Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.
Teorema 1.
Diberikan ruang vektor atas lapangan
dan misal
adalah nol vektor. Maka
1. untuk setiap
2. untuk setiap
dan
3. untuk setiap
dan setiap
4. untuk setiap
dan
5. Jika maka
atau
dengan
dan
6. Jika maka
untuk
dan vektor tak nol
7. Jika maka
untuk
dan skalar tak nol
Bukti.
1. Ambil sebarang . Perhatikan bahwa
, berakibat
. Karena
(pandang
sebagai grup), maka terdapat
. Sehingga diperoleh
2. Ambil sebarang . Perhatikan bahwa
, berakibat
. Karena
(pandang
sebagai grup), maka terdapat
. Sehingga diperoleh
3. Dari 2 diperoleh
Karena , berakibat
. Diperoleh
4. Dari 3, diperoleh
5. Diketahui . Jika
, maka terdapat
. Diperoleh
6. Ambil sebarang dan
tak nol. Perhatikan bahwa
Diperoleh bahwa atau
. Karena
vektor tak nol, maka haruslah
. Oleh karena itu,
.
7. Ambil sebarang tak nol dan
. Perhatikan bahwa
Diperoleh atau
. Karena
, berakibat
. Oleh karena itu,
.
Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful