Mar 6 2016

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)


Tulisan ini merupakan kelanjutan dari Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1) yaitu mencari persamaan garis  singgung lingkaran yang melalui suatu titik singgung. Tulisan kali ini merupakan bagaimana mencari persamaan garis singgung jika diketahui gradien garis singgung. Dalam hal ini memiliki dua kondisi seperti sebelumnya yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 apabila gradien garis singgung m diketahui. Sehingga diperoleh persamaan garis yaitu y = mx + n. Selanjutnya substitusi persamaan garis singgung ke persamaan lingkaran, diperoleh

x^2+(mx+n)^2=r^2

x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = r^2

(1+m^2)x^2 + 2mnx + (n^2-r^2) = 0

Karena garis menyinggung lingkaran maka D=0. Diperoleh

b^a-4ac = 0

(2mn)^2-4(1+m^2)(n^2-r^2) = 0

4m^2n^2-4(n^2-r^2+m^2n^2-m^2r^2) = 0

4m^2n^2-4n^2+4r^2-4m^2n^2+4m^2r^2 = 0

-4n^2+4r^2+4m^2r^2 = 0

4(m^2r^2-n^2+r^2) = 0

m^2r^2-n^2+r^2 = 0

n^2 = r^2+m^2r^2

n^2 = r^2(1+m^2)

n = \pm r\sqrt{1+m^2}

Selanjutnya substitusi n = \pm r\sqrt{1+m^2} ke persamaan garis singgung. Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran adalah

y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}

Perlu dicatat bahwa dalam hal ini, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = mx + r\sqrt{1+m^2} atau y = mx-r\sqrt{1+m^2}

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2 + y^2 = 16 jika diketahui gradien garis singgungnya adalah 3.

Dari persamaan lingkaran yang diketahui, ini berarti bahwa titik pusatnya adalah O(0,0) dan jari-jarinya adalah 4. Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}

= 3x \pm 4\sqrt{1+3^2}

= 3x \pm 4\sqrt{10}

Jadi, Pasaman garis singgung lingkaran adalah y = 3x + 4\sqrt{10} atau y = 3x-4\sqrt{10}. \square

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2 + y^2 = 9 jika garis singgungnya sejajar dengan garis 4x-3y+12=0.

Dari persamaan lingkaran yang diketahui, ini berarti bahwa titik pusatnya adalah O(0,0) dan jari-jarinya adalah 3. Selanjutnya dari persamaan garis 4x-3y+12=0, akan dicari gradien garisnya, yaitu 3y=4x+12

y=\dfrac{3}{4}x+3

Diperoleh m_1=\dfrac{3}{4}. Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan persamaan garis tersebut, berakibat gradien garis singgung lingkarannya adalah m_2=m_1=\dfrac{3}{4}. Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}

= \dfrac{3}{4}x \pm 3\sqrt{1+\left(\dfrac{3}{4} \right)^2}

= \dfrac{3}{4}x \pm 4\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}

= \dfrac{3}{4}x \pm 4\sqrt{\dfrac{25}{16}}

= \dfrac{3}{4}x \pm 4\dfrac{5}{4}

= \dfrac{3}{4}x \pm 5

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah y = \dfrac{3}{4}x + 5 atau y = \dfrac{3}{4}x-5. \square

2.   Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan jari-jari r

Persamaan garis singgung lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 apabila gradien garis singgung m diketahui. Sehingga diperoleh persamaan garis yaitu y = mx + n. Selanjutnya substitusi persamaan garis singgung ke persamaan lingkaran, diperoleh

