Apr 28 2012

Barisan dan Deret Geometri


Pola dari barisan dan deret geometri tidaklah sama dengan pola dari barisan dan deret aritmatika. Untuk itu, Anda perlu berhati-hati jika menemukan suatu barisan atau deret bilangan. Supaya tidak keliru maka Anda harus bisa membedakan antara barisan dan deret aritmetika dengan barisan dan deret geometri.

1. Barisan Geometri

Perhatikan barisan bilangan berikut.

• 2, 4, 8, 16,…

• 81, 27, 9, 3,…

Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan pola yang dimiliki oleh masing-masing barisan? Tentu saja pola yang didapat akan berbeda dengan pola yang Anda dapat ketika mempelajari barisan aritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap dua suku yang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Anda peroleh?

Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut, Anda akan mendapatkan perbandingan yang sama. Untuk barisan yang pertama, diperoleh perbandingan sebagai berikut.

\dfrac{4}{2}=2, \dfrac{8}{4}=2, \dfrac{16}{8}=2,….

Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r. Barisan yang memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.

Definisi Barisan Geometri

Misalkan u_1, u_2, \ldots, u_n suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{u_3}{u_2} = … = \dfrac{u_n}{u_{n-1}} = r, dengan r = rasio atau pembanding.

Jika diketahui suatu barisan geometri u_1, u_2, \ldots ,u_n, dan dimisalkan u_1 = a dengan rasionya r maka Anda dapat menuliskan:

u_1 = a

u_2 = 1 \cdot r = ar = ar^{2-1}

u_3 = u_2 \cdot r = (ar) = ar^{3-1}

.

.

.

u_n = a \cdot r \cdot r .. r = ar^{n-1}

Rumus Suku ke–n Barisan Geometri

Misalkan terdapat suatu barisan geometri u_1, u_2, \ldots ,u_n maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah u_n = ar^{n-1}.

Contoh 1.

Diberikan suatu barisan geometri 1, 3, 9, 27, … Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut.

Dari barisan di atas, diperoleh suku awal a=1 dan rasio r = \dfrac{3}{1} = 3. Sehingga didapat

u_9 = 1 \cdot 3^{7-1} = 3^6 = 729.

Jadi, suku ke-9 dari barisan tersebut adalah 729.

Contoh 2.

Suatu barisan geometri memiliki suku-3 adalah 8 dan suku ke-6 adalah 64. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

u_3 = ar^2 = 8 dan u_6 = ar^5 = 64. Perhatikan bahwa

\dfrac{u_6}{u_3} = \dfrac{ar^5}{ar^2}

\dfrac{64}{8} = r^3 \Rightarrow r = 2.

Selanjutnya diperoleh 8 = a(2)^2 \Rightarrow a = 2

Sehingga didapat u_{10} = ar^9 = 2(2)^9 = 2^{10}.

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 2^{10}.

2. Deret Geometri

Secara umum, dari suatu barisan geometri u_1, u_2, \ldots ,u_n dengan u_1= a dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu u_1 + u_2 + \ldots + u_n = a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}. Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika S_n menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh

S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} …(1)

Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh

Sn \cdot r = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n …(2)

Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret geometri.

Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini, S_n - (S_n \cdot r)

Pandang :

S_n = a+ar+ar^2+ \ldots +ar^{n-1}

S_n \cdot r = ar + ar^{2} + \ldots + ar\sp{n-1} + ar^{n}

Sehingga :

S_n-(S_n \cdot r) = a-ar^{n}

S_n(1-r)=a(1-r^{n})

S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{(1-r)}

Misalkan u_1, u_2, \ldots ,u_n adalah barisan geometri maka pemjumlahan u_1 + u_2 + \ldots + u_n adalah deret geometri.

Contoh 3.

Jika u_1 = k, u_2 = 3k, dan u_3 = 8k + 4 maka u_5 = …

a. 81

b. 162

c. 324

d. 648

e. 864

Penyelesaian.

Diketahui : u_1 = k, u_2 = 3k, u_3 = 8k + 4

langkah pertama tentukan nilai r.

\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{3k}{k} = 3

Selanjutnya, tentukan nilai k.

\dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{8k + 4}{3k}

3 = \dfrac{8k + 4}{3k}

9k = 8k + 4

k = 4

Oleh karena, u_1 = k maka u_1 = 4, dengan demikian,

u_5 = ar\sp{5-1}

   = ar^4

   = 4 \cdot 3^4

   = 4 \cdot 81

   = 324

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri

Misalkan u_1 + u_2 + \ldots + u_n merupakan deret geometri, dengan suku pertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama (S_n) dari deret tersebut adalah S_n = \dfrac{a (1-r^n)}{1-r} atau S_n = \dfrac{a (r^n - 1)}{r-1}

Contoh 4.

Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …

Tentukan:

a. rumus jumlah n suku pertama,

b. jumlah 7 suku pertamanya

Jawab:

4 + 12 + 36 + 108 …

Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3

  1. S_n = \dfrac{a (r^n - 1)}{r-1}

       = \dfrac{4 (3^n - 1)}{3-1}

       = \dfrac{4 (3^n - 1)}{2}

       = 2(3^{n}-1)

    Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 2(3^{n}-1)

  2. Jumlah 7 suku pertama

    S_7 = 2(3^7 - 1)

       = 2(2187 – 1)

       = 4372

    Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.

17 comments on “Barisan dan Deret Geometri”

Tinggalkan komentar