Apr 13 2012

Teknik Integral : Integral Trigonometri


Secara umum dinyatakan bahwa integral-integral yang memuat fungsi trigonometri, dapat diselesaikan dengan memanfaatkan rumus-rumus trigonometri sederhana :

sin mx . cos nx = \frac{1}{2}[sin (m + n)x + sin (m – n)x]

sin mx . sin nx = -\frac{1}{2}[cos (m + n)x – cos (m – n)x]

cos mx . cos nx = \frac{1}{2}[cos (m + n)x + cos (m – n)x]

sin2 x + cos2 x = 1

1 + tan2 x = sec2 x

1 + cot2 x = csc2 x

sin2 x = \frac{1-cos \quad 2x}{2}

cos2 x = \frac{1+cos \quad 2x}{2}

Contoh :

  1. \int sin5 x dx = \int sin4 x . sin x dx

    = \int (1 – cos2 x)2  . sin x dx

    = \int (1 – cos2 x)2 . sin x dx

    = \int (1 – 2 cos2 x + cos4 x) (sin x dx)

    misal u = cos x maka du = -sin x kemudian substitusi

    = \int (1 – 2 u2 x + u4 x) (-du)

    = –\int (1 – 2 u2 x + u4 x) du

    = -[u – \frac{2}{3} u3 + \frac{1}{5} u5 x] + C

    substitusi u = cos x, sehingga diperoleh

    = -[cos x – \frac{2}{3}  cos3 x + \frac{1}{5} cos5 x] + C

    = -cos x + \frac{2}{3}  cos3 x – \frac{1}{5} cos5 x] + C

  2. \int cos4 x dx = \int (\frac{1+cos \quad 2x}{2})^2 dx

    = \frac{1}{4} \int (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx

    misal u = 2x maka du = 2 dx atau du/2 = dx (untuk cos 2x)

    dan v = 4x maka dv = 4 dx atau dv/4 = dx (untuk cos 4x)

    = \frac{1}{4} [\int 1 dx + \int 2 cos u (du/2) + \int \frac{1}{2} dx + \frac{1}{2} \int cos v (dv/4)]

    = \frac{1}{4} [\int 1 dx + \int cos u du + \int \frac{1}{2} dx  + \frac{1}{8} \int cos v dv]

    = \frac{1}{4} [x + \frac{1}{2} sin u + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin v)]

    substitusi u = 2x dan v = 4x sehingga diperoleh

    = \frac{1}{4} [x + \frac{1}{2} sin 2x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin 4x]

    = \frac{1}{4} x + \frac{1}{8} sin 2x + \frac{1}{8} x + \frac{1}{32} sin 4x

    = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} sin 2x + \frac{1}{32} sin 4x + C

  3. \int sin2 x . cos3 x dx = \int sin2 x . cos2 x . cos x dx

    = \int sin2 x (1 – sin2 x) cos x dx

    = \int (sin2 x – sin4 x) (cos x dx)

    misal sin x = u maka cos x dx = du, kemudian substitusi

    = \int (u2 – u4) du

    = \frac{1}{3} u3 – \frac{1}{5} u5 + C

    substitusi u = sin x, diperoleh

    = \frac{1}{3} sin3 x – \frac{1}{5} sin5 x + C

  4. \int sin2 x . cos4 x dx = \int (\frac{1-cos \quad 2x}{2})(\frac{1+cos \quad 2x}{2})^2 dx

    = \frac{1}{8} \int (1 – cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx

    = \frac{1}{8} \int (1 + cos 2x – cos2 2x – 2 cos3 2x) dx

    misal 2x = u maka 2 dx = du

    = \frac{1}{8} \int (1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) (du/2)

    = \frac{1}{16} \int (1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) du

    = \frac {1}{16} (u – sin u + sin2 u + 2 sin3 u) + C

    substitusi u = 2x, diperoleh

    = \frac {1}{8} x – \frac{1}{16} sin 2x + \frac{1}{16}  sin2 2x + \frac {1}{8}  sin3 2x + C

  5. \int sin 3x . cos 4x = \int \frac{1}{2} (sin 7x + sin(-x)) dx

    = \frac{1}{2} \int (sin 7x – sin x) dx

    = \frac{1}{2} \int sin 7x dx – \frac{1}{2} \int sin x dx

    misal 7x = u maka 7 dx = du, kemudian substitusi (untuk sin 7x)

    = \frac{1}{2} \int sin u (du/7) – \frac{1}{2} \int sin x dx

    = -\frac{1}{14} cos u + \frac{1}{2} cos x + C

    substitusi u = 7x, diperoleh

    = -\frac{1}{14} cos 7x + \frac{1}{2} cos x + C

Ada beberapa persoalan integral trigonometri yang langsung dapat ditangani menggunakan teknik substitusi.

Contoh :

  1. \int sin 3x . cos 3x dx = \int sin 3x . (cos 3x dx)

    misal sin 3x = u maka 3 cos 3x dx = du, kemudian substitusi

    = \int u (du/3)

    = \frac{1}{3} \int u du

    = \frac{1}{3} \frac{1}{2} u2 + C

    substitusi u = sin 3x, diperoleh

    = \frac{1}{6} sin2 3x + C

  2. \int tan x dx = \int \frac{sin \quad x}{cos \quad x} dx

    = \int \frac{1}{cos \quad x} sin x dx

    misal cos x = u maka -sin x dx = du

    = \int \frac{1}{u} (-du)

    = -ln |u| + C

    substitusi u = cos x, diperoleh

    = -ln |cos x| + C

  3. \int sec x dx = \int sec x \frac{sec \quad x+tan \quad x}{sec \quad x+ tan \quad x} dx

    = \int \frac{1}{sec \quad x+ tan \quad x} (sec2 x + sec x tan x)dx

    misal sec x + tan x = u maka (sec2 x + sec x tan x) dx = du (Turunan Aturan Perkalian), kemudian substitusi

    = \int \frac{1}{u} du

    = ln |u| + C

    substitusi u = sec x + tan x

    = ln |sec x + tan x| + C

46 comments on “Teknik Integral : Integral Trigonometri”

  5. bisa tolong bantu untuk penyelesaian soal ini?
    tentukan integral 0 hingga phi dari sin x cos mx dx, dimana m adalah integer
    terima kasih

    Balas

Tinggalkan komentar