Jul 2 2012

Pembahasan Soal Turunan SPMB/SNMPTN


  1. Grafik y = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 turun untuk x yang memenuhi …

    A. x > 2

    B. –1 < x < 2

    C. –3 < x < –1

    D. x < –1 atau x > 2

    E. x < –3 atau x > 1

    PEMBAHASAN :

    fungsi turun artinya y’ < 0

    y’ = 6x2 – 6x – 12 < 0

      6(x2 – x – 2) = 0

      (x – 2)(x + 1) = 0

      x = 2 atau x = -1

    dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh –1 < x < 2

    JAWABAN : B

  2. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah …

    A. 10 meter dan 90 meter

    B. 15 meter dan 85 meter

    C. 25 meter dan 75 meter

    D. 40 meter dan 60 meter

    E. 50 meter dan 50 meter

    PEMBAHASAN :

    misal panjang salah satu rusuknya adalah tinggi balok yaitu 25m

    Panjang rusuk balok = 4(p + l + t)

                    500 = 4(p + l + 25)

               125 – 25 = p + l

                      P = 100 – l

    Volume balok = p x l x t

                 = (100 – l) x l x 25

            V(l) = 2500(l) – (25)l2

    Karena diketahui bahwa volume balok maksimum, maka dari persamaan di atas kita turunkan dan turunan pertamanya sama dengan nol.

    V'(l) = 2500 – 50(l)

        0 = 2500 – 50(l) \Rightarrow l = 50m

    Jadi : p = 50m, l = 50m dan t = 25m

    JAWABAN : E

  3. Jumlah dua bilangan p dan q adalah 6. Nilai minimum dari 2p2 + q2 = …

    A. 12

    B. 18

    C. 20

    D. 24

    E. 32

    PEMBAHASAN :

    p + q = 6 \Rightarrow p = 6 – q

    2p2 + q2 = 2(6 – q)2 + q2

            = 72 – 24q + 2q2 + q2

       f(q) = 72 – 24q + 3q2

      f'(q) = – 24 + 6q = 0

       q = 4 \Rightarrow p = 2

    jadi, 2p2 + q2 = 2(2)2 + (4)2 = 8 + 16 = 24

    JAWABAN : D

  4. Garis singgung pada kurva y = \frac{2x+1}{2-3x} di titik (1, –3) adalah …

    A. y + 7x – 10 = 0

    B. y – 7x + 10 = 0

    C. 7y + x + 20 = 0

    D. 7y – x – 20 = 0

    E. 7y – x + 20 = 0

    PEMBAHASAN :

    Persamaan garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)

    (x1, y1) sudah diketahui yaitu (1, –3), jadi kita tinggal mencari m atao gradient, dimana gradient adalah turunan pertama dari fungsi. Karena fungsi dalam soal tersebut berbentuk pecahan , berarti kita mencari turunan tersebut menggunakan rumus seperti ini : y’ = \frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^2} .

    misal :

    u(x) = 2x + 1 \Rightarrow u'(x) = 2

    v(x) = 2 – 3x \Rightarrow v'(x) = -3

    y'(x) = \frac{(2)(2-3x) - (-3)(2x+1)}{(2-3x)^2}

          = \frac{4 - 6x + 6x + 3}{(2-3x)^2}

          = \frac{7}{(2-3x)^2}

    Kemudian subsitusi nilai x1 = 1

    y'(x1) = m = \frac{7}{(2-3(1))^2} = 7

    (y – (-3)) = 7(x – 1)

    y + 3 = 7x – 7

    y – 7x + 10 = 0

    JAWABAN : B

  5. Jika fungsi f(x) = cos ax + sin bx memenuhi f'(0) = b dan f'(\frac{\pi}{2})=-1, maka a + b = …

    A. -1

    B. 0

    C. 1

    D. 2

    E. 3

    PEMBAHASAN :

    f'(x) = – a sin ax + b cos bx

    f'(0) = – a sin a(0) + b cos b(0) = b

    kemungkinan untuk nilai a dan b nya adalah 0,1,2,dan 3.

    f'(\frac{\pi}{2}) = – a sin a(\frac{\pi}{2}) + b cos b(\frac{\pi}{2}) = – a sin a(\frac{\pi}{2}) + 0 = -1

    dari hasil diatas, kemungkinan untuk nilai a yang memenuhi hanya a = 1. Karena b cos b(\frac{\pi}{2}) = 0, maka nilai b yang memenuhi hanya 1 dan 3 (cos 1(\frac{\pi}{2}) dan cos 3(\frac{\pi}{2}).

