Persamaan Kuadrat


Pada tulisan ini akan diawali dengan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat, tapi sebelumnya perhatikan contoh-contoh persamaan berikut ini.

1. x^2 = 0

2.  x^2-4x = 0

3.  x^2-9 = 0

4.  x^2-5x+6 = 0

5.  2x^2-5x+2 = 0

Apabila diperhatikan contoh diatas, semua persamaan tersebut memiliki pangkat tertinggi bagi peubah (variabel) x adalah dua. Contoh-contoh di atas dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Berdasarkan contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk persamaan umum Persamaan Kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.

Misalkan a,b,c \in \mathbb{R} dengan a \neq 0, maka persamaan yang berbentuk

ax^2 + bx + c = 0

Disebut Persamaan Kuadrat dalam peubah x.

Sehingga melalui definisi di atas mengetahui apakah suatu persmaan merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.

Tentukan apakah persamaan berikut merupakan persamaan kuadrat atau bukan.

1.  x+6 = 0

2.  x^2+10x+21 = 0

3.  \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{x-2} = 0

Berdasarkan definisi persamaan kuadrat di atas, diperoleh

1.  a=0, b=1 dan c=6. Karena a=0 dan tidak memenuhi syarat pada definisi, maka x+6=0 bukan merupakan persamaan kuadrat.

2.  a=1, b=10 dan c=21. Karena a=1 \neq 0, berakibat x^2+10x+21=0 merupakan persamaan kuadrat.

3.  Pada contoh terakhir ini, terlebih dahulu akan diubah bentuknya.

\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{x-2} = 0

\dfrac{2(x-2)+1(x-1)}{(x-1)(x-2)} = 0

2x-4+x-1 = 0

3x-5 = 0

Karena a=0, berakibat \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{x-2} = 0 bukan merupakan persamaan kuadrat. \square

Persamaan ax^2+bx+c=0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai peubah x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya, apabila diberikan ax^2+bx+c=0, bagaimana cara menentukan nilai x tersebut ? Dalam tulisan ini akan dikaji dua cara, yaitu yang pertama dengan cara memfaktorkan dan yang kedua dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Dengan cara pertama ini, akan dimanfaatkan sifat bilangan riil, yaitu

Jika a,b \in \mathbb{R} sedemikian hingga ab=0, maka a=0 atau b=0.

Contoh 3.

Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut.

1.  x^-4 = 0

2.  x^2-6x+9 = 0

3.  2x^2-5x-3 = 0

Penyelesaian.

1.  Langkah pertama yaitu menentukan nilai a,b,c. Dalam persamaan kuadrat tersebut diperoleh a=1,b=0 dan c=-4. Langkah selanjutnya dalam mencari akar ini adalah menentukan faktor dari c. Dalam hal ini, yaitu -4 yang memiliki faktor -4,1,-2,2,-1,4. Selanjutnya, jumlahkan dan kalikan faktor yang bersesuaian

 

 

penjumlahan

perkalian

-4

1

-3

-4

-2

2

0

-4

-1

4

3

-4

Tentukan faktor dari  “penjumlahan” yang sama dengan b=0 dan “perkalian” yang sama dengan c=-4. Dalam hal ini, diperoleh 2 dan -2. Sehingga didapat

x^2-4 = 0

(x-2)(x+2) = 0

x-2=0 atau x+2=0

x=2 atau x=-2

Jadi, akar-akarnya adalah x_1=2 atau x_2=-2.

2.  a=1,b=-6,c=9

Faktor 9 adalah 1,9,-3,-1,-9,3,

 

 

penjumlahan

perkalian

-9

-1

-10

9

-3

-3

-6

9

1

9

10

9

3

3

6

9

 

x^2-6x+9 = 0

(x-3)(x-3) = 0

x-3=0 atau x-3=0

Jadi, akar-akarnya adalah x_1 = x_2=3.

3.  Perhatikan bahwa a=4,b=-10,c=-6. Dalam contoh terakhir ini didapat a>1, sehingga untuk mengerjakan soal ini, diperlukan sedikit manipulasi. Jika dalam soal sebelumnya dicari faktor dari c, dalam soal ini akan dicari faktor dari ac, yaitu -6. Selanjutnya, dengan cara yang sama dari soal-soal sebelumnya diperoleh faktor -6 adalah -6,1,-3,2,-2,3,6,-1,

 

 

penjumlahan

perkalian

-6

1

-5

-6

-3

2

-1

-6

-2

3

1

-6

6

-1

5

-6

 

2x^2-5x-3 = 0

(2x+1)(2x-6) = 0

2x+1=0 atau 2x-6=0

Jadi, akar-akarnya adalah x_1 = -\dfrac{1}{2} atau x_2=3.

Selanjutnya, sebelum memasuki cara yang kedua yaitu melengkapkan kuadrat sempurna. Terlebih dahulu perhatikan beberapa contoh bilangan yang termasuk ke dalam kuadrat sempurna, yaitu 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, dan seterusnya. Selanjutnya untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.

Contoh 4.

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat di bawah ini.

1.  x^2-2x-8 = 0

2.  x^2-10x+21 = 0

Penyelesaian.

1.  Dalam metode ini, akan dilakukan manipulasi aljabar

x^2-2x+0-8 = 0

x^2-2x+1+(-1)-8 = 0 (yaitu 1 = \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 = \left( \dfrac{2}{2} \right)^2)

(x-1)^2-9 = 0 (kuadrat sempurna)

(x-1)^2 = 9

x-1 = \pm \sqrt{9}(akarkan kedua ruas)

x-1=3 atau x-1=-3

Jadi, x_1=4 atau x_2=-2.

2.  x^2-10x+0+21 = 0

x^2-10x+1+(-25)+21 = 0 (yaitu 25 = \left( \dfrac{b}{2} \right)^2 = \left( \dfrac{10}{2} \right)^2)

(x-5)^2-4 = 0 (kuadrat sempurna)

(x-5)^2 = 4

x-5 = \pm \sqrt{4}(akarkan kedua ruas)

x-5=2 atau x-5=-2

Jadi, x_1=7 atau x_2=3.

Dari contoh diatas, dapat ditarik kesimpulan.

1.  Diberikan persamaan kuadrat ax^2+bx+c = 0 dengan a kuadrat sempurna.

2.  Ubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna

\left( \sqrt{a}x + \dfrac{b}{2} \right)^2-\dfrac{b}{2}^2+c = 0

atau \left( \sqrt{a}x + p \right)^2-q= 0 dengan p=\dfrac{b}{2}, q=\dfrac{b}{2}^2-c

3.  Selanjutnya diperoleh

\sqrt{a}x+p = \pm \sqrt{q}

Jadi, x = -p \sqrt{q}

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s