Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2017 (Kode Soal 226) (2)


  1. Jika f(x) = 1-x^2 dan g(x) = \sqrt{5-x}, maka daerah hasil fungsi komposisi f \circ g adalah …

    A. \{ y~|~ -\infty < y < \infty\}

    B. \{ y~|~ y \leq -1 \text{ atau } y \geq 1\}

    C. \{ y~|~ y \leq 5\}

    D. \{ y~|~ y \leq 1\}

    E. \{ y~|~ -1 \leq y \leq 1\}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} (f \circ g(x) &= f(g(x))\\ &= f(\sqrt{5-x})\\ &= 1-(\sqrt{5-x})^2\\ &=1-(5-x)\\ &= x-4.\end{array}

    Karena fungsi f \circ g adalah bukan fungsi akar atau rasional (pecahan), maka daerah hasilnya adalah semua bilangan real. Jadi, jawaban yang tepat adalah pilihan A.

    JAWABAN : A

  2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah HG dan BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 4 cm, maka jarak P ke Q adalah … cm

    A. 2 \sqrt{3}

    B. 2 \sqrt{6}

    C. 6 \sqrt{2}

    D. 6 \sqrt{3}

    E. 6 \sqrt{6}

    PEMBAHASAN.

    Perhatkan, gambar di atas, diperoleh

    \begin{array}{rl} PP' &= 4\\ CP' &= 2\\ CQ &= 2\\ P'Q &= \sqrt{CP'^2+CQ^2}\\ &= \sqrt{2^2+2^2}\\ &= 2\sqrt{2}\\ PQ &= \sqrt{PP'^2+P'Q^2}\\ &= \sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{16+8}\\ &= \sqrt{24}\\ &= \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}. \end{array}

    Jadi, jarak P ke Q adalah 2\sqrt{6} cm.

    JAWABAN : B

  3. Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y \leq 3, 3x+2y \geq 6, y \geq 0 adalah … satuan luas

    A. \dfrac{1}{2}

    B. \dfrac{3}{4}

    C. 1

    D. \dfrac{3}{2}

    E. 2

    PEMBAHASAN.

    Dari pertidaksamaan pada soal, diperoleh gambar sebagai berikut,

    titik A adalah perpotongan garis 3x+2y=6 dengan sumbu-x, sehingga diperoleh A(2,0). Kemudian titik B adalah perpotongan garis dengan garis x+y=3, yaitu B(3,0) dan titik C adalah perpotongan garis x+y=3 dengan sumbu-y, yaitu C(0,3). Selanjutnya daerah penyelesaian sistem persamaan merupakan luas egitiga ABC (lihat gambar). Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \text{Luas } \triangle OBC &= \dfrac{1}{2} \times OB \times OC\\ &= \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 = \dfrac{9}{2}.\\ \text{Luas } \triangle OAC &= \dfrac{1}{2} \times OA \times OC\\ &= \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3.\\ \text{Luas } \triangle ABC &= \text{Luas } \triangle OBC -\text{Luas } \triangle OAC\\ &= \dfrac{9}{2}-3 = \dfrac{3}{2}. \end{array}

    JAWABAN : D

  4. Titik (1,0) dipetakan dengan translasi \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} dan kemudian dicerminkan terhadap $x=3$ ke titik (6,2). Peta titik (2,1) di bawah transformasi yang sama adalah …

    A. (5,3)

    B. (6,2)

    C. (6,3)

    D. (7,2)

    E. (7,3)

    PEMBAHASAN.

    Translasi terhadap \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} adalah

    \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a\\2 \end{pmatrix}

    Pencerminan \begin{pmatrix} 1+a\\2 \end{pmatrix} terhadap $x=3$ adalah

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2h-x\\y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2(3)-(1+a)\\2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5-a\\2 \end{pmatrix} \end{array}

    Dari persamaan terakhir, diperoleh

    6 = 5-a \Leftrightarrow a=-1

    Jadi, diperoleh translasinya adalah \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}. Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2h-x'\\y' \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2(3)-1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\3 \end{pmatrix}. \end{array}

    JAWABAN : A

  5. \displaystyle{\int} \dfrac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}} ~dx= \ldots

    A. 3x-2x\sqrt{x}+C

    B. 2x-3x\sqrt{x}+C

    C. 3x\sqrt{x}-2x+C

    D. 2x\sqrt{x}-3x+C

    E. 3x+2x\sqrt{x}+C

    PEMBAHASAN.

