Bukti Rumus Trigonometri sin(a + b) dan sin(a – b)

Tulisan kali ini mencoba untuk membuktikan salah satu Sifat Dasar Trigonometri yaitu sin ( + ) = sin cos + cos sin . Pembuktian yang saya lakukan pada tulisan ini yaitu melalui ilustrasi segitiga dengan memanfaatkan Rumus Luas Segitiga dan trigonometri dasar pada segitiga. Perhatikan gambar dibawah ini

Dari gambar diatas kita pandang sebagai dua segitiga siku-siku seperti pada gambar dibawah ini

Dari gambar diatas diperoleh

sin = = b sin = x cos = = b cos = t

sin = = a sin = y cos = = a cos = t

Seperti terlihat pada gambar segitiga pertama diatas, diperoleh luas segitiga sebagai berikut

Luas ABC = a b sin ( + ) [Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut apit]

Luas AOC = CO AO

= t x

= a cos b sin

Luas BOC = CO BO

= t y

= b cos a sin

karena Luas ABC = Luas AOC + Luas BOC, maka diperoleh

a b sin ( + ) = a cos b sin + b cos a sin

a b sin ( + ) = a b [cos sin + cos sin ]

sin ( + ) = sin cos + cos sin

bagaimana pembuktian untuk sin (a – b) ? Dengan memanfaatkan hasil pembuktian diatas yaitu dengan mensubstitusi = –, sehingga diperoleh

sin ( + (-)) = sin cos (-) + cos sin –

– artinya berada pada kuadran IV, dengan hanya cosinus yang bernilai positif, sehingga

sin ( – ) = sin cos + cos (-sin )

= sin cos – cos sin