Misal diberikan himpunan tak kosong , sebuah relasi
pada
disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi
memenuhi sifat refleksi, simetri dan transitif.
Lemma 1.
Diberikan grup,
subgrup
dan
. Relasi
dan
merupakan relasi ekuivalensi, yang didefiniskan sebagai berikut.
jika dan hanya jika
.
jika dan hanya jika
.
Bukti.
Untuk membuktikan merupakan relasi ekuivalensi, harus membuktikan sifat refleksif, simetris dan transitif. Ambil sebarang
, berakibat terdapat
. Karena
subgrup
, perhatikan bahwa
. Jadi,
.
Misal , artinya
. Perhatikan bahwa
.
Karena , berakibat
. Jadi, b \equiv_L a \mod H$.
Misal dan
. Artinya
dan
. Perhatikan bahwa
.
Karena , berakibat
. Jadi,
.
Jadi, merupakan relasi ekuivalensi. Dengan cara yang sama,
juga merupakan relasi ekuivalensi.
Relasi pada grup
mengakibatkan suatu partisi pada grup. Misal klas ekuivalensi yang memuat
adalah
. Diperoleh,
.
Dengan cara yang sama, meghasilkan partisi dengan klas ekuivalensi yang memuat
adalah
. Kedua himpunan tersebut dinamakan koset. Berikut diberikan definisi mengenai koset.
Difinisi 2.
disebut koset kanan terhadap subgrup
yang memuat
,
disebut koset kiri terhadap subgrup
yang memuat
.
Dengan demikian, di dalam grup untuk setiap subgrup
dari
kita punya himpunan koset kanan
dan himpunan koset kiri
.
Contoh 3.
Misal diberikan merupakan grup himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan
merupakan himpunan bilangan bulat kelipatan
, yaitu
. Tentukan koset kiri dan kanan dari
.
Perhatikan bahwa,
Jadi, ,
dan
merupakan koset kiri dari
. Dengan cara yang sama, diperoleh koset kanannya adalah
Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful
Ping-balik: Subgrup Normal | Math IS Beautiful
Ping-balik: Teorema Lagrange | Math IS Beautiful