Okt 11 2012

Proyeksi Vektor


Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w1 + w2. Kemudian vektor a terletak sejajar dengan w1, sedemikian sehingga w1 = ka. Jika kita lihat vektor w1 pada gambar diatas maka vektor w1 diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w1 = ka, w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proyau] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a, sedangkan w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas].

Bagaimana menghitung proyeksi ortogonal u pada a [proyau] dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a [u – proyau] ? Berikut teorema yang memberikan rumus proyau dan u – proyau.

Teorema :

Jika u dan a adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a \neq 0, maka

proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

u – proyau = u-\dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

Bukti :

Misalkan w1 = proyau dan w2 = u – proyau.

Dengan menggunakan Hasil Kali Titik, maka diperoleh

u.a = (w1 + w2).a

= w1.a + w2.a

Karena a dan w2 ortogonal, maka diperoleh

= w1.a

= \left \| w_1 \right \| \left \| a \right \| \cos \theta

karena a dan w1 sejajar, sehingga \theta = 0^0

= \left \| k \cdot a \right \| \left \| a \right \| \cos 0^0

= k \left \| a \right \|^2

k = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2}

karena proyau = w1 = ka, sehingga diperoleh

proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a \blacksquare

contoh :

Carilah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u yang orthogonal ke a.

  1. u = (2, 1), a = (-3, 2)

    u.a = (2, 1).(-3, 2)

    = 2(-3) + 1(2)

    = -6 + 2

    = -4

    \left \| a \right \|^2 = (-3)2 + 22

    = 9 + 14

    = 13

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-4}{13} (-3, 2)

    = (12/13, -8/13)

    w2 = u – proyau

    = (2, 1) – (12/13, -8/13)

    = (14/13, 21/13)

  2. u = (-7, 1, 3), a = (5, 0, 1)

    u.a = (-7, 1, 3). (5, 0, 1)

    = -7(5) + 1(0) + 3(1)

    = -35 + 0 + 3

    = -32

    \left \| a \right \|^2 = (5)2 + 02 + 12

    = 25 + 0 + 1

    = 26

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-32}{26} (5, 0, 1)

    = (-80/13, 0, -16/13)

    w2 = u – proyau

    = (-7, 1, 3) – (-80/13, 0, -16/13)

    = (-11/13, 1, 55/13)


Sumber :

Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

Anton, H. and Rorres, C., 2005, Elementary Linear Algebra with Applications, John Wiley & Sons, USA.

4 comments on “Proyeksi Vektor”

  1. Ping-balik: Penurunan Rumus Jarak Titik ke Garis | Math IS Beautiful

  2. Postingan anda sangat bermanfaat, pas bangat dengan pelajaran matematika yang sedang kami pelajari 🙂 soal soal matematikanya pun banyak sesuai juga pembahasan soal kami sekarang, apalagi sebentar lagi mau ujian jadi soal MM postingan anda dapat di jadikan bahan belajar

    Balas

Tinggalkan komentar