(x-a)^2+((mx+n)-b)^2=r^2

x^2-2ax+a^2 + (mx+n)^2-2(mx+n)b+b^2 = r^2

x^2-2ax+a^2 + m^2x^2+2mnx+n^2-2bmx-2bn+b^2-r^2 = 0

(1+m^2)x^2-(2a-2mn+2bm)x + (a^2+n^2-2bn+b^2-r^2) = 0

(1+m^2)x^2-2(a-mn+bm)x + (a^2+n^2-2bn+b^2-r^2) = 0

Karena garis menyinggung lingkaran maka D=0. Diperoleh

b^2-4ac = 0

(-2(a-mn+bm))^2-4(1+m^2)(a^2+n^2-2bn+b^2-r^2) = 0

4(a-mn+bm)^2-4((1+m^2)a^2+(1+m^2)n^2-(1+m^2)2bn+(1+m^2)b^2-(1+m^2)r^2) = 0

(a-mn+bm)^2 -(1+m^2)a^2 -(1+m^2)n^2 + (1+m^2)2bn -(1+m^2)b^2 + (1+m^2)r^2 = 0

(a-mn)^2+2(a-mn)bm+b^2m^2 -(a^2+m^2a^2) -(n^2+m^2n^2) + (2bn+2bm^2n) -(b^2+m^2b^2) + (r^2+m^2r^2) = 0

a^2-2amn + m^2n^2 + 2abm- bm^2n + b^2m^2 -a^2 -m^2a^2 -n^2 -m^2n^2 + 2bn + 2bm^2n -b^2 -m^2b^2 + r^2 + m^2r^2 = 0

-2amn + 2abm -m^2a^2 -n^2 + 2bn -b^2 + r^2 + m^2r^2 = 0

2amn -2abm + m^2a^2 + n^2 -2bn + b^2 -r^2 -m^2r^2 = 0

2amn + n^2 -2bn + (m^2a^2-2amb + b^2) -r^2(1+m^2) = 0

2amn + n^2 -2bn + (ma-b)^2 -r^2(1+m^2) = 0

n^2 + 2(am-b)n + (am-b)^2 -r^2(1+m^2) = 0

(n + (am-b))^2 -r^2(1+m^2) = 0

(n + am-b)^2 = r^2(1 + m^2) = 0

n + am-b = \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)} = 0

n = b-am \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

Selanjutnya substitusi n = b-am \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)} ke persamaan garis singgung. Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran adalah

y = mx + b-am \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

(y-b) = m(x-a) \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

Perlu dicatat bahwa dalam hal ini, ada dua persamaan garis singgung, yaitu (y-b) = m(x-a) + \sqrt{r^2(1 + m^2)} atau (y-b) = m(x-a)-\sqrt{r^2(1 + m^2)}

Contoh 3.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2 + y^2-2x + 4y-4 = 0 yang sejajar dengan garis 5x-12y+15=0.

Pertama akan ditentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran. Perhatikan

x^2 + y^2-2x + 4y-4 = 0

(x^2-2x+1-1) + (y^2 + 4y+4-4)-4 = 0

(x-1)^2-1 + (y+2)-4-4 = 0

(x-1)^2 + (y+2) = 9

Jadi diperoleh titik pusat (a,b)=(1,-2) dan jari-jari adalah 3. Selanjutnya dari persamaan garis 5x-12y+15=0, akan dicari gradien garisnya, yaitu

12y=5x+15

y=\dfrac{5}{12}x+\dfrac{15}{12}

Diperoleh m_1=\dfrac{5}{12}. Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan persamaan garis tersebut, berakibat gradien garis singgung lingkarannya adalah m_2=m_1=\dfrac{5}{12}. Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

(y-b) = m(x-a) \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

(y+2) = \dfrac{5}{12}(x-1) \pm \sqrt{3^2\left(1 + \left(\dfrac{5}{12} \right)^2 \right)}

(y+2) = \dfrac{5}{12}(x-1) \pm \sqrt{3^2\left(1 + \dfrac{25}{144} \right)}

(y+2) = \dfrac{5}{12}(x-1) \pm \sqrt{3^2\left( \dfrac{169}{144} \right)}

(y+2) = \dfrac{5}{12}(x-1) \pm 3 \left( \dfrac{13}{12} \right)

12(y+2) = 5(x-1) \pm 39

12y + 24 = 5x-5 \pm 39

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah

12y + 24 = 5x-5 + 39

12y = 5x + 10

Atau

12y + 24 = 5x-5 -39

12y = 5x-68. \square

3 comments on “Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2)”

Tinggalkan komentar