Sifat Ruang Vektor


Pada tulisan ini akan dibahas sebuah teorema ruang vektor, yaitu sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan V ruang vektor atas lapangan F dan misal 0_V adalah nol vektor. Maka

1.  a0_V = 0_v untuk setiap a \in F

2.  0x=0 untuk setiap x \in V dan 0 \in F

3.  (-a)x = a(-x) untuk setiap a \in F dan setiap x \in V

4.  a(x-y) = ax-ay untuk setiap a \in F dan x,y \in V

5.  Jika ax=0_V maka a=0 atau x=0_V dengan a \in F dan x \in V

6.  Jika ax=bx maka a=b untuk a,b \in F dan vektor tak nol x \in V

7.  Jika ax=ay maka x=y untuk x,y \in V dan skalar tak nol a \in F

Bukti.

1.  Ambil sebarang a \in F. Perhatikan bahwa a0_V = a(0_V+0_V), berakibat a0_V = a0_V+a0_V. Karena a0_V \in V (pandang V sebagai grup), maka terdapat -a0_V \in V. Sehingga diperoleh

-a0_V + a0_V = -a0_V + (a0_V + a0_V)

-a0_V + a0_V = (-a0_V + a0_V) + a0_V

0_V = 0_V + a0_V

0_V = a0_V

2.  Ambil sebarang x \in V. Perhatikan bahwa 0x = (0+0)x, berakibat 0x = 0x+0x. Karena 0x \in V (pandang V sebagai grup), maka terdapat -0x \in V. Sehingga diperoleh

-0x + 0x = -0x + (0x + 0x)

-0x + 0x = (-0x + 0x) + 0x

0_V = 0_V + 0x

0_V = 0x

3.  Dari 2 diperoleh

0_V = 0x

= (a+(-a))x

= ax + (-a)x

Karena ax \in V, berakibat -ax \in V. Diperoleh

-ax+0x = -ax+(ax+(-ax))

-ax = (-ax+ax)+(-ax)

-ax = 0_V+(-ax) = -ax

4.  Dari 3, diperoleh

a(x-y) = a(x+(-y))

= ax+a(-y)

= ax+(-ay)

= ax-ay

5.  Diketahui ax=0. Jika a \neq 0, maka terdapat a^{-1} \in F. Diperoleh

ax=0

a^{-1}(ax) = a^{-1}0

(a^{-1}a)x = 0

1x=0

x = 0

6.  Ambil sebarang a,b \in F dan x \in V tak nol. Perhatikan bahwa

ax = bx

ax + (-bx) = bx + (-bx)

(a+(-b))x = (b+(-b))x

(a-b)x = 0_V

Diperoleh bahwa a-b=0 atau x=0_V. Karena x vektor tak nol, maka haruslah a-b=0. Oleh karena itu, a=b.

7.  Ambil sebarang a \in F tak nol dan x,y \in V. Perhatikan bahwa

ax = ay

ax + (-ay) = ay + (-ay)

ax-ay = ay-ay

ax-ay = 0_V

a(x-y) = 0_V

Diperoleh a=0 atau x-y=0. Karena a \neq 0, berakibat x-y=0_V. Oleh karena itu, x=y.

One comment on “Sifat Ruang Vektor

  1. Ping-balik: Subruang Vektor | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s