Agu 31 2012

Metode Newton-Raphson (Newton-Raphson Method)


Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Photobucket

Prosedur Metode Newton :

menentukan x_0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x_0). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu-x di titik x_1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_1 dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2, x_3, \ldots, x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson

persamaan garis l : y -y_0 = m(x- x_0)

y -f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)

x_1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu-x

0-f(x_0) = f'(x_0)(x -x_0)

y = 0 dan x = x_1 maka koordinat titik (x_1, 0)

-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} = (x_1-x_0)

x_1 = x_0- \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}

x_2 = x_1- \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}

.

.

.

x_n = x_{n-1}- \dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} untuk n = 1, 2, 3, …

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 4x^3-15x^2 + 17x-6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x^3-15x^2 + 17x-6

f'(x) = 12x^2-30x + 17

iterasi 1 :

ambil titik awal x0 = 3

f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35

x1 = 3 – \frac{18}{35} = 2.48571

iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x2 = 2.48571 – \frac{5.01019}{16.57388} = 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x3 = 2.18342 – \frac{1.24457}{8.70527} = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x4 = 2.04045 – \frac{0.21726}{5.74778} = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x5 = 2.00265 – \frac{0.01334}{5.04787} = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x6 = 2.00001 – \frac{0.00006}{5.00023} = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

n

x_n

f(x_n)

f'(x_n)

0

1

2

3

4

5

6

3

2.48571

2.18342

2.04045

2.00265

2.00001

2.00000

18

5.01019

1.24457

0.21726

0.01334

0.00006

0.00000

35

16.57388

8.70527

5.74778

5.04787

5.00023

5.00000

karena pada iterasi ketujuh f(x_6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.

53 comments on “Metode Newton-Raphson (Newton-Raphson Method)”

  5. Mas, cara mengetahui bahwa gradien m = turunan pertama f(x0) gimana ya? saya sudah coba coba nyari rumusnya tapi masih buntu dari pejelasan tentang m turun ertama f(x0).. mohon dibaals ya

    Balas

  6. Mau nanya ni pak :
    Bisa apa enggak ya jika ada persamaan seperti ini :
    x^2y^3+x^3y^5 = 0
    diselesaikan mnggunakan newton raphson?

    Balas

Tinggalkan komentar