Grup dalam Rubik


Mungkin kalian sudah tahu bahwa terdapat hubungan antara rubik dan matematika, sebelumnya juga saya sudah posting tulisan sederhana tentang rubik dan matematika yaitu Matematika dan Rubik (1) dan Matematika dan Rubik (2). Tapi pada tulisan ini saya akan mencoba membuktikan bahwa kumpulan move pada rubik membentuk Grup (dalam tulisan ini adalah move rubik 2×2). Sebelumnya, akan diperkenalkan operasi dalam rubik. Secara umum, menurut definisi, grup memiliki operasi biner, misal dilambangkan oleh #. Tapi pada kasus rubik, operasi yang digunakan adalah ‘komposisi fungsi‘. Sebagian besar pada komposisi fungsi, jika ditulis M1 # M2 maka M2 digerakkan terlebih dahulu kemudian diikuti oleh M1, tapi pada diktat literatur standar Rubik’s Cube menyatakan bahwa jika ditulis M1 # M2 maka yang digerakkan terlebih dahulu adalah M1 kemudian diikuti oleh M2.

Sebelum lebih jauh, didefinisikan bahwa grup G adalah grup yang dibentuk oleh move M dalam rubik 2×2. Didefinisikan move M adalah kombinasi dari notasi-notasi dasar sebanyak berhingga atau dapat ditulis M = ai1 ai2 … ain-1 ain dengan 1 \leq i1, i2, i3, …, in \leq 4 dan a adalah notasi dasar rubik 2×2. Untuk membuktikan ini, kita punya teorema yang berbunyi.

Teorema

Jika G adalah himpunan semua move pada rubik 2×2, maka G membentuk grup.

Bukti :

Karena yang akan ditunjukkan bahwa sebarang move membentuk grup maka setiap move harus memenuhi ketiga sifat grup, yaitu assosiatif, terdapat identitas dan memiliki invers.

(i) Asosiatif

Akan dibuktikan (M1 # M2) # M3 = M1 # (M2 # M3) untuk M1, M2, M3 sebarang. Sama artinya apabila dibuktikan (C)[(M1 # M2) # M3] = (C)[M1 # (M2 # M3)] untuk C anggota corner sebarang. Ambil M1, M2, M3 є G sebarang dan C sebagai corner sebarang. Pandang (C)[(M1 # M2) # M3] = ((C)(M1 # M2))M3 = (((C)M1)M2)M3 dan pandang (C)[M1 # (M2 # M3)] = ((C)M1)(M2 #M3)= (((C)M1)M2)M3. Jadi, (M1 # M2) # M3 = M1 # (M2 # M3)

(ii) Identitas

Ambil e є G, dengan e sebagai identitas grup rubik yang dapat ditulis sebagai berikut e = a4 a4 … a4 a4 dan M є G sebarang move. Pandang e # M = a4 a4 … a4 a4 # ai1 ai2 … ain-1 ain, jika diperhatikan untuk a4 yang ke – n maka a4 # ai1 ai2 … ain-1 ain = ai1 ai2 … ain-1 ain, kemudian untuk a4 yang ke – n-1 maka a4 # ai1 ai2 … ain-1 ain = ai1 ai2 … ain-1 ain , demikian seterusnya dilakukan sampai a4 yang pertama sehingga e # M = ai1 ai2 … ain-1 ain = M. Dan dengan cara yangg sama berlaku juga untuk M # e = M. Jadi, M # e = e # M = M. Untuk selanjutnya e bisa ditulis menjadi e = a4.

(iii) Invers

Ambil M є G sebarang dan didefinisikan M’ = ajn ajn-1 … aj2 aj1 dan i + j = 4. Pandang M # M’ = e \Leftrightarrow ai1 ai2 … ain-1 ain # ajn ajn-1 … aj2 aj1 = a4 , perhatikan ain # ajn = a4 \Leftrightarrow ain + jn = a4 sehingga menjadi ai1 ai2 … ain-1 # a4 ajn-1 … aj2 aj1 = a4, karena a4 ajn-1 = a4 maka ai1 ai2 … ain-1 # ajn-1 … aj2 aj1 = a4 , selanjutnya perhatikan ain-1 # ajn-1 = a4 \Leftrightarrow ain-1 + jn-1 = a4 sehingga menjadi ai1 ai2 … ain-2 # a4 ajn-2 … aj2 aj1 = a4, karena a4 ajn-2 = ajn-2 maka ai1 ai2 … ain-2 # ajn-2 … aj2 aj1 = a4, demikian seterusnya proses tersebut diulang sampai n kali sehingga diperoleh M’ = ajn ajn-1 … aj2 aj1 dengan in + jn = 4 \Leftrightarrow jn = 4 – in , jn-1 = 4 – in -1 , jn-2 = 4 – in-2, …, j2 = 4 – i2, dan j1 = 4 – i1 sehingga dapat ditulis M # M’ = e. Dan dengan cara yang sama berlaku juga M’ # M = e. Jadi M # M’ = M’ # M = e dengan M’ adalah invers dari M.

Ketiga sifat grup terpenuhi \blacksquare

Selanjutnya, dari rubik 2×2, grup G juga merupakan grup permutasi. Menurut Teorema Fungsi bahwa fungsi memiliki invers jika dan hanya jika fungsinya bersifat satu-satu dan pada. Karena move rubik 2×2 merupakan grup G dan terjamin memiliki invers (Definisi Grup) maka move rubik 2×2 juga merupakan grup permutasi (Teorema Permutasi).

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s