Des 17 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

$f(x, y)$ disebut fungsi homogen berpangkat $n$ jika memenuhi $f(kx, ky) = k^n f(x, y)$ dengan $k$ adalah konstanta.

Contoh 1.

$f(x, y) = x + 3y$

$f(kx, ky) = kx + 3ky$

$= k(x + 3y)$ , fungsi homogen pangkat 1
$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \tan \dfrac{y}{x}$

$f(kx, ky) = e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx}$

$= k^0 \left( e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx} \right)$ , fungsi homogen pangkat 0
$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$

$f(xk, ky) = (kx)^2 + 2 \cdot kx \cdot ky + (ky)^2$

$= k^2 (x^2 + 2xy + y^2)$ , fungsi homogen pangkat $n$
$F(x, y) = 5x-7y + 13$

bukan fungsi homogen karena $F(kx, ky) \neq k^n (5x -7y + 13)$
$F(x,y) = 4x^3 + 3y^3 -6xy$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n(4x^3 + 3y^3 -6xy)$
$F(x,y) = x^2 + 5y -6x^2y$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n (x^2 + 5y -6x^2y)$

Bentuk umum PD Homogen adalah $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ . Jika $M(x, y)$ dan $N(x, y)$ maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam $x$ dan $y$ atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ atau $M \left( \dfrac{x}{y} \right) dx + N \left( \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ .

Jika PD sudah diubah menjadi $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ , maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil $u = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

$M(u) ~dx + N(u) ~dy (u dx + x du) = 0$

$(M(u) + u N(u)) ~dx + x N(u) ~du = 0$

$\dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = 0$

Sehingga solusinya : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = C$ , dengan $u = \dfrac{y}{x}$

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$(x^2 -xy + y^2) ~dx -xy~dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = x^2 -xy + y^2$

$M(kx, ky) = (kx)^2 -kx ~ky + (ky)^2$

$= k^ (x^2 -xy + y)$

$N(x, y) = xy$

$N(kx, ky) = kx~ky$

$= k^2(xy)$

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ adalah PD homogen

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ , bagi dengan $x^2$ , diperoleh

$\left( 1- \dfrac{y}{x} + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 \right) dx -\dfrac{y}{x} ~dy = 0$ … (i)

misal : $y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

substitusi ke pers (i)

$(1-u + u^2)~dx -u(u~dx + x~du) = 0$

$dx -u ~dx + u^2~dx -u^2~dx -ux ~du = 0$

$(1-u) ~dx- ux ~du = 0$ [bagi dengan $x(1-u)$ ]

$\dfrac{1}{x} ~dx -\dfrac{u}{1-u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx -\int \dfrac{u}{1-u} ~du = c_1$

$-ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1+1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1}{1-u} ~du -\int \dfrac{1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x + u + \ln (1-u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , sehingga diperoleh

$\ln x + \dfrac{y}{x} + \ln \left(1- \dfrac{y}{x} \right) = \ln C$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = 1 + 2e^{\frac{x}{y}}$

$M(kx, ky) = 1 + 2e^{\frac{kx}{ky}}$

$= k^0 \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right)$

$N(x, y) = 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right)$

$N(kx, ky) = 2e^{\frac{kx}{ky}} \left(1- \dfrac{kx}{ky} \right)$

$= k^0 \left( 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) \right)$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ adalah PD homogen … (i)

misal : $x = uy$

$dx = u ~dy + y ~du$

substitusi ke pers (i), sehingga

$(1 + 2e^u)(u~dy + y ~du) + 2e^u (1-u) dy = 0$

$u ~dy + y ~du + u 2e^u ~dy + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy -u 2e^u ~dy = 0$

$u ~dy + y ~du + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy = 0$

$(u + 2e^u) ~dy + y(1 + 2e^u) ~du = 0$ [bagi dengan $y(u + 2e^u)$ ]

$\dfrac{1}{y} ~dy + \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{y} ~dy + \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = c_1$

$\ln y + \displaystyle \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~\dfrac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c_1$

$\ln y + \ln (u + 2e^u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{x}{y}$ , sehingga

$\ln y + \ln \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) = \ln C$

$\ln \left(y \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) \right) = \ln C$

