Des 23 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Eksak


Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)

serta jika memenuhi

\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}

Contoh 1.

  1. y~dx + x ~dy = 0

    misal : M(x, y) = y \Rightarrow \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1

    N(x, y) = x \Rightarrow \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}, maka PD diatas merupakan PD eksak.

  2. (2xy + \ln x) ~dx + x^2 dy = 0

    misal : M(x, y) = 2xy + \ln x \Rightarrow \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 2x

    N(x, y) = x^2 \Rightarrow \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 2x

    karena \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}, maka PD diatas merupakan PD eksak.

  3. (x -y) ~dx + (x + y) ~dy = 0

    misal : M(x, y) = x -y \Rightarrow \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = -1

    N(x, y) = x + y \Rightarrow \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}, maka PD diatas bukan merupakan PD eksak.

Jika F adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain D, maka diferensial total fungsi F yaitu dF didefinisikan oleh

dF(x) = \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} ~dx + \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} ~dy, \forall (x, y) \in D

Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka

dF(x, y) = 0, sedemikian sehingga

\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} ~dx + \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} ~dy = 0 … (ii)

dari PD (i) dan pers (ii), diperoleh

(a) \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y)

(b) \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y)

Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :

(a) \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y)

F(x, y) = \displaystyle \int^x M(x, y) ~dx + g(y)

NOTE : bentuk \displaystyle \int^x adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari.

\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \displaystyle \int^x M(x, y) dx \right] + g'(y)

Karena \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y) maka

\dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \displaystyle \int^x M(x, y) ~dx \right] + g'(y) = N(x, y)

\displaystyle g'(y) = N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \int^x M(x, y) ~dx \right]

karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari

(b) \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y)

Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

F(x, y) = \displaystyle \int^y N(x, y) ~dy + f(x)

turunkan kedua ruas dengan turunan parsial terhadap x

\displaystyle \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \int^y N(x, y) ~dy \right] + f'(x)

karena \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = M(x, y) maka

\displaystyle \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \int^y N(x, y) dy \right] + f'(x) = M(x, y)

\displaystyle f'(x) = M(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \int^y N(x, y) ~dy \right]

Contoh 2.

  1. Cari solusi dari PD (x + y) ~dx + (x -y) ~dy = 0

    Penyelesaian.

    Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.

    misal : M(x, y) = x + y \Rightarrow \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 1

    N(x, y) = x -y \Rightarrow \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial x} = 1

    karena \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}, maka PD tesebut adalah PD eksak.

    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

    F(x, y) = \displaystyle \int^x M(x, y) ~dx + g(y)

    = \int^x (x + y) ~dx + g(y)

    = \dfrac{1}{2} x^2 + xy + g(y)

    cari g'(y)

    \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \displaystyle \int^x M(x, y) ~dx \right] + g'(y)

    = \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{1}{2} x^2+ xy \right] + g'(y)

    = x + g'(y)

    karena \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y), maka

    x + g'(y) = N(x, y)

    x + g'(y) = x -y

    g'(y) = -y

    \displaystyle \int g'(y) = \int -y

    g(y) = -\dfrac{1}{2} y^2

    jadi solusi umumnya : \dfrac{1}{2} x^2 + xy -\dfrac{1}{2} y^2 = c_1
    x^2 + 2xy -y^2 = C, dengan C = 2c_1

  2. PD : xy' + y + 4 = 0

    Penyelesaian.

    x \dfrac{dy}{dx} + y + 4 = 0

    x ~dy + (y + 4) ~dx = 0

    misal : M(x, y) = y + 4 \Rightarrow \dfrac{\partial M(x, y)}{\partial y} = 1

    N(x, y) = x \Rightarrow \dfrac{\partial M(x, y)}{\partial x} = 1

    karena \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}, maka PD tesebut adalah PD eksak.

    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

    F(x, y) = \displaystyle \int^y N(x, y) ~dy + g(x)

    = \displaystyle \int^y x ~dy + g(x)

    = xy + g(x)

    cari g'(x)

    \displaystyle \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \int^x N(x, y) ~dy \right] + g'(x)

    = \dfrac{\partial}{\partial x} [xy] + g'(x)

    = y + g'(x)

    karena \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y} = N(x, y), maka

    y + g'(x) = M(x, y)

    y + g'(x) = y + 4

    g'(x) = 4

    \displaystyle \int g'(x) = \int 4

    g(x) = 4x

    jadi solusi umumnya : xy + 4x = C

12 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Eksak”

Tinggalkan komentar