Agu 1 2012

Pembahasan Soal Turunan UN SMA (3)


  1. Jika f(x) = \sqrt{1+x^2}, maka \dfrac{d}{dx} (f(\sin x)) = \ldots

    A. \dfrac{\sin x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

    B. \dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

    C. \dfrac{\sin x}{2\sqrt{1+\sin^2x}}

    D. \dfrac{\sin 2x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

    E. \dfrac{\sin x.\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}

    PEMBAHASAN :

    f(x) = \sqrt{1+x^2}

    f(\sin x) = \sqrt{1+\sin^2x}

    \dfrac{d}{dx} (f(\sin x)) = \dfrac{1}{2} (1 + \sin^2 x)^{-1/2} 2 \sin x \cos x

    = \dfrac{2.\sin x.\cos x}{2\sqrt{1+\sin^2 x}}

    = \dfrac{\sin 2x}{2\sqrt{1+\sin^2 x}}

    INGAT : \sin 2x = 2 \sin x \cos x

    JAWABAN : D

  2. Turunan pertama fungsi f(x) = (6x – 3)3 (2x – 1) adalah f‘(x). Nilai dari f‘(1) = …

    A. 18

    B. 24

    C. 54

    D. 162

    E. 216

    PEMBAHASAN :

    misal : u(x) = (6x – 3)3 \Rightarrow u'(x) = 3(6x – 3)2(6)

    v(x) = (2x – 1) \Rightarrow v'(x) = 2

    f'(x) = u’v + uv’

    = (3(6x – 3)2(6))(2x – 1) + (6x – 3)3(2)

    = 18(6x – 3)2(2x – 1) + (6x – 3)3(2)

    f'(1) = 18(6(1) – 3)2(2(1) – 1) + (6(1) – 3)3(2)

    = 18(3)2(1) + (3)3(2)

    = 18(9) + (27)(2)

    = 162 + 54

    = 216

    JAWABAN : E

  3. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f‘(x) = …

    A. 6 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

    B. 3 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

    C. –2 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

    D. –6 sin2 (3 – 2x) cos (6 – 4x)

    E. –3 sin2 (3 – 2x) sin (6 – 4x)

    PEMBAHASAN :

    f(x) = sin3 (3 – 2x)

    f'(x) = 3 sin2 (3 – 2x).cos (3 – 2x).(-2)

    = -3 sin (3 – 2x) (2 sin (3 – 2x) cos (3 – 2x))

    = -3 sin (3 – 2x) sin (2(3 -2x))

    = -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)

    JAWABAN :

  4. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm3. Luas tabung akan maksimum jika jari – jari tabung adalah … cm.

    A. \dfrac{8}{(\sqrt[3]{\pi})^2}

    B. \dfrac{4}{\pi}\sqrt[3]{\pi^2}

    C. \dfrac{16}{\pi}\sqrt[3]{\pi^2}

    D. \dfrac{8}{\pi}\sqrt[3]{\pi^2}

    E. \dfrac{8}{\pi}\sqrt[3]{3\pi^2}

    PEMBAHASAN :

    misal kita anggap tinggi tabung adalah t dan jari-jarinya adalah r.

    Volume = Luas alas x tinggi

    512 = \pir2t

    512/\pir2 = t

    Karena yang diminta dalam soal adalah jari-jari lingkaran, maka kita buat persamaan dalam variable r.

    Luas tabung tanpa tutup = Luas alas + luas selimut

    = Luas alas + (keliling lingkaran x t)

    = \pi r^2 + 2 \pi rt

    V(x) = \pi r^2 + 2\pi r \dfrac{512}{\pi r^2}

    = \pi r^2 + \dfrac{1024}{r}

    Agar volume kotak maksimum maka :

