Jul 6 2012

Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA


  1. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

    A. Rp. 20.000.000,00

    B. Rp. 25.312.500,00

    C. Rp. 33.750.000,00

    D. Rp. 35.000.000,00

    E. Rp. 45.000.000,00

    PEMBAHASAN :

    Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

    Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000

    u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

    JAWABAN : C

  2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

    A. 65m

    B. 70m

    C. 75m

    D. 77m

    E. 80m

    PEMBAHASAN :

    Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

    Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

    Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

    Pantulan pertama = 10 x 3/4 = 30/4 m (suku pertama)

    S_\infty = \frac{a}{1-r}

        = \frac{\frac{30}{4}}{1-\frac{3}{4}}

        = \frac{\frac{30}{4}}{\frac{1}{4}} = 30

    P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

    JAWABAN : B

  3. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

    A. 378

    B. 390

    C. 570

    D. 762

    E. 1.530

    PEMBAHASAN :

    u1 = a = 6

    u7 = ar6 = 384

    6.r6 = 384

    r6 = 64 => r = 2

    Sn = \frac{a(r^n-1)}{r-1}

    S7 = \frac{6(2^7-1)}{2-1}

       = \frac{6(128-1)}{2-1} = 762

    JAWABAN : D

  4. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

    A. 100

    B. 125

    C. 200

    D. 225

    E. 250

    PEMBAHASAN :

    Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

    Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

    Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

    Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)

    S_\infty = \frac{a}{1-r}

        = \frac{20}{1-\frac{4}{5}}

        = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100

    P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

    JAWABAN : D

  5. Jumlah deret geometri tak hingga \sqrt{2} + 1 + \frac{1}{2} \sqrt{2} + 1/2 + … = …

    A. 2/3 (\sqrt{2} + 1)

    B. 3/2 (\sqrt{2} + 1)

    C. 2 (\sqrt{2} + 1)

    D. 3 (\sqrt{2} + 1)

    E. 4 (\sqrt{2} + 1)

    PEMBAHASAN :

    r = u2 / u1 = 1 / \sqrt{2} = 1/2 \sqrt{2}

    S_{\infty} = \frac{a}{1-r}

        = \frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}}

        = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

    S_{\infty} = \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} x \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}

        = \frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}

        = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{2}

        = 2\sqrt{2} + 1

    JAWABAN : C

  6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

    A. 7/4

    B. 3/4

    C. 4/7

    D. 1/2

    E. 1/4

    PEMBAHASAN :

    Deret geometri    :     a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

    Perhatikan suku genap dan ganjilnya, dimana pada suku-suku genap, suku pertamanya adalah ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya adalah ar, dengan rasionya adalah r2.

    S_{\infty} = \frac{a}{1-r}

      7 = \frac{a}{1-r}

    7(1 – r) = a … (i)

    Berdasarkan rumus jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita memperoleh rumus deret geometri takhingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“.

    Sgenap = \frac{ar}{1-r^2}

        3 = \frac{ar}{1-r^2}

    3(1 – r2) = ar … (ii)

    Substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh :

    3(1 – r2) = (7(1 – r))r

    3 – 3r2 = 7r – 7r2

    4r2 – 7r + 3 = 0

    (4r-3)(r-1) = 0

    r = 3/4 atau r = 1

    substitusi nilai “r” tersebut ke persamaan (i), sehingga diperoleh :

    untuk r = ¾

          a = 7(1 – r) = 7(1 – 3/4) = 7/4

    untuk r = 1

          a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

    JAWABAN : A

  7. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah … orang.

    A. 324

    B. 486

    C. 648

    D. 1.458

    E. 4.374

    PEMBAHASAN :

    tahun 1996 => u1 = a = 6

    tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

    6.r2 = 54

    r2 = 9 => r = 3

    tahun 2001 => u6 = ar5

              6.(3)5 = 1.458

    JAWABAN : D

  8. Diketahui barisan geometri dengan u1 = x3/4 dan u4 = x\sqrt{x}. Rasio barisan geometri tesebut adalah …

    A. x2.\sqrt[4]{x}

    B. x2

    C. x1/4

    D. \sqrt{x}

    E. \sqrt[3]{x}

    PEMBAHASAN :

    u_4 = x \sqrt{x} = x^{3/2}

    \dfrac{u_4}{u_1} = \dfrac{x^{3/2}}{x^{3/4}} = x^{3/2-3/4} = x^{3/4}

    r^3 = x^{3/4} \Rightarrow r = x^{1/4}

    JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

63 comments on “Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMA”

  1. Terimakasih,
    Sangat bermanfaat.
    Mengingat kembali cara dasar menghitung lintasan bola yang memantul. Biasanya pakai cara cepat.

    Btw, ada channel youtubenya gak ya?

    Balas

Tinggalkan Balasan ke budi sampurno Batalkan balasan