Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.
Teorema 1.
Diberikan ruang vektor atas lapangan dan misal adalah nol vektor. Maka
1. untuk setiap
2. untuk setiap dan
3. untuk setiap dan setiap
4. untuk setiap dan
5. Jika maka atau dengan dan
6. Jika maka untuk dan vektor tak nol
7. Jika maka untuk dan skalar tak nol
Bukti.
1. Ambil sebarang . Perhatikan bahwa , berakibat . Karena (pandang sebagai grup), maka terdapat . Sehingga diperoleh
2. Ambil sebarang . Perhatikan bahwa , berakibat . Karena (pandang sebagai grup), maka terdapat . Sehingga diperoleh
3. Dari 2 diperoleh
Karena , berakibat . Diperoleh
4. Dari 3, diperoleh
5. Diketahui . Jika , maka terdapat . Diperoleh
6. Ambil sebarang dan tak nol. Perhatikan bahwa
Diperoleh bahwa atau . Karena vektor tak nol, maka haruslah . Oleh karena itu, .
7. Ambil sebarang tak nol dan . Perhatikan bahwa
Diperoleh atau . Karena , berakibat . Oleh karena itu, .
Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful