Fungsi adalah pemetaan setiap anggota suatu himpunan (domain) ke anggota himpunan yang lain (kodomain). Dengan kata lain, tidak ada anggota domain yang tidak dipetakan ke anggota kodomain. Tetapi boleh jadi, ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dengan anggota domain. Seperti yang telah diketahui bahwa, ada beberapa jenis fungsi, yaitu Fungsi Injektif (Satu-Satu), Fungsi Serjektif (Pada) dan Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada).
Selanjutnya, pemetaan dari himpunan tak kosong kedirinya sendiri dinamakan Permutasi. Lebih jauh, jika diberikan himpunan
, maka permutasi dapat ditulis sebagai
Atau dapat ditulis juga sebagai dengan
adalah
bilangan yang berbeda.
Misal diberikan , maka
memuat enam permutasi. Catat bahwa tidak termuat di permutasi
karena entri-entrinya tidak berbeda semua. Sama halnya dengan
bukan merupakan anggota
. Secara umum, banyak anggota dari
adalah
. Sebelum memasuki bagaimana menghitung determinan suatu matriks, terlebih dahulu akan diberikan definisi dari Inversi. Berikut definisinya,
Definisi 1.
Misal diberikan permutasi . Jika
dan
, maka
disebut inversi dari
. Lebih jauh, untuk sebarang permutasi
didefinisikan sign (tanda) dari
, dinotasikan
,
jika total jumlah inversi dari
adalah genap dan
jika total jumlah inversi dari
adalah ganjil. Lebih lanjut, jika
,
disebut permutasi genap dan
,
disebut permutasi ganjil.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Diberikan , maka
,
dan
adalah anggota
. Perhatikan permutasi
, pada permutasi tersebut, hanya terdapat sebuah inversi, yaitu
, sehingga diperoleh
. Selanjutnya untuk permutasi
terdapat enam buah inversi, yaitu
,
,
,
,
, dan
, sehingga diperoleh
. Dan yang terakhir untuk permutasi
terdapat empat buah inversi, yaitu
,
,
, dan
, sehingga diperoleh
.
Selanjutnya akan diberikan definisi determinan. Pada definisi ini, untuk menghitung determinan, akan dimanfaatkan inversi.
Definisi 2.
Misal diberikan matriks yang berukuran
. Didefinisikan determinan
, dinotasikan
, adalah sebagai berikut
Contoh 3.
Diberikan matriks . Tentukan rumus determinan
dengan metode inversi.
Karena hanya mempunyai dua permutasi, yaitu
dan
. Lebih jauh,
dan
. Sehingga diperoleh
Contoh 4.
Diberikan matriks .
Selanjutnya seperti yang diketahui bahwa mempunyai enam permutasi, yaitu
Lebih jauh, diperoleh ,
,
,
,
, dan
. Selanjutnya, perhatikan
Berdasarkan definisi determinan di atas, didapat
Rumus determinan untuk matriks akan lebih mudah menggunakan Metode Sarrus. Selanjutnya untuk matriks
,
, dan order yang lebih besar, dapat juga menggunkan Metode Inversi ini. Tetapi tentu akan sedikit lebih repot karena jumlah anggota permutasi untuk
dan
yang cukup besar, yaitu
dan
. Selain mengunakan metode ini, dapat juga menggunakan Metode Kofaktor.