    V'(x) = 0

    2 \pi r- \frac{1024}{r^2} = 0

    2 \pi r = \dfrac{1024}{r^2}

    r^3 = \dfrac{512}{\pi}

    = \dfrac{(2.2.2.2.2.2.2.2.2)}{\pi}

    = \dfrac{(2^3.2^3.2^3)}{\pi}

    r = \dfrac{8}{\sqrt[3]{\pi}}

    = \dfrac{8}{\sqrt[3]{\pi}} \times \dfrac{\sqrt[3]{\pi^2}}{\sqrt[3]{\pi^2}}

    = \dfrac{8}{\pi} \sqrt[3]{\pi^2}

    JAWABAN : D

  5. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x2 – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah …

    A. – 12

    B. – 4

    C. – 2

    D. 2

    E. 4

    PEMBAHASAN :

    misal garis l = ax + by + c = 0 (gradiennya = m1)

    x + 3y + 12 = 0

    3y = -x – 12

    y = (-x – 12)/3

    jadi gradiennya adalah m2 = -1/3

    karena garis l tegak lurus dengan persamaan x + 3y + 12 = 0 maka

    m1.m2 = -1

    m1(-1/3) = -1

    m1 = 3

    y(x) = x2 – x – 6

    m1 = y'(x) = 2x – 1

    3 = 2x – 1

    4 = 2x

    2 = x

    Untuk mencari nilai ordinatnya, substitusi nilai “x = 2” ke persamaan kurva sehingga :

    y(2) = (2)2 – 2 – 6

    = 4 – 2 – 6

    = -4

    JAWABAN : B

  6. Persamaan garis singgung kurva y = x\sqrt{2x} di titik pada kurva dengan absis 2 adalah …

    A. y = 3x – 2

    B. y = 3x + 2

    C. y = 3x – 1

    D. y = –3x + 2

    E. y = –3x + 1

    PEMBAHASAN :

    y(x) = x\sqrt{2x} = (2x3)1/2 = (21/2)(x3/2)

    m = y'(x) = (21/2)(3/2x1/2)

    m = (21/2)((3/2)(2)1/2)

    = 2(3/2)

    = 3

    Untuk memperoleh y1 maka kita substitusi nilai absis (x1 = 2) ke persamaan di soal sehingga diperoleh y1 = 2\sqrt{2(2)} = 4

    Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1)

    (y – 4) = 3 (x – 2)

    (y – 4) = 3x – 6

    y = 3x – 2

    JAWABAN : A

  7. Fungsi y = 4x3 – 6x2 + 2 naik pada interval …

    A. x 1

    B. x > 1

    C. x < 1

    D. x < 0

    E. 0 < x < 1

    PEMBAHASAN :

    y'(x) > 0

    12x2 – 12x > 0

    12x(x – 1) > 0

    x = 0 atau x = 1

    berdasarkan garis bilangan, maka HP nya adalah x 1

    JAWABAN : A

  8. Nilai maksimum fungsi f(x) = x3 + 3x2 – 9x dalam interval -3 \leq x \leq 2 adalah …

    A. 25

    B. 27

    C. 29

    D. 31

    E. 33

    PEMBAHASAN :

    NOTE : untuk mencari nilai maksimum atau minimum, kita harus mencari titik extrimnya (f'(x) = 0) dan mensubstitusi titik ekstrim dan titik ujung-ujung interval ke persamaan fungsinya.

    f'(x) = 0

    3x2 + 6x – 9 = 0

    3(x2 + 2x – 3) = 0

    3(x + 3)(x – 1) = 0

    x = -3 atau x = 1

    Substitusi nilai x ke persamaan fungsi :

    untuk x = -3

    f(-3) = (-3)3 + 3(-3)2 – 9(-3)

    = -27 + 27 + 27

    = 27 (maksimum)

    untuk x = 1

    f(x) = (1)3 + 3(1)2 – 9(1)

    = 1 + 3 – 9

    = -5

    untuk x = 2

    f(x) = (2)3 + 3(2)2 – 9(2)

    = 8 + 12 – 18

    = 2

    JAWABAN : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

6 comments on “Pembahasan Soal Turunan UN SMA (3)”

Tinggalkan komentar