Sifat Ruang Vektor

Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan $V$ ruang vektor atas lapangan $F$ dan misal $0_V$ adalah nol vektor. Maka

1. $a0_V = 0_v$ untuk setiap $a \in F$

2. $0x=0$ untuk setiap $x \in V$ dan $0 \in F$

3. $(-a)x = a(-x)$ untuk setiap $a \in F$ dan setiap $x \in V$

4. $a(x-y) = ax-ay$ untuk setiap $a \in F$ dan $x,y \in V$

5. Jika $ax=0_V$ maka $a=0$ atau $x=0_V$ dengan $a \in F$ dan $x \in V$

6. Jika $ax=bx$ maka $a=b$ untuk $a,b \in F$ dan vektor tak nol $x \in V$

7. Jika $ax=ay$ maka $x=y$ untuk $x,y \in V$ dan skalar tak nol $a \in F$

Bukti.

1. Ambil sebarang $a \in F$ . Perhatikan bahwa $a0_V = a(0_V+0_V)$ , berakibat $a0_V = a0_V+a0_V$ . Karena $a0_V \in V$ (pandang $V$ sebagai grup), maka terdapat $-a0_V \in V$ . Sehingga diperoleh

$-a0_V + a0_V = -a0_V + (a0_V + a0_V)$

$-a0_V + a0_V = (-a0_V + a0_V) + a0_V$

$0_V = 0_V + a0_V$

$0_V = a0_V$

2. Ambil sebarang $x \in V$ . Perhatikan bahwa $0x = (0+0)x$ , berakibat $0x = 0x+0x$ . Karena $0x \in V$ (pandang $V$ sebagai grup), maka terdapat $-0x \in V$ . Sehingga diperoleh

$-0x + 0x = -0x + (0x + 0x)$

$-0x + 0x = (-0x + 0x) + 0x$

$0_V = 0_V + 0x$

$0_V = 0x$

3. Dari 2 diperoleh

$0_V = 0x$

$= (a+(-a))x$

$= ax + (-a)x$

Karena $ax \in V$ , berakibat $-ax \in V$ . Diperoleh

$-ax+0x = -ax+(ax+(-ax))$

$-ax = (-ax+ax)+(-ax)$

$-ax = 0_V+(-ax) = -ax$

4. Dari 3, diperoleh

$a(x-y) = a(x+(-y))$

$= ax+a(-y)$

$= ax+(-ay)$

$= ax-ay$

5. Diketahui $ax=0$ . Jika $a \neq 0$ , maka terdapat $a^{-1} \in F$ . Diperoleh

$ax=0$

$a^{-1}(ax) = a^{-1}0$

$(a^{-1}a)x = 0$

$1x=0$

$x = 0$

6. Ambil sebarang $a,b \in F$ dan $x \in V$ tak nol. Perhatikan bahwa

$ax = bx$

$ax + (-bx) = bx + (-bx)$

$(a+(-b))x = (b+(-b))x$

$(a-b)x = 0_V$

Diperoleh bahwa $a-b=0$ atau $x=0_V$ . Karena $x$ vektor tak nol, maka haruslah $a-b=0$ . Oleh karena itu, $a=b$ .

7. Ambil sebarang $a \in F$ tak nol dan $x,y \in V$ . Perhatikan bahwa

$ax = ay$

$ax + (-ay) = ay + (-ay)$

$ax-ay = ay-ay$

$ax-ay = 0_V$

$a(x-y) = 0_V$

Diperoleh $a=0$ atau $x-y=0$ . Karena $a \neq 0$ , berakibat $x-y=0_V$ . Oleh karena itu, $x=y$ .

One comment on “Sifat Ruang Vektor”

Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

One comment on “Sifat Ruang Vektor”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan