Pembuktian Rumus Luas Elips


Sudah tahu kan apa itu elips ? Elips adalah bangun datar bentuk khusus dari lingkaran. Jika lingkaran memiliki jarak yang yang sama dari titik pusat ke sisi lingkarannya, tidak demikian dengan Elips karena elips merupakan gambar yang menyerupai lingkaran yang salah satu jari-jarinya telah dipanjangkan ke satu arah (sumbu-x atau sumbu-y). Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut. Untuk membuktikan Rumus Luas Elips ini akan digunakan integral mencari luas dibawah kurva yaitu seperti Pembuktian Rumus Luas Lingkaran pada tulisan saya sebelumnya.

Photobucket

Sebelumnya kita sudah punya persamaan elips secara umum yaitu \frac{x^2}{r_1^2} + \frac{y^2}{r_2^2} = 1

1 – \frac{x^2}{r_1^2} = \frac{y^2}{r_2^2}

r_2^2\frac{x^2}{r_1^2}r_2^2 = y^2

\pm \sqrt{r_2^2-(\frac{r_2}{r_1}x)^2} = y

Perhatikan gambar dibawah ini

Photobucket

Dari gambar diatas, kita peoleh persamaan-persamaan dibawah ini.

cos \theta = \frac{\sqrt{r_2^2-(\frac{r_2}{r_1}x)^2}}{r_2}

r2 cos \theta = \sqrt{r_2^2-(\frac{r_2}{r_1}x)^2}

sin \theta = \frac{r_2.x}{r_1}.\frac{1}{r_2}

sin \theta = \frac{x}{r_1} [turunin kedua ruas]

cos \theta d\theta = \frac{1}{r_1} dx

r1 cos \theta d\theta = dx

\theta = sin-1 \frac{x}{r_1}

sekarang pandang Luas Elips = 4 x luas dibawah kurva [kuadran I], karena kita hanya memandang kuadran I, maka kita akan gunakan batas bawah dan batas atas berturut-turut 0 dan r1.

Luas = 4 \int_0^{r_1} \sqrt{(\frac{r_2}{r_1}x)^2-r_2^2} dx

= 4 \int_0^{r_1} r1 cos \theta r2 cos \theta d\theta

= 4.r1.r2 \int_0^{r_1} cos2 \theta d\theta

= 2.r1.r2 \int_0^{r_1} (cos 2\theta + 1) d\theta

= 2.r1.r2 [\frac{1}{2} sin 2\theta + \theta] \mid_0^{r_1}

= 2.r1.r2 [sin \theta cos \theta + \theta] \mid_0^{r_1}

= 2.r1.r2 [\frac{x}{r_1}.\frac{\sqrt{(\frac{r_2}{r_1}x)^2-r_2^2}}{r_2} + sin-1(\frac{x}{r_1}) ] \mid_0^{r_1}

= 2.r1.r2 [(\frac{r_1}{r_1}.\frac{\sqrt{(\frac{r_2}{r_1}r_1)^2-r_2^2}}{r_2} + sin-1(\frac{r_1}{r_1}) ) - (\frac{0}{r_1}.\frac{\sqrt{(\frac{r_2}{r_1}0)^2-r_2^2}}{r_2} + sin-1(\frac{0}{r_1}) )]

= 2.r1.r2 [(1.0 + sin-1(1)) - (0.(-1) + sin-1(0))]

= 2.r1.r2 [(0 + \frac{\pi}{2} ) - (0 + 0)]

= \pi.r1.r2

About these ads

6 comments on “Pembuktian Rumus Luas Elips

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s