Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

$f(x, y)$ disebut fungsi homogen berpangkat $n$ jika memenuhi $f(kx, ky) = k^n f(x, y)$ dengan $k$ adalah konstanta.

Contoh 1.

$f(x, y) = x + 3y$

$f(kx, ky) = kx + 3ky$

$= k(x + 3y)$ , fungsi homogen pangkat 1
$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \tan \dfrac{y}{x}$

$f(kx, ky) = e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx}$

$= k^0 \left( e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx} \right)$ , fungsi homogen pangkat 0
$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$

$f(xk, ky) = (kx)^2 + 2 \cdot kx \cdot ky + (ky)^2$

$= k^2 (x^2 + 2xy + y^2)$ , fungsi homogen pangkat $n$
$F(x, y) = 5x-7y + 13$

bukan fungsi homogen karena $F(kx, ky) \neq k^n (5x -7y + 13)$
$F(x,y) = 4x^3 + 3y^3 -6xy$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n(4x^3 + 3y^3 -6xy)$
$F(x,y) = x^2 + 5y -6x^2y$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n (x^2 + 5y -6x^2y)$

Bentuk umum PD Homogen adalah $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ . Jika $M(x, y)$ dan $N(x, y)$ maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam $x$ dan $y$ atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ atau $M \left( \dfrac{x}{y} \right) dx + N \left( \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ .

Jika PD sudah diubah menjadi $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ , maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil $u = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

$M(u) ~dx + N(u) ~dy (u dx + x du) = 0$

$(M(u) + u N(u)) ~dx + x N(u) ~du = 0$

$\dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = 0$

Sehingga solusinya : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = C$ , dengan $u = \dfrac{y}{x}$

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$(x^2 -xy + y^2) ~dx -xy~dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = x^2 -xy + y^2$

$M(kx, ky) = (kx)^2 -kx ~ky + (ky)^2$

$= k^ (x^2 -xy + y)$

$N(x, y) = xy$

$N(kx, ky) = kx~ky$

$= k^2(xy)$

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ adalah PD homogen

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ , bagi dengan $x^2$ , diperoleh

$\left( 1- \dfrac{y}{x} + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 \right) dx -\dfrac{y}{x} ~dy = 0$ … (i)

misal : $y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

substitusi ke pers (i)

$(1-u + u^2)~dx -u(u~dx + x~du) = 0$

$dx -u ~dx + u^2~dx -u^2~dx -ux ~du = 0$

$(1-u) ~dx- ux ~du = 0$ [bagi dengan $x(1-u)$ ]

$\dfrac{1}{x} ~dx -\dfrac{u}{1-u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx -\int \dfrac{u}{1-u} ~du = c_1$

$-ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1+1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1}{1-u} ~du -\int \dfrac{1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x + u + \ln (1-u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , sehingga diperoleh

$\ln x + \dfrac{y}{x} + \ln \left(1- \dfrac{y}{x} \right) = \ln C$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = 1 + 2e^{\frac{x}{y}}$

$M(kx, ky) = 1 + 2e^{\frac{kx}{ky}}$

$= k^0 \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right)$

$N(x, y) = 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right)$

$N(kx, ky) = 2e^{\frac{kx}{ky}} \left(1- \dfrac{kx}{ky} \right)$

$= k^0 \left( 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) \right)$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ adalah PD homogen … (i)

misal : $x = uy$

$dx = u ~dy + y ~du$

substitusi ke pers (i), sehingga

$(1 + 2e^u)(u~dy + y ~du) + 2e^u (1-u) dy = 0$

$u ~dy + y ~du + u 2e^u ~dy + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy -u 2e^u ~dy = 0$

$u ~dy + y ~du + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy = 0$

$(u + 2e^u) ~dy + y(1 + 2e^u) ~du = 0$ [bagi dengan $y(u + 2e^u)$ ]

$\dfrac{1}{y} ~dy + \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{y} ~dy + \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = c_1$

$\ln y + \displaystyle \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~\dfrac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c_1$

$\ln y + \ln (u + 2e^u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{x}{y}$ , sehingga

$\ln y + \ln \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) = \ln C$

$\ln \left(y \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) \right) = \ln C$

$x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C$
$2xyy' -y^2 + x^2 = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

$2xy \dfrac{dy}{dx} -y^2 + x^2 = 0$

$2xy ~dy + (x^2-y^2)dx = 0$

ambil $M(x, y) = 2xy$

$M(kx, ky) = 2 ~kx ~ky$

$= k^2(2xy)$

$N(x, y) = x^2-y^2$

$N(kx, ky) = (kx)^2-(ky)^2$

$= k^2(x^2-y^2)$

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ adalah PD homogen

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ [bagi $x^2$ ]

$\dfrac{2y}{x}~dy + \left(1 -\dfrac{y^2}{x^2} \right) dx = 0$ … (i)

ambil $y = ux$

$dy = x ~du + u ~dx$

substitusi ke pers (i), diperoleh

$2u(x ~du + u ~dx) + (1-u^2)~ dx = 0$

$2ux ~du + 2u^2 ~dx + dx -u^2 ~dx = 0$

$2ux ~du + (u^2+ 1) ~dx = 0$ [bagi dengan $x(u^2+ 1)$ ]

$2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \dfrac{1}{x} ~dx = 0$

$\displaystyle \int 2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\displaystyle \int 2 \dfrac{u}{(u^2+1)} ~\dfrac{d(u^2+1)}{2u} + \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\ln (u^2+1) + \ln x = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

$\ln (u^2+1) = -\ln x + \ln C$

$\ln (u^2+1) = \ln \dfrac{C}{x}$

$u^2+1 = \dfrac{C}{x}$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , diperoleh

$\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + 1 = \dfrac{C}{x}$

$y^2 + x^2 = Cx$

$y^2 + x^2 -2\dfrac{C}{2} x + \dfrac{C}{4} -\dfrac{C}{4} = 0$

$(y-0)^2 + \left( x^2 -\dfrac{C}{2} \right)^2 = \dfrac{C}{4}$

10 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

sukardi

Oktober 31, 2017 @ 9:44 pm

keren
http://mathcyber1997.com

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	nenengwindi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Aleyn pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Arif pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Justin pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	weina pada Pembahasan TPA Komparasi Sarin…
	ALFI HAFIFA CHANNEL pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	masthuraaya9@gmail.c… pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	tedjo pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

10 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan