Jan 29 2016

Koset


Misal diberikan himpunan tak kosong S, sebuah relasi \sim pada S disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi \sim memenuhi sifat refleksi, simetri dan transitif.

Lemma 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Relasi a \equiv_L b \mod H dan a \equiv_R b \mod H merupakan relasi ekuivalensi, yang didefiniskan sebagai berikut.

a \equiv_L b jika dan hanya jika a^{-1}b \in H.

a \equiv_R b jika dan hanya jika ab^{-1} \in H.

Bukti.

Untuk membuktikan \equiv_L merupakan relasi ekuivalensi, harus membuktikan sifat refleksif, simetris dan transitif. Ambil sebarang a,b,c \in G, berakibat terdapat a^{-1} \in G. Karena H subgrup G, perhatikan bahwa a^{-1}a = e \in H. Jadi, a \equiv_L a \mod H.

Misal a \equiv_L b \mod H, artinya a^{-1}b \in H. Perhatikan bahwa

b^{-1}a = b^{-1}(a^{-1})^{-1} = (a^{-1}b)^{-1}.

Karena a^{-1}b \in H, berakibat b^{-1}a = (a^{-1}b)^{-1} \in H. Jadi, b \equiv_L a \mod H$.

Misal a \equiv_L b \mod H dan b \equiv c \mod H. Artinya a^{-1}b \in H dan b^{-1}c \in H. Perhatikan bahwa

a^{-1}c = a^{-1}(ec) = a^{-1}(bab^{-1})c = (a^{-1}b)(b^{-1}c).

Karena a^{-1}b , b^{-1}c \in H, berakibat a^{-1}b = (a^{-1}b)(b^{-1}c) \in H. Jadi, a \equiv c \mod H.

Jadi, a \equiv_L b \mod H merupakan relasi ekuivalensi. Dengan cara yang sama, a \equiv_R b \mod H juga merupakan relasi ekuivalensi. \blacksquare

Relasi \equiv \mod H pada grup G mengakibatkan suatu partisi pada grup. Misal klas ekuivalensi yang memuat a adalah aH. Diperoleh,

aH = \{ x \in G ~|~ x \equiv_L a \}

= \{ x \in G ~|~ x^{-1}a \in H \}

= \{ x \in G ~|~ x^{-1}a = h' \mbox{ untuk suatu } h' \in H \}

= \{ x \in G ~|~ a^{-1}x = (h')^{-1} \mbox{ untuk suatu } h' \in H \}

= \{ x \in G ~|~ x = ah'^{-1} \mbox{ untuk suatu } h' \in H \}

= \{ ah ~|~ h \in H \}.

Dengan cara yang sama, \equiv_R meghasilkan partisi dengan klas ekuivalensi yang memuat a adalah Ha = \{ha ~|~ h \in H \}. Kedua himpunan tersebut dinamakan koset. Berikut diberikan definisi mengenai koset.

Difinisi 2.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a \in G.

Ha = \{ ha ~|~ h \in H \} disebut koset kanan terhadap subgrup H yang memuat a,

aH = \{ ah ~|~ h \in H \} disebut koset kiri terhadap subgrup H yang memuat a.

Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G kita punya himpunan koset kanan K = \{ Ha ~|~ a \in G \} dan himpunan koset kiri L = \{ aH ~|~ a \in G \}.

Contoh 3.

Misal diberikan G merupakan grup himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan H merupakan himpunan bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = \{ 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \}. Tentukan koset kiri dan kanan dari H.

Perhatikan bahwa,

0+H = \{ 0+h ~|~ h \in H \} = \{ 0 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = H

1+H = \{ 1+h ~|~ h \in H \} = \{ 1 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \}

2+H = \{ 2+h ~|~ h \in H \} = \{ 2 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \}

3+H = \{ 3+h ~|~ h \in H \} = \{ 3 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = H

Jadi, H, \{ 1 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} dan \{ 2 + 3n ~|~ n \in \mathbb{Z} \} merupakan koset kiri dari H. Dengan cara yang sama, diperoleh koset kanannya adalah

H+0 = \{ h+0 ~|~ h \in H \} = \{ 3n+0 ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = H

H+1 = \{ h+1 ~|~ h \in H \} = \{ 3n+1 ~|~ n \in \mathbb{Z} \}

H+2 = \{ h+2 ~|~ h \in H \} = \{ 3n+2 ~|~ n \in \mathbb{Z} \}

H+3 = \{ h+3 ~|~ h \in H \} = \{ 3n+3 ~|~ n \in \mathbb{Z} \} = H

3 comments on “Koset”

  1. Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Subgrup Normal | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Teorema Lagrange | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar