(y)

    = \int^x (x + y) dx + g(y)

    = \frac{1}{2} x2 + xy + g(y)

    cari g'(y)

    \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [\int^x M(x, y) dx] + g'(y)

    = \frac{\partial}{\partial y} [\frac{1}{2} x2 + xy] + g'(y)

    = x + g'(y)

    karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y), maka

    x + g'(y) = N(x, y)

    x + g'(y) = x – y

    g'(y) = -y

    \int g'(y) = \int -y

    g(y) = -\frac{1}{2} y2

    jadi solusi umumnya : \frac{1}{2} x2 + xy – \frac{1}{2} y2 = c1

    x2 + 2xy – y2 = C, dengan C = 2c1

  2. PD : xy’ + y + 4 = 0

    Penyelesaian :

    x \frac{dy}{dx} + y + 4 = 0

    x dy + (y + 4) dx = 0

    misal : M(x , y) = y + 4 \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1

    N(x , y) = x \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD tesebut adalah PD eksak.

    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

    F(x, y) = \int^y N(x, y) dy + g(x)

    = \int^y x dy + g(x)

    = xy + g(x)

    cari g'(x)

    \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [\int^x N(x, y) dy] + g'(x)

    = \frac{\partial}{\partial x} [xy] + g'(x)

    = y + g'(x)

    karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y), maka

    y + g'(x) = M(x, y)

    y + g'(x) = y + 4

    g'(x) = 4

    \int g'(x) = \int 4

    g(x) = 4x

    jadi solusi umumnya : xy + 4x = C

9 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Eksak

  1. Ping-balik: Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Eksak (Faktor Integral) | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: penyelesaian persaman defensial : pd tidak eksak ( faktor interegal ) « Officialwordnurdinhs

  3. Ping-balik: Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Eksak (Faktor Integral) « MuhNurdinHs-Site Community

  4. Ping-balik: Problem (19) : Persamaan Diferensial | Math IS Beautiful

  5. saya ingin bertanya..
    ni..
    4i+4j-2k=(6a^2 √(81+b^2+a^2 ))/11 i+(6a^2 √(81+b^2+a^2 ))/11 j-(6a^(2√(81+b^2+a^2 )))/11 k

  6. saya mau tanya dong admin, kalo ada soal (2xy – e^y)dx + (2x^2 + 3y^2)dy-=0
    cara hitung turunan e^y gimana sih caranya?
    terimakasih adim 🙂

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s