Sep 2 2012

Metode Regula Falsi (Regula Falsi Method)


Metode Regular Falsi adalah panduan konsep Metode Bagi-Dua dan Metode Secant. Menggunakan konsep Metode Bagi-Dua karena dimulai dengan pemilihan dua titik awal x_0 dan x_1 sedemikian sehingga f(x_0) dan f(x_1) berlawanan tanda atau f(x_0) f(x_1) < 0. Kemudian menggunakan konsep Metode Secant yaitu dengan menarik garis l dari titik f(x_0) dan f(x_1) sedemikian sehingga garis l berpotongan pada sumbu – x dan memotong kurva / grafik fungsi pada titik f(x_0) dan f(x_1). Sehingga Metode Regular Falsi ini akan menghasilkan titik potong pada sumbu-x yaitu x_2 yang merupakan calon akar dan tetap berada dalam interval [x_0, x_1]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut interval [x_{n-1}, x_n] yang semuanya berisi akar f.

Photobucket

Prosedur Metode Regular Falsi

Menentukan interval titik awal x0 dan x1 sedemikian sehingga f(x_0) f(x_1) < 0. Setelah itu menghitung x_2 = x_1- \dfrac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}. Kemudian periksa apakah f(x_0) f(x_2) < 0 atau f(x_1) f(x_2) < 0, jika f(x_0) f(x_2) < 0 maka x_0 = x_0 atau x_2 = x_1, jika tidak maka x_1 = x_1 atau x_2 = x_0. Kemudian ulangi terus langkah-langkah tersebut sampai ketemu ‘akar’ yang paling mendekati ‘akar yang sebenarnya’ atau mempunyai error yang cukup kecil.

Secara umum, rumus untuk Metode Regular Falsi ini adalah sebagai berikut

x_{n+1} = x_n -\dfrac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Untuk mendapatkan rumus tersebut, perhatikan gambar diatas.

syarat : f(x_0) f(x_1) < 0

pandang garis l yang melalui (x_0, f(x_0)) dan (x_1, f(x_1)) sebagai gradien garis, sehingga diperoleh persamaan gradient sebagai berikut

\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \dfrac{f(x_1)-y}{x_1-x_2}

karena x_2 merupakan titik potong pada sumbu-x maka f(x_2)=0=y, sehingga diperoleh

\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \dfrac{f(x_1)-0}{x_1-x_2}

x_1-x_2 = \dfrac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}

x_2 = x_1- \dfrac{f(x_1)(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}

atau jika ditulis secara umum menjadi

x_{n+1} = x_n -\dfrac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}

Contoh :

Tentukan akar dari 4x^3-15x2 + 17x-6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

6f(x) = 4x^3-15x2 + 17x-6

iterasi 1 :

ambil x_0 = -1 dan x_1 = 3

f(-1) = 4(-1)^3 -15(-1)^2 + 17(-1) -6 = -42

f(3) = 4(3)^3 -15(3)^2 + 17(3) -6 = 18

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)} = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)^3 -15(1.8)^2 + 17(1.8) -6 = -0.672

f(3) f(1.8) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.8 dan x_1 = 3

iterasi 2 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.8]}{18-(-0.672)} = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)^3 -15(1.84319)^2 + 17(1.84319) -6 = -0.57817

f(3) f(1.84319) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.84319 dan x_1 = 3

iterasi 3 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.57817)} = 1.87919

f(1.87919) = 4(1.87919)^3 -15(1.87919)2 + 17(1.87919) -6 = -0.47975

f(3) f(1.87919) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.87919 dan x_1 = 3

iterasi 4 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.84319]}{18-(-0.47975)} = 1.90829

f(1.90829) = 4(1.90829)^3 -15(1.90829)^2 + 17(1.90829) -6 = -0.38595

f(3) f(1.90829) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.9082 dan x_1 = 3

iterasi 5 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.90829]}{18-(-0.38595)} = 1.93120

f(1.93120) = 4(1.93120)^3 -15(1.93120)^2 + 17(1.93120) -6 = -0.30269

f(3) f(1.93120) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.93120 dan x_1 = 3

iterasi 6 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.93120]}{18-(-0.30269)} = 1.94888

f(1.94888) = 4(1.94888)^3 -15(1.94888)2 + 17(1.94888) -6 = -0.23262

f(3) f(1.94888) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.94888 dan x_1 = 3

iterasi 7 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.94888]}{18-(-0.23262)} = 1.96229

f(1.96229) = 4(1.96229)^3 -15(1.96229)^2 + 17(1.96229) -6 = -0.17597

f(3) f(1.96229) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.96229 dan x_1 = 3

iterasi 8 :

x_2 = 3 -\frac{(18)[3-1.96229]}{18-(-0.17597)} = 1.97234

f(1.97234) = 4(1.97234)^3 -15(1.97234)2 + 17(1.97234) -6 = -0.13152

f(3) f(1.97234) < 0 maka ambil x_0 = x_2 = 1.97234 dan x_1 = 3

iterasi 9 :

x_2 = 3 -\dfrac{(18)[3-1.97234]}{18-(-0.13152)} = 1.97979

n

x_0

x_1

x_2

f(x_0)

f(x_1)

f(x_2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

1.8

1.84319

1.87919

1.90829

1.93120

1.94888

1.96229

1.97234

3

3

3

3

3

3

3

3

3

1.8

1.84319

1.87919

1.90829

1.93120

1.94888

1.96229

1.97234

1.97979

-42

-0.672

-0.57817

-0.47975

-0.38595

-0.30269

-0.23262

-0.17597

-0.13152

18

18

18

18

18

18

18

18

18

-0.672

-0.57817

-0.47975

-0.38595

-0.30269

-0.23262

-0.17597

-0.13152

-0.09741

Jadi akar dari persamaan 4x^3-15x2 + 17x-6 = 0 menggunakan Metode Regular Falsi adalah 1.97979

13 comments on “Metode Regula Falsi (Regula Falsi Method)”

  1. metode ini untuk mencari akar persamaan, bagaimana bila nilai error sampai 0 atw tidak ada nilai error ?
    punya contoh soal ttg metode ini yang penyelesaianx unik ?

    Balas

    • bagus berarti kalo tidak ada error, tpi tentu itu berisko untuk iterasinya, bisa jdi iterasinya sampe 1juta agar errornya=0 [tergantung juga dari pengambilan titik awalnya].
      spertinya bnyak contoh soalnya, salah satunya f(x)=x^3

      Balas

  2. f(-1) = 4(-1)3 – 15(-1)2 + 17(-1) – 6 = -42 << hasil ini ngitungnya gmn gan?

    f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18 <<

    f(1.84319) = 4(1.84319)3 – 15(1.84319)2 + 17(1.84319) – 6 = -0.57817 <<

    misalkan soalnya gini gmn gan?
    f(x) = x^-2x-3 didalam interval [0,5]

    Balas

  8. Saya kebetulan mencari2 soal regulafalsi untuk berlatih
    Saya mendeklarasikan X1,X2, X3. jika agan, menggunakan X0,X1, X2.

    jika menggunakan pendeklarasian saya.
    yang digunakan untuk perkalian dengan F(x3). apakah F(x1) atau F(x2)?

    karena dibanyak tempat disebutkan F(x1)*F(X3)
    sedangkan kalau agan, F(x2)*F(x3)

    Pencerahannya gan

    Balas

Tinggalkan Balasan ke randy rinaldi Batalkan balasan