Jul 27 2016

Determinan Matriks dengan Metode Inversi


Fungsi adalah pemetaan setiap anggota suatu himpunan (domain) ke anggota himpunan yang lain (kodomain). Dengan kata lain, tidak ada anggota domain yang tidak dipetakan ke anggota kodomain. Tetapi boleh jadi, ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dengan anggota domain. Seperti yang telah diketahui bahwa, ada beberapa jenis fungsi, yaitu Fungsi Injektif (Satu-Satu), Fungsi Serjektif (Pada) dan Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada).

Selanjutnya, pemetaan dari himpunan tak kosong A kedirinya sendiri dinamakan Permutasi. Lebih jauh, jika diberikan himpunan A = \{ 1, 2, \ldots , n \}, maka permutasi dapat ditulis sebagai

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \end{pmatrix}

Atau dapat ditulis juga sebagai \sigma = \{ i_1, i_2, \ldots , i_n \} dengan i_1, i_2, \ldots , i_n adalah n bilangan yang berbeda.

Misal diberikan n = 3, maka

S_3 = \{(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) \}

memuat enam permutasi. Catat bahwa (3,1,3) tidak termuat di permutasi S_3 karena entri-entrinya tidak berbeda semua. Sama halnya dengan (1,2,2) bukan merupakan anggota S_3. Secara umum, banyak anggota dari S_n adalah n! = n(n-1) \cdots 2 \cdot 1. Sebelum memasuki bagaimana menghitung determinan suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan definisi dari Inversi. Berikut definisinya,

Definisi 1.

Misal diberikan permutasi \sigma = (i_1, i_2, \ldots, l_n) \in S_n. Jika 1 \leq j < k \leq n dan i_j > i_k, maka i_j > i_k disebut inversi dari \sigma. Lebih jauh, untuk sebarang permutasi \sigma didefinisikan sign (tanda) dari \sigma, dinotasikan sgn(\sigma), sgn(\sigma) = +1 jika total jumlah inversi dari \sigma adalah genap dan sgn(\sigma) = -1 jika total jumlah inversi dari \sigma adalah ganjil. Lebih lanjut, jika sgn(\sigma) = +1, \sigma disebut permutasi genap dan sgn(\sigma) = -1, \sigma disebut permutasi ganjil.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Diberikan n=4, maka (1, 2, 4, 3), (4, 3, 2, 1) dan (4, 1, 3, 2) adalah anggota S_4. Perhatikan permutasi (1, 2, 4, 3), pada permutasi tersebut, hanya terdapat sebuah inversi, yaitu 4 > 3, sehingga diperoleh sgn(1, 2, 4, 3) = -1. Selanjutnya untuk permutasi (4, 3, 2, 1) terdapat enam buah inversi, yaitu 4 > 3, 4 > 2, 4 > 1, 3 > 2, 3 > 1, dan 2 > 1, sehingga diperoleh sgn(4, 3, 2, 1) = +1. Dan yang terakhir untuk permutasi (4, 1, 3, 2) terdapat empat buah inversi, yaitu 4 > 1, 4 > 3, 4 > 2, dan 3 > 2, sehingga diperoleh sgn(4, 1, 3, 2) = +1.

Selanjutnya akan diberikan definisi determinan. Pada definisi ini, untuk menghitung determinan, akan dimanfaatkan inversi.

Definisi 2.

Misal diberikan matriks A = (a_{ij}) yang berukuran n \times n. Didefinisikan determinan A, dinotasikan det(A), adalah sebagai berikut

det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) a_{1\sigma_{1}} a_{2\sigma_{2}} \cdots a_{n\sigma_{n}}

Contoh 3.

Diberikan matriks A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}. Tentukan rumus determinan A dengan metode inversi.

Karena S_2 hanya mempunyai dua permutasi, yaitu \sigma = (\sigma_1, \sigma_2) = (1,2) dan \alpha = (\alpha_1, \alpha_2) = (2,1). Lebih jauh, sgn(1,2) = +1 dan sgn(2,1) = -1. Sehingga diperoleh

det(A) = (+1)a_{1\sigma_1} a_{2\sigma_1} + (-1) a_{1\alpha_1} a_{2\alpha_2}

= (+1)a_{11} a_{22} + (-1) a_{12} a_{21}

= a_{11} a_{22} -a_{12} a_{21}

Contoh 4.

Diberikan matriks B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}.

Selanjutnya seperti yang diketahui bahwa S_3 mempunyai enam permutasi, yaitu

\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (1,2,3)

\beta = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (1,3,2)

\gamma = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = (2,3,1)

\delta = (\delta_1, \delta_2, \delta_3) = (2,1,3)

\epsilon = (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3) = (3,1,2)

\theta = (\theta_1, \theta_2, \theta_3) = (3,2,1)

Lebih jauh, diperoleh sgn(\alpha) = +1, sgn(\beta) = -1, sgn(\gamma) = +1, sgn(\delta) = -1, sgn(\epsilon) = +1, dan sgn(\theta) = -1. Selanjutnya, perhatikan

sgn(\alpha) b_{1\alpha_1} b_{2\alpha_2} b_{3\alpha_3} = (+1) b_{11} b_{22} b_{33}

sgn(\beta) b_{1\beta_1} b_{2\beta_2} b_{3\beta_3} = (-1) b_{11} b_{23} b_{32}

sgn(\gamma) b_{1\gamma_1} b_{2\gamma_2} b_{3\gamma_3} = (+1) b_{12} b_{23} b_{31}

sgn(\delta) b_{1\delta_1} b_{2\delta_2} b_{3\delta_3} = (-1) b_{12} b_{21} b_{33}

sgn(\epsilon) b_{1\epsilon_1} b_{2\epsilon_2} b_{3\epsilon_3} = (+1) b_{13} b_{21} b_{32}

sgn(\theta) b_{1\theta_1} b_{2\theta_2} b_{3\theta_3} = (-1) b_{13} b_{22} b_{31}

Berdasarkan definisi determinan di atas, didapat

det \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = b_{11} b_{22} b_{33} + b_{12} b_{23} b_{31} + b_{13} b_{21} b_{32}

-b_{11} b_{23} b_{32} -b_{12} b_{21} b_{33} -b_{13} b_{22} b_{31}

Rumus determinan untuk matriks 3 \times 3 akan lebih mudah menggunakan Metode Sarrus. Selanjutnya untuk matriks 4 \times 4, 5 \times 5, dan order yang lebih besar, dapat juga menggunkan Metode Inversi ini. Tetapi tentu akan sedikit lebih repot karena jumlah anggota permutasi untuk S_4 dan S_5 yang cukup besar, yaitu 4! = 24 dan 5! = 120. Selain mengunakan metode ini, dapat juga menggunakan Metode Kofaktor.

Tinggalkan komentar