Feb 19 2016

Homomorfisma Grup


Pada tulisan ini akan berfokus pada pemetaan antar grup. Pemetaan ini akan didefinisikan dengan mempertahankan (mengawetkan) struktur aljabar yaitu grup. Lebih jauh, misal diberikan fungsi f dari grup G ke grup G_1 dengan * dan *_1 merupakan operasi pada G dan G_1.

Sebagai contoh, diberikan fungsi f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ yang didefinisikan f(a) = e^a untuk setiap a \in \mathbb{R}. Perhatikan, ambil sebarang a,b \in \mathbb{R}

f(a+b) = e^{a+b} = e^a \cdot e^b = f(a) \cdot f(b)

Jadi, f(a+b) = f(a) \cdot f(b).

Contoh tersebut merupakan motivasi dari definisi homomorfisma grup.

Definisi 1.

Diberikan grup (G,*) dan (G_1,*_1) serta f fungsi dari G ke G_1. Maka f disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b \in G, berlaku

f(a*b) = f(a) *_1 f(b)

Identitas pada grup G dan G_1 berturut-turut dinotasikan dengan e dan e_1.

Setiap pemetaan dari grup G dan G_1 pasti dapat ditemukan homomorfisma. Karena setiap grup pasti memiliki elemen identitas maka G_1 identitasnya e_1. Definisikan f : G \to G_1 dengan f(a)=e_1 untuk semua a \in G. Perhatikan,

f(a*b) = e_1 = e_1 *_1 e_1 = f(a) *_1 f(b)

Jadi, f merupakan homomorfisma dari G ke G_1.

Contoh 2.

Didefinisikan fungsi f dari (\mathbb{Z},+) ke \mathbb{Z}_n,+_n) oleh f(a)=[a] untuk setiap a \in \mathbb{Z}. Apakah f homomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in \mathbb{Z}, berakibat

f(a+b) = [a+b] = [a]+_n[b] = f(a) +_n f(b).

Jadi, f homomorfisma. \square

Contoh 3.

Diberikan pemetaan  f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} dengan definisi f(a) = 2a+3. Apakah f homomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa

f(a+b) = 2(a+b)+3 = 2a+2b+3

Di lain pihak,

f(a)+f(b) = 2a+3+2b+3 = 2a+2b+6

Diperoleh f(a+b) \neq f(a)+f(b). Jadi, f bukan homomorfisma grup. \square

Teorema 4.

Diberikan grup G. Misal f homomorfisma dari G ke G_1. Maka

1.  f(e)=e_1

2.  f(a^{-1})=f(a)^{-1} untuk setiap a \in G

3.  Jika H subgrup G maka f(H)=\{ f(h)|h \in H \} subgrup G_1

4.  Jika H_1 subgrup G_1 maka f^{-1}(H_1) = \{ g \in G|f(g) \in H_1 \} merupakan subgrup G dan jika H_1 subgrup normal dari G_1 maka f^{-1}(H) subgrup normal dari G

5.   Jika G grup komutatif maka f(G) komutatif

Bukti.

1.   Karena f homomorfisma berakibat

f(e)f(e) = f(ee) = f(e) = f(e)e_1

Karena f(e) \in G_1 dan G_1 grup, maka terdapat f(e)^{-1}. Selanjutnya dengan mengalikan kedua ruas, diperoleh

f(e)^{-1}f(e)f(e) = f(e)^{-1}f(e)e_1

f(e) = e_1

Jadi, f(e) = e_1

2.   Diambil sebarang a \in G. Akan dibuktikan f(a^{-1}) = f(a)^{-1} atau ekuivalen dengan membuktikan f(a)f(a^{-1}) = e_1 = f(a^{-1})f(a). Perhatikan

f(a)f(a^{-1}) = f(aa^{-1}) = f(e) = e_1

Dengan cara yang sama diperoleh f(a^{-1})f(a) = e_1. Karena invers setiap elemen pada grup adalah tunggal, berakibat f(a^{-1}) = f(a)^{-1}.

3.   Misal H subgrup G. Pilih e \in H dan berdasarkan 1 diperoleh f(e)=e_1. Oleh karena itu, e_1 = f(e) \in f(H). Jadi, f(H) \neq \emptyset. Ambil sebarang f(a),f(b) \in f(H). Perhatikan

f(a)f(b)^{-1} = f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1})

Karena a,b \in H dan H subgrup, maka ab^{-1} \in H. Oleh karena itu, f(a)f(b)^{-1} \in f(H). Jadi, f(H) subgrup G_1.

4.   Perhatikan bahwa f(e)=e_1, dengan kata lain e \in f^{-1}(H_1). Jadi, f^{-1}(H_1) \neq \emptyset. Akan dibuktikan f^{-1}(H_1) subrgup. Ambil sebarang a,b \in f^{-1}(H_1), maka f(a),f(b) \in H_1. Perhatikan bahwa

f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} \in H_1

Sehingga diperoleh ab^{-1} \in f^{-1}(H_1). Jadi, f^{-1}(H) subgrup.

Selanjutnya akan dibuktikan f^{-1}(H_1) subgrup normal. Diketahui H_1 subgrup normal G_1. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gf^{-1}(H_1)g^{-1} \subseteq f^{-1}(H_1). Ambil sebarang a \in gf^{-1}(H_1)g^{-1}, artinya a = gbg^{-1} untuk suatu b \in f^{-1}(H_1). Perhatikan bahwa

f(a) = f(gbg^{-1})

= f(g)f(b)f(g^{-1})

= f(g)f(b)f(g)^{-1}

Karena H_1 subgrup normal G_1 dan f(b) \in H_1, berakibat f(g)f(b)f(g)^{-1} \in H_1 atau f(a) \in H_1. Oleh karena itu a \in f^{-1}(H_1). Jadi, gf^{-1}(H_1)g^{-1} \subseteq f^{-1}(H_1). Dengan kata lain, f^{-1}(H_1) subgrup normal G.

5.   Diketahui G komutatif. Akan dibuktikan f(G) komutatif. Ambil sebarang a,b \in G. Diperoleh

f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a)

\blacksquare

3 comments on “Homomorfisma Grup”

  1. Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Isomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan komentar