$x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C$
$2xyy' -y^2 + x^2 = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

$2xy \dfrac{dy}{dx} -y^2 + x^2 = 0$

$2xy ~dy + (x^2-y^2)dx = 0$

ambil $M(x, y) = 2xy$

$M(kx, ky) = 2 ~kx ~ky$

$= k^2(2xy)$

$N(x, y) = x^2-y^2$

$N(kx, ky) = (kx)^2-(ky)^2$

$= k^2(x^2-y^2)$

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ adalah PD homogen

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ [bagi $x^2$ ]

$\dfrac{2y}{x}~dy + \left(1 -\dfrac{y^2}{x^2} \right) dx = 0$ … (i)

ambil $y = ux$

$dy = x ~du + u ~dx$

substitusi ke pers (i), diperoleh

$2u(x ~du + u ~dx) + (1-u^2)~ dx = 0$

$2ux ~du + 2u^2 ~dx + dx -u^2 ~dx = 0$

$2ux ~du + (u^2+ 1) ~dx = 0$ [bagi dengan $x(u^2+ 1)$ ]

$2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \dfrac{1}{x} ~dx = 0$

$\displaystyle \int 2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\displaystyle \int 2 \dfrac{u}{(u^2+1)} ~\dfrac{d(u^2+1)}{2u} + \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\ln (u^2+1) + \ln x = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

$\ln (u^2+1) = -\ln x + \ln C$

$\ln (u^2+1) = \ln \dfrac{C}{x}$

$u^2+1 = \dfrac{C}{x}$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , diperoleh

$\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + 1 = \dfrac{C}{x}$

$y^2 + x^2 = Cx$

$y^2 + x^2 -2\dfrac{C}{2} x + \dfrac{C}{4} -\dfrac{C}{4} = 0$

$(y-0)^2 + \left( x^2 -\dfrac{C}{2} \right)^2 = \dfrac{C}{4}$

11 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

Ping-balik: Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen | Math IS Beautiful
yunika lestarianingsih

Februari 25, 2014 @ 11:57 pm

ijin download untuk materi kuliah dan bahan tesis ya…

Balas
IPAH

Mei 23, 2014 @ 7:20 pm

TERIMA KASIH ATAS POSTINGANNYA SANGAT MEMBANTU

Balas
yoga

Juni 24, 2014 @ 10:00 pm

penyelesaian umum dari persamaan deferensial berikut :
1) x²+(y+1)² dy/dx=0
2) dy/dx=1+y/2+x
3) dy/dx=x+3y/2x
4) dy/dx=x²+y²/xy
5) dy/dx-y=x

dibantu donk…

Balas
Agus Triyono

Oktober 12, 2014 @ 5:33 pm

Terimakasih postingannya, sangat membantu 😀

Balas
Afif Ramadhan

Februari 13, 2016 @ 4:56 pm

Mau nanya bang, itu PD kan penyelesaian nya kalo kita udah dapet y = ….. , dari contoh latihan yang abang kerjakan masih dalam bentuk persamaan kasar nya bang. Yang bener yang mana bang? Kalo bener yang y = ….. , coba dijadiin kayak gitu bang. Makasih 🙂

Balas
- aimprof08
  
  Februari 14, 2016 @ 5:30 pm
  
  wah saya malah baru tahu kalo penyelesaiannya dalam bentuk y=…
  kalo dilahat dari hasil penyelesaiannya, kyknya tidak akan mungkin mendapatkan y=… mas
  
  Balas
zainal

April 25, 2017 @ 7:22 pm

Solusi umum dari persamaan ini x dx + (y+4y^3(x^2 +y^2))dy =0
Tolong yaaaa.. …

Balas
Rangga

Oktober 11, 2017 @ 1:15 am

persmaan diferensial dari 2x.dy/dx = (1+y)^2

Balas

	Thoriq pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	Micheal Jay pada Les Privat Matematika
	Raditya Putra pada Daerah Integral
	Hafizah Auladina pada Pembahasan TPA USM STAN 2015…
	Budi Sugiarto pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…

Bagikan ini:

Terkait

11 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

Tinggalkan Balasan ke Rangga Batalkan balasan