    Jadi a + b = 1 + 1 = 2 atau a + b = 1 + 3 = 4 (tidak ada dalam pilihan ganda)

    JAWABAN : D

  6. Fungsi f(x) = \frac{x^2+3}{x-1} , turun untuk nilai x yang memenuhi …

    A. –3 < x < –1

    B. –3 < x < 1 atau x > 1

    C. –1 < x < 1 atau 1 < x < 3

    D. x < –3 atau x > 1

    E. x < –1 atau x > 4

    PEMBAHASAN :

    Fungsi f(x) akan turun jika f'(x) < 0

    misal :

    u(x) = x2 + 3 \Rightarrow u'(x) = 2x

    v(x) = x – 1 \Rightarrow v'(x) = 1

    f'(x) = \frac{u'v-v'u}{v^2} < 0

    \frac{2x(x - 1) - 1(x^2+3)}{( x - 1)^2} < 0

    \frac{(2x^2 - 2x) - x^2 - 3}{( x - 1)^2} < 0

    \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} < 0

    Pembilang : x2 – 2x – 3 > 0 \Rightarrow (x – 3)(x + 1)= 0 \Rightarrow x = 3 atau x = -1

    Penyebut : (x – 1)2 = 0 \Rightarrow x1,2 = 1

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka x yang memenuhi adalah –1 < x < 1 atau 1 < x < 3

    JAWABAN : C

  7. Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75. Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah …

    A. 50

    B. 75

    C. 175

    D. 250

    E. 350

    PEMBAHASAN :

    misal x = bilangan pertama dan y = bilangan kedua

    x + y2 = 75 \Rightarrow x = 75 – y2

    hasil kali f(y) = x \cdot y

                    = (75 – y2)y

                    = 75y – y3

    f'(y) = 75 – 3y2 = 0

    y2 = 25 \Rightarrow y = 5

    x = 75 – y2 = 75 – (5)2 = 50

    jadi x \cdot y = 50 \cdot 5 = 250

    JAWABAN : D

  8. Persamaan garis singgung pada kurva y = x + 3/x di titik yang absisnya 1 adalah …

    A. 2x – y + 2 = 0

    B. 2x + y – 6 = 0

    C. 4x – y = 0

    D. –2x + y – 2 = 0

    E. –4x – y + 6 = 0

    PEMBAHASAN :

    Subsitusi titik x = 1 untuk mencari nilai y :

    y = (1) + 3/1 = 4

    jadi (x1, y1) = (1, 4)

    y’ = 1 – 3/x2

    subsitusi x = 1 sehingga diperoleh y’ = m = -2

    Persamaan garis singgung : (y – y1) = m(x – x1)

    (y – 4) = -2(x – 1)

    y – 4 = -2x + 2

    -2x – y + 6 = 0 atau 2x + y – 6 = 0

    JAWABAN : B

  9. Grafik fungsi f(x) = x\sqrt{x-2} naik untuk nilai x yang memenuhi …

    A. 2 < x < 3

    B. 3 < x < 4

    C. 2 < x < 4

    D. x > 4

    E. x > 2

    PEMBAHASAN :

    Fungsi f(x) akan naik jika f'(x) > 0

    misal :

    u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1

    v(x) = \sqrt{x-2} \Rightarrow v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x-2}}

    f'(x) = u’ v + v’ u

        = 1 \sqrt{x-2} + \frac{1}{2 \sqrt{x-2}} x > 0

    \frac{2(x-2) + x}{2 \sqrt{x-2}} > 0

    \frac{3x - 4}{2 \sqrt{x-2}} > 0

    Pembilang : 3x – 4 0 0 \Rightarrow x = 4/3

    Penyebut : 2 \sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x = 2

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka akan x yang memenuhi adalah

    JAWABAN :

  10. Dari karton berbentuk persegi dengan sisi c cm akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di pojoknya sebesar h cm. Volume kotak akan maksimum untuk h = …

    A. 1/2 c atau 1/6 c

    B. 1/3 c

    C. 1/5 c

    D. 1/8 c

    E. 1/4 c

    PEMBAHASAN :

    Berarti kotak yang akan terbentuk, alasnya berbentuk persegi yaitu dengan panjang = lebar = (c – 2h) cm dan tingginya = h cm

    Volume kotak = h \times (c-2h)^2

             V(h) = h \times (c^2-4ch+4h^2) = c^2h-4ch^2+4h^3

       V'(h) = c^2-8ch+12h^2 = 0

           0 = (2h-c)(6h-c)

           h = \dfrac{1}{2}c atau h = \dfrac{1}{6}c

    JAWABAN : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

14 comments on “Pembahasan Soal Turunan SPMB/SNMPTN”

  4. Ka yang nomor terakhir bukannya volume kotak = luas alas kali tinggi ua?

    Berarti luas alas = panjang dikali lebar. Panjang denan lebar nya sama jadi (c-2h)(c-2h)dikali h. Turunan dr hasil perkalian itu sama dengan nol.

    Balas

  7. Sebuah kotak berbentuk balok berukuran 16 cm x 12 cm x 15 cm dengan sisi atas terbuka. Kotak tersebut diisi cat sampai penuh. Beberapa tongkat akan dilapisi cat dengan cara mencelupkan tongkat ke dalam kotak. Panjang maksimum tongkat yang terlapisi cat ketika dicelupkan ke dalam kotak tercebut … cm
    A. 20, B. 25, C. 30, D. 35

    Balas

Tinggalkan Balasan ke HD Res Batalkan balasan