Pada tulisan ini akan diawali dengan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat, tapi sebelumnya perhatikan contoh-contoh persamaan berikut ini.
1.
2.
3.
4.
5.
Apabila diperhatikan contoh diatas, semua persamaan tersebut memiliki pangkat tertinggi bagi peubah (variabel) adalah dua. Contoh-contoh di atas dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah . Berdasarkan contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk persamaan umum Persamaan Kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.
Misalkan dengan , maka persamaan yang berbentuk
Disebut Persamaan Kuadrat dalam peubah .
Sehingga melalui definisi di atas mengetahui apakah suatu persmaan merupakan persamaan kuadrat atau bukan. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.
Tentukan apakah persamaan berikut merupakan persamaan kuadrat atau bukan.
1.
2.
3.
Berdasarkan definisi persamaan kuadrat di atas, diperoleh
1. dan . Karena dan tidak memenuhi syarat pada definisi, maka bukan merupakan persamaan kuadrat.
2. dan . Karena , berakibat merupakan persamaan kuadrat.
3. Pada contoh terakhir ini, terlebih dahulu akan diubah bentuknya.
Karena , berakibat bukan merupakan persamaan kuadrat.
Persamaan dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai peubah yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai peubah yang memenuhi persamaan kuadrat disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya, apabila diberikan , bagaimana cara menentukan nilai tersebut ? Dalam tulisan ini akan dikaji dua cara, yaitu yang pertama dengan cara memfaktorkan dan yang kedua dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.
Dengan cara pertama ini, akan dimanfaatkan sifat bilangan riil, yaitu
Jika sedemikian hingga , maka atau .
Contoh 3.
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut.
1.
2.
3.
Penyelesaian.
1. Langkah pertama yaitu menentukan nilai . Dalam persamaan kuadrat tersebut diperoleh dan . Langkah selanjutnya dalam mencari akar ini adalah menentukan faktor dari . Dalam hal ini, yaitu yang memiliki faktor . Selanjutnya, jumlahkan dan kalikan faktor yang bersesuaian
|
|
penjumlahan |
perkalian |
-4 |
1 |
-3 |
-4 |
-2 |
2 |
0 |
-4 |
-1 |
4 |
3 |
-4 |
Tentukan faktor dari “penjumlahan” yang sama dengan dan “perkalian” yang sama dengan . Dalam hal ini, diperoleh dan . Sehingga didapat
atau
atau
Jadi, akar-akarnya adalah atau .
2.
Faktor adalah
|
|
penjumlahan |
perkalian |
-9 |
-1 |
-10 |
9 |
-3 |
-3 |
-6 |
9 |
1 |
9 |
10 |
9 |
3 |
3 |
6 |
9 |
atau
Jadi, akar-akarnya adalah .
3. Perhatikan bahwa . Dalam contoh terakhir ini didapat , sehingga untuk mengerjakan soal ini, diperlukan sedikit manipulasi. Jika dalam soal sebelumnya dicari faktor dari , dalam soal ini akan dicari faktor dari , yaitu . Selanjutnya, dengan cara yang sama dari soal-soal sebelumnya diperoleh faktor adalah
|
|
penjumlahan |
perkalian |
-6 |
1 |
-5 |
-6 |
-3 |
2 |
-1 |
-6 |
-2 |
3 |
1 |
-6 |
6 |
-1 |
5 |
-6 |
atau
Jadi, akar-akarnya adalah atau .
Selanjutnya, sebelum memasuki cara yang kedua yaitu melengkapkan kuadrat sempurna. Terlebih dahulu perhatikan beberapa contoh bilangan yang termasuk ke dalam kuadrat sempurna, yaitu , , , , , dan seterusnya. Selanjutnya untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.
Contoh 4.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat di bawah ini.
1.
2.
Penyelesaian.
1. Dalam metode ini, akan dilakukan manipulasi aljabar
(yaitu )
(kuadrat sempurna)
(akarkan kedua ruas)
atau
Jadi, atau .
2.
(yaitu )
(kuadrat sempurna)
(akarkan kedua ruas)
atau
Jadi, atau .
Dari contoh diatas, dapat ditarik kesimpulan.
1. Diberikan persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna.
2. Ubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna
atau dengan
3. Selanjutnya diperoleh
Jadi,