Nov 10 2015

Subgrup


Dalam teori himpunan, jika dipunyai himpunan, pasti himpunan tersebut mempunyai subhimpunan, minimal himpunan kosong dan dirinya sendiri. Demikian halnya dalam teori grup. Jika diberikan satu grup (G,\cdot) dan himpunan tak kosong H, maka H akan menjadi subgrup dari grup G jika H terhadap operasi yang sama dengan operasi G membentuk grup juga.

Definisi 1.                                                     

Jika (G, \cdot) grup dan H himpunan tak kosong dengan H \subseteq G. Maka (H, \cdot) disebut subgrup dari (G, \cdot) jika (H, \cdot) grup.

Contoh 2.

Perhatikan koleksi grup dibawah ini :

1.  (\{ 0 \}, +), (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)

2.  (\{0\}, \cdot), (\mathbb{Q} \backslash \{ 0 \}, \cdot), (\mathbb{R} \backslash \{0 \}, \cdot), (\mathbb{C} \backslash \{ 0 \}, \cdot)

Pada masing-masing operasi yaitu + dan \cdot yang merupakan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Setiap grup merupakan subgrup dari grup yang berada disebelah kanannya. Misalnya, (\mathbb{Z}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), dan (\mathbb{C}, +), begitu juga untuk (\mathbb{Q}, +) merupakan subgrup dari (\mathbb{R}, +) dan (\mathbb{C}, +). Selanjutnya, (\mathbb{Q} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{R} \backslash \{0\},\cdot) dan (\mathbb{C} \backslash \{0\}, \cdot) serta (\mathbb{R} \backslash \{0\}, \cdot) merupakan subgrup dari (\mathbb{C} \backslash \{0\},\cdot).

Setiap grup G dijamin memiliki subgrup, yaitu minimal \{ e \} dan G itu sendiri, dimana e merupakan elemen identitas. Berikut definisi lengkapnya.

Definisi 3.

Misal G grup maka G merupakan subgrup tak sejati (improper) dari G. Subgrup lainnya disebut subgrup sejati (proper) dari G. Selanjutnya \{ e \} dan G merupakan subgrup trivial dari G, semua subgrup selain itu disebut subgrup tak trivial.

Contoh 4.

Diberikan grup \mathbb{Z}_2 =\{0,1\} terhadap operasi penjumlahan. Tentukan subgrup dari \mathbb{Z}_2. Perhatikan tabel berikut,

\cdot

0

1

0

0

1

1

1

0

Himpunan \{0,\mathbb{Z}_2\} merupakan subgrup \mathbb{Z}_2. Lebih jauh, \{0,\mathbb{Z}_2\} merupakan subgrup trivial.

Contoh 5.

Misal diberikan grup G =\mathbb{Z}_6. Buktikan bahwa H =\{ [0],[3] \} merupakan subgrup G terhadap operasi penjumlahan +_{ 6 }.

Dalam kasus ini, akan dibuktikan H subgrup G dengan menggunakan definisi. Pertama akan dibuktikan sifat ketertutupannya. Dengan memandang perkasus, yaitu [ 0 ] dan [ 0 ], [ 0 ] dan [ 3 ], [ 3 ] dan [ 0 ], serta [ 3 ] dan [ 3 ].

Kasus I : [ 0 ] dan [ 0 ], diperoleh [0] +_6 [0] =[0].

Kasus II : [ 0 ] dan [ 3 ], diperoleh [0] +_6 [3] =[3].

Kasus III : [ 3 ] dan [ 0 ], diperoleh [3] +_6 [0] =[3].

Kasus IV : [ 3 ] dan [ 3 ], diperoleh [3] +_6 [3] =[6] = [0].

Jadi, operasi +_{ 6 } pada {H} bersifat tertutup.

Selanjutnya untuk sifat asosiatif, silahkan pembaca cek sendiri. Kemudian untuk eksistensi identitas, klaim bahwa [ 0 ] merupakan elemen identitas di H sedemikian hingga [a] +_6 [b] =[0] = [b] +_6 [a] untuk setiap [a],[b]\in H. Dengan memperhatikan Kasus I sampai Kasus IV, jelas bahwa [ 0 ] merupakan elemen identitas di [ H ]. Selanjutnya, untuk elemen invers, akan dicek untuk sebarang [a]\in H berlaku [a] +_6 [b] =[0]. Dengan kata lain, [ b ] merupakan invers dari [ a ]. Dengan memperhatikan kasus diatas, diperoleh [ 0 ] merupakan invers dari [ 0 ] dan [ 3 ] merupakan invers dari [ 3 ]. Jadi, dapat disimpulkan bahwa H merupakan subgrup dari {G} dibawah operasi +_{ 6 }. Lebih jauh, {H} merupakan subgrup tak trivial dari {G}.

Teorema 6.

Misal G grup dan Z(G) =\{b \in G | ab = ba \mbox{ untuk setiap } a \in G \}. Maka Z( G ) merupakan subgrup komutatif G. Lebih jauh, Z( G ) disebut center dari G.

Bukti.

Karena ae =a = ea untuk setiap a \in G maka Z(G)\neq \emptyset. Ambil sebarang a, b\in Z(G), maka bc =cb untuk setiap c \in G. Dari sini, diperoleh cb^{-1} =b^{-1}c untuk setiap c \in G, jadi b^{-1}\in Z(G). Sekarang perhatikan (ab^{-1})c =a(b^{-1}c) = a(cb^{-1}) = (ac)b^{-1} = (ca)b^{-1} = c(ab^{-1}), maka dapat disimpulkan bahwa ab^{-1}\in Z(G). Berdasarkan Karaktersitik Subgrup maka Z( G ) merupakan subgrup. Lebih jauh, Z( G ) merupakan subgrup komutatif.

Jika dipunyai grup komutatif, maka semua elemen grup merupakan elemen center dari grup tersebut. Perhatikan contoh elemen center pada grup non komutatif.

Contoh 7.

Misal diberikan grup Quaternion Q =\{ 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k \} dengan operasi perkalian, didefinisikan sebagai berikut

Q =\langle -1,i,j,k ~|~ (-1)^2=1, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle.

Q

1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

1

1

-1

i

-i

j

-j

k

-k

-1

-1

1

-i

i

-j

j

-k

k

i

i

-i

-1

1

k

-k

-j

j

-i

-i

i

1

-1

-k

k

j

-j

j

j

-j

-k

k

-1

1

i

-i

-j

-j

j

k

-k

1

-1

-i

i

k

k

-k

j

-j

-i

i

-1

1

-k

-k

k

-j

j

i

-i

1

-1

Dari definisi di atas (perhatikan tabel), diperoleh bahwa \{1, -1\} merupakan center dari grup Quaternion Q.

Teorema 8.

Misal H subgrup dari G, maka

1.  Identitas di subgrup H sama dengan identitas di grup G.

2.  Invers sebarang elemen di subgrup H sama dengan invers dari elemen-elemen yang bersesuaian di grup G.

3.  Order sebarang elemen dari subgrup sama dengan order grupnya.

 

5 comments on “Subgrup”

  1. Ping-balik: Karakteristik Subgrup | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Teorema Lagrange | Math IS Beautiful

  4. Ping-balik: Koset | Math IS Beautiful

  5. Ping-balik: Sifat-Sifat Grup Siklik | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar