Proyeksi Vektor


Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w1 + w2. Kemudian vektor a terletak sejajar dengan w1, sedemikian sehingga w1 = ka. Jika kita lihat vektor w1 pada gambar diatas maka vektor w1 diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w1 = ka, w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proyau] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a, sedangkan w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas].

Bagaimana menghitung proyeksi ortogonal u pada a [proyau] dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a [u – proyau] ? Berikut teorema yang memberikan rumus proyau dan u – proyau.

Teorema :

Jika u dan a adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a \neq 0, maka

proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

u – proyau = u-\dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

Bukti :

Misalkan w1 = proyau dan w2 = u – proyau.

Dengan menggunakan Hasil Kali Titik, maka diperoleh

u.a = (w1 + w2).a

= w1.a + w2.a

Karena a dan w2 ortogonal, maka diperoleh

= w1.a

= \left \| w_1 \right \| \left \| a \right \| \cos \theta

karena a dan w1 sejajar, sehingga \theta = 0^0

= \left \| k \cdot a \right \| \left \| a \right \| \cos 0^0

= k \left \| a \right \|^2

k = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2}

karena proyau = w1 = ka, sehingga diperoleh

proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a \blacksquare

contoh :

Carilah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u yang orthogonal ke a.

  1. u = (2, 1), a = (-3, 2)

    u.a = (2, 1).(-3, 2)

    = 2(-3) + 1(2)

    = -6 + 2

    = -4

    \left \| a \right \|^2 = (-3)2 + 22

    = 9 + 14

    = 13

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-4}{13} (-3, 2)

    = (12/13, -8/13)

    w2 = u – proyau

    = (2, 1) – (12/13, -8/13)

    = (14/13, 21/13)

  2. u = (-7, 1, 3), a = (5, 0, 1)

    u.a = (-7, 1, 3). (5, 0, 1)

    = -7(5) + 1(0) + 3(1)

    = -35 + 0 + 3

    = -32

    \left \| a \right \|^2 = (5)2 + 02 + 12

    = 25 + 0 + 1

    = 26

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-32}{26} (5, 0, 1)

    = (-80/13, 0, -16/13)

    w2 = u – proyau

    = (-7, 1, 3) – (-80/13, 0, -16/13)

    = (-11/13, 1, 55/13)


Sumber :

Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

Anton, H. and Rorres, C., 2005, Elementary Linear Algebra with Applications, John Wiley & Sons, USA.

Iklan

4 comments on “Proyeksi Vektor

  1. Ping-balik: Penurunan Rumus Jarak Titik ke Garis | Math IS Beautiful

  2. Postingan anda sangat bermanfaat, pas bangat dengan pelajaran matematika yang sedang kami pelajari 🙂 soal soal matematikanya pun banyak sesuai juga pembahasan soal kami sekarang, apalagi sebentar lagi mau ujian jadi soal MM postingan anda dapat di jadikan bahan belajar

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s