Des 8 2012

Problem (18) : Kalkulus 2


soal dikirm via email

  1. integral tak tentu \int \frac{2}{x^2+3x+2} dx

    PEMBAHASAN :

    disini akan gunakan Integral Fungsi Rasional.

    \int \frac{2}{x^2+3x+2} dx = \int \frac{2}{(x+2)(x+1)} dx

    = \int (\frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1}) dx

    = \int \frac{A(x+1)+B(x+2)}{(x+2)(x+1)} dx

    = \int \frac{(A+B)x+(A+2B)}{(x+2)(x+1)} dx

    \int \frac{0x+2}{x^2+3x+2} dx = \int \frac{(A+B)x+(A+2B)}{(x+2)(x+1)} dx

    dari pembilang yang bersesuaian diperoleh

    A + B = 0

    A + 2B = 2 –

    B = 2

    A = -2

    \int (\frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1}) dx = \int -\frac{2}{x+2} dx + \int \frac{2}{x+1} dx

    = \int -\frac{2}{x+2} dx + \int \frac{2}{x+1} dx

    = -2 ln (x + 2) + 2 ln (x + 1) + C

  2. integral dari \int_5^6 x\sqrt{x-5} dx

    PEMBAHASAN :

    Integral Parsial

    misal : u = x \Rightarrow du = dx

    dv = (x – 5)1/2 dx \Rightarrow v = \frac{2}{3} (x – 5)3/2

    \int_5^6 x\sqrt{x-5} dx = x \frac{2}{3} (x – 5)3/2 – \int_5^6 \frac{2}{3} (x – 5)3/2 dx

    = [\frac{2}{3} x (x – 5)3/2 – \frac{4}{15} (x – 5)5/2] \mid_5^6

    = [\frac{2}{3} (6)(6 – 5)3/2 – \frac{4}{15} (6 – 5)5/2] – [\frac{2}{3} (5)(5 – 5)3/2 – \frac{4}{15} (5 – 5)5/2]

    = [4 – \frac{4}{15} ] – [0]

    = \frac{56}{15}

  3. titik pusat daerah yg dibatasi oleh kurva y = 4 – x2 dan y = 0

    PEMBAHASAN :

    cari dulu titik puncak parabolanya

    y’ = 0

    -2x = 0

    x = 0

    y = 4 – 02

    = 4

    koordinat titik puncak (0, 4)

    titik pusat = \frac{(x-h)^2}{-4(y-k)} dengan (h, k) adalah titik puncak

    = \frac{(x-0)^2}{-4(y-4)}

    = \frac{4-y}{-4(y-4)}

    = \frac{-(y-4)}{-4(y-4)}

    = 4

    Jadi titik pusatnya (0, 4)

    CATATAN :

    titik pusat = \frac{(x+h)^2}{4(y+k)} [untuk parabola yang buka ke kanan]

    titik pusat = \frac{(x+h)^2}{-4(y+k)} [untuk parabola yang buka ke kiri]

    titik pusat = \frac{(x-h)^2}{4(y-k)} [untuk parabola yang buka ke atas]

    titik pusat = \frac{(x-h)^2}{-4(y-k)} [untuk parabola yang buka ke bawah]

  4. nilai \int_0^1 \frac{4x-2}{3x^2-3x+9} dx

    PEMBAHASAN :

    Integral Substitusi

    misal u = 3x2 – 3x + 9 \Rightarrow du = 6x – 3 dx

    du = \frac{3}{2} (4x – 2) dx

    \frac{2}{3} du = (4x – 2) dx

    \int_0^1 \frac{4x-2}{3x^2-3x+9} dx = \int_0^1 \frac{1}{3x^2-3x+9} (4x – 2) dx

    = \int_0^1 \frac{1}{u} \frac{2}{3} du

    = \frac{2}{3} ln u \mid_0^1

    = \frac{2}{3} ln (3x2 – 3x + 9) \mid_0^1

    = \frac{2}{3} (ln (3.12 – 3.1 + 9) – ln (3.0 – 3.0 + 9))

    = \frac{2}{3} (ln (9) – ln (9))

    = 0

  5. integral tak tentu \int 2x cos x dx

    PEMBAHASAN :

    Integral Parsial

    misal : u = 2x \Rightarrow du = 2 dx

    dv = cos x dx \Rightarrow v = sin x

    \int 2x cos x dx = 2x sin x – \int sin x 2 dx

    = 2x sin x – 2 (- cos x) + C

    = 2x sin x + 2 cos x + C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

gunakan

Tinggalkan komentar