Apr 3 2014

Teori Grup


Dalam tulisan ini akan dibahas suatu struktur aljabar dengan suatu himpunan tak kosong dan satu operasi biner serta memenuhi beberapa sifat. Struktur ini dikenal dengan nama Grup. Berikut definisi grup.

Definition 1.

Suatu sistem aljabar yang (G, \cdot) yang memuat himpunan tak kosong G dilengkapi dengan operasi biner \cdot, dengan

\cdot : G \times G \rightarrow G


serta memenuhi aksioma-aksioma berikut

  1. Assositif

    (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) untuk setiap a,b,c \in G

  2. Eksistensi elemen Identitas

    terdapat elemen identitas e \in G sedemikian sehingga a \cdot e = e \cdot a = a untuk semua a \in G

  3. Eksistensi elemen Invers

    untuk setiap a \in G, terdapat a,b \in G sedemikian sehingga a \cdot b = b \cdot a = e

Berikut beberapa contoh dari grup.

Contoh 2.

Himpunan bilangan asli \mathbb{N} dengan operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena tidak memiliki identitas di \mathbb{N}.

Contoh 3.

Himpunan semua bilangan bulat \mathbb{Z} adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.

Penyelesaian.

Seperti yang telah diketahui bahwa penjumlahan dua bilangan bulat, hasilnya pasti di bilangan bulat juga. Jadi operasi penjumlahan sebarang bilangan bulat bersifat tertutup. Selanjutnya akan dicek tiga aksioma berikut.

  1. Assosiatif

    ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}, sehingga (a+b)+c=a+(b+c)

  2. Eksistensi elemen Identitas

    Klaim 0 merupakan identitas di \mathbb{Z}. Seperti yang kita tahu bahwa sifat dari bilangan bulat \mathbb{Z} yaitu a + 0 = 0 + a = a. Jadi 0 sebagai elemen identitas di \mathbb{Z}.

  3. Eksistensi elemen Invers

    Klaim -a sebagai elemen invers. Pandang a + (-a) = a - a = 0 dan (-a) + a = -a + a = 0. Sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0. Jadi, -a elemen invers di \mathbb{Z}

Grup yang memenuhi sifat komutatif untuk sebarang elemen di G, disebut dengan Grup Abelian (Grup Komutatif).

Contoh 4.

Misal diberikan m sebarang bilangan bulat yang tetap dan G = {m \cdot a : a \in \mathbb{Z}} merupakan himpunan semua pergandaan dari bilangan bulat oleh bilangan bulat m. Buktikan bahwa G merupakan grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.

Penyelesaian.

Ambil sebarang m \cdot a, m \cdot b dan m \cdot c di G untuk suatu a,b \in \mathbb{Z}.

  1. Sifat Tertutup

    m \cdot a + m \cdot b = m \cdot (a + b)

    karena a,b \in \mathbb{Z} dan berdasarkan sifat ketertutupan bilangan bulat, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m \cdot (a + b) \in G. Jadi $latex m \cdot a + m \cdot b \in G$.

  2. Assosiatif

    (m \cdot a + m \cdot b) + m \cdot b = m \cdot (a + b) + m \cdot b

    = m \cdot ((a + b) + c)

    = m \cdot (a + (b + c))

    = m \cdot a + m \cdot (b + c)

    = m \cdot a + (m \cdot b + m \cdot c)

  3. Eksistensi elemen identitas

    akan dicari elemen identitas, misal a' sedemikian sehingga memenuhi a + a' = a' + a = a

    m \cdot a + m \cdot a' = m \cdot (a + a')

    = m \cdot a

    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a' = a dipenuhi oleh a' = 0. Jadi, m \cdot 0 \in G sebagai elemen identitas.

  4. Eksistensi elemen invers

    akan dicari elemen invers dari G, misal a" sedemikian sehingga memenuhi a + a" = a" + a = 0.

    m \cdot a + m \cdot a" = m \cdot (a + a")

    = m \cdot 0

    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a" = 0 dipenuhi oleh a" = -a. Jadi, m \cdot (-a) \in G sebagai elemen invers.

Contoh 5.

Diberikan m \in \mathbb{Z} tak nol. Misal G = {m^{a} : a \in \mathbb{Z}}. Buktikan G dengan perkalian komposisi adalah grup.

Penyelesaian.

ambil sebarang m^{a}, m^{b}, m^{c} \in G.

  1. Sifat ketertutupan

    m^{a} \cdot m^{b} = m^{a+b}

    karena a,b \in \mathbb{Z}, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m^{a+b} \in G. Jadi m^{a} \cdot m^{b} \in G.

  2. Assossiatif

    (m^{a} \cdot m^{b}) \cdot m^{c} = m^{a+b} \cdot m^{c}

    = m^{(a+b)+c}

    = m^{a+(b+c)}

    = m^{a} \cdot m^{(b+c)}

    = m^{a} \cdot (m^{b} \cdot m^{c})

  3. Eksistensi elemen identitas

    Klaim m^{0} \in G sebagai elemen identitas untuk sebarang m^{a} \in G.

    m^{a} \cdot m^{0} = m^{a+0}

    = m^{a}

    m^{0} \cdot m^{a} = m^{0+a}

    = m^{a}

    m^{a} \cdot m^{0} = m^{0} \cdot m^{a} = m^{a}

    Jadi, m^{0} elemen identitas di G

  4. Eksistensi elemen invers

    Klaim m^{-a} \in G sebagai elemen invers untuk sebarang m^{a} \in G.

    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{a+(-a)}

    = m^{0}

    m^{-a} \cdot m^{a} = m^{(-a)+a}

    = m^{0}

    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{-a} \cdot m^{a} = m^{0}

    Jadi, m^{-a} elemen invers di G untuk sebarang elemen di G.

15 comments on “Teori Grup”

  1. assalamu’alaikum,,,
    kak mau tanya, misalkan G = {a aggt bil. Real | -1<a<1}. Didefinisikan operasi o pada G sebagai:
    a o b = (a+b)/ 1+ ab untuk setiap a,b aggt G. Tunjukkan bahwa bersifat tertutup.
    mohon di balas,,, terima kasih kak

    Balas

  2. ni jawaban yang sudah saya coba,,, mohon dikoreksi ya kak,,,
    Akan ditunjukkan utk setiap a,b aggt G berlaku a o b= (a+b)/ 1+ ab aggt G
    ambil sebarang a,b aggt G dengan -1<a<1 dan -1<b<1 dg dmikian :
    a o b= (a+b)/ 1 + ab aggt G
    karena:
    i). -1<a<1 dan -1<b<1 , -2< a+b< 2
    ii). -1<a<1 dan -1<b<1 maka -1<ab<1 dan 0 <1 +ab< 2
    iii). sehingga -1 < (a+b)/ 1+ ab < 1
    * terbukti bersifat tertutup

    Balas

Tinggalkan komentar