    NOTE : a-b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \displaystyle{\int} \dfrac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}} ~dx &= \displaystyle{\int} \dfrac{3(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}} ~dx\\ &= \displaystyle{\int} 3(1-\sqrt{x}) ~dx\\ &= \displaystyle{\int} 3-3\sqrt{x} ~dx\\ &= \displaystyle{\int} 3-3x^{\frac{1}{2}} ~dx\\ &= 3x-\dfrac{3}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + C\\ &= 3x-2x^{\frac{3}{2}} + C\\ &= 3x-2 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{2}} + C\\ &= 3x-2x\sqrt{x}+C. \end{array}

    JAWABAN : A

  6. Jika kurva f(x) =ax^2+bx+c memotong sumbu-y di titik (0,1) dan \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -4, maka \dfrac{b+c}{a} = \ldots

    A. -1

    B. -\dfrac{1}{2}

    C. 0

    D. 1

    E. \dfrac{3}{2}

    PEMBAHASAN.

    Kurva f(x) memotong sumbu-y di titik (0,1) artinya

    \begin{array}{rl} f(0) &= a(0)^2+b(0)+c\\ 1&=c \ldots \text{ (i)} \end{array}

    Selanjutnya dengan menggunakan Dalil L’Holpital, didapat

    \begin{array}{rl} \lim_{x \to 1} \dfrac{ax^2+bx+c}{x-1} &= -4\\ \lim_{x \to 1} \dfrac{2ax+b}{1} &= -4\\ 2a(1)+b &= -4\\ 2a+b &= -4 \ldots \text{ (ii)} \end{array}

    Kemudian karena \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = -4, artinya f(1)=0. Sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} f(1) &= a(1)^2+b(1)+c\\ 0&=a+b+c \ldots \text{ (iii)} \end{array}

    Substitusi persamaan (i) ke persamaan (iii), diperoleh

    a+b = -1 \ldots \text{ (iv)}

    Eliminasi persamaa (ii) dan persamaan (iv), diperoleh

    \begin{array}{l} 2a+b=-4\\ \underline{a+b=-1}~~-\\ a=-3.\end{array}

    \dfrac{b+c}{a} = \dfrac{2+1}{-3} = -1.

    JAWABAN : A

  7. Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah …

    A. 720

    B. 705

    C. 672

    D. 48

    E. 15

    PEMBAHASAN.

    Banyak susunan foto pemain bulutangkis dengan posisi sebarang, yaitu 6!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 120. Selanjutnya banyak kemungkinan foto bersama dengan setiap pasangan berdekatan (asumsikan 1 pasangan adalah 1 objek, berarti ada 3 objek), yaitu 3!=1 \times 2 \times 3 = 6. Karena setiap pasangan bisa menukar posisi, maka didapat 2 \times 2 \times 2 = 8. Sehingga banyak susunan foto untuk setiap pasangan dengan posisi berdekatan adalah 6 \times 8 = 48. Karena tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan, maka banyak kemungkinannya adalah 120-48 = 672 cara.

    JAWABAN : C

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.
NOTE :
silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

2 comments on “Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2017 (Kode Soal 226) (2)

  1. Hallow, gan.

    Mohon maaf, untuk nomor 1 di atas, jawabannya D ya?

    Coba substitusi x = 7, memang hasil komposisinya 3, akan tetapi daerah asal fungsi komposisinya adalah x \leq 5 , sehingga x = 7 tidak bisa kita substitusikan ke fungsi komposisinya. Mohon pencerahannya!!!!

    Coba lihat alternatif penjelasan di link berikut ini :

    Pembahasan daerah hasil

    Salam blogger dan salam matematika.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s