Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

$f(x, y)$ disebut fungsi homogen berpangkat $n$ jika memenuhi $f(kx, ky) = k^n f(x, y)$ dengan $k$ adalah konstanta.

Contoh 1.

$f(x, y) = x + 3y$

$f(kx, ky) = kx + 3ky$

$= k(x + 3y)$ , fungsi homogen pangkat 1
$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \tan \dfrac{y}{x}$

$f(kx, ky) = e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx}$

$= k^0 \left( e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx} \right)$ , fungsi homogen pangkat 0
$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$

$f(xk, ky) = (kx)^2 + 2 \cdot kx \cdot ky + (ky)^2$

$= k^2 (x^2 + 2xy + y^2)$ , fungsi homogen pangkat $n$
$F(x, y) = 5x-7y + 13$

bukan fungsi homogen karena $F(kx, ky) \neq k^n (5x -7y + 13)$
$F(x,y) = 4x^3 + 3y^3 -6xy$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n(4x^3 + 3y^3 -6xy)$
$F(x,y) = x^2 + 5y -6x^2y$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n (x^2 + 5y -6x^2y)$

Bentuk umum PD Homogen adalah $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ . Jika $M(x, y)$ dan $N(x, y)$ maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam $x$ dan $y$ atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ atau $M \left( \dfrac{x}{y} \right) dx + N \left( \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ .

Jika PD sudah diubah menjadi $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ , maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil $u = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

$M(u) ~dx + N(u) ~dy (u dx + x du) = 0$

$(M(u) + u N(u)) ~dx + x N(u) ~du = 0$

$\dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = 0$

Sehingga solusinya : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = C$ , dengan $u = \dfrac{y}{x}$

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$(x^2 -xy + y^2) ~dx -xy~dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = x^2 -xy + y^2$

$M(kx, ky) = (kx)^2 -kx ~ky + (ky)^2$

$= k^ (x^2 -xy + y)$

$N(x, y) = xy$

$N(kx, ky) = kx~ky$

$= k^2(xy)$

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ adalah PD homogen

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ , bagi dengan $x^2$ , diperoleh

$\left( 1- \dfrac{y}{x} + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 \right) dx -\dfrac{y}{x} ~dy = 0$ … (i)

misal : $y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

substitusi ke pers (i)

$(1-u + u^2)~dx -u(u~dx + x~du) = 0$

$dx -u ~dx + u^2~dx -u^2~dx -ux ~du = 0$

$(1-u) ~dx- ux ~du = 0$ [bagi dengan $x(1-u)$ ]

$\dfrac{1}{x} ~dx -\dfrac{u}{1-u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx -\int \dfrac{u}{1-u} ~du = c_1$

$-ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1+1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1}{1-u} ~du -\int \dfrac{1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x + u + \ln (1-u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , sehingga diperoleh

$\ln x + \dfrac{y}{x} + \ln \left(1- \dfrac{y}{x} \right) = \ln C$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = 1 + 2e^{\frac{x}{y}}$

$M(kx, ky) = 1 + 2e^{\frac{kx}{ky}}$

$= k^0 \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right)$

$N(x, y) = 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right)$

$N(kx, ky) = 2e^{\frac{kx}{ky}} \left(1- \dfrac{kx}{ky} \right)$

$= k^0 \left( 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) \right)$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ adalah PD homogen … (i)

misal : $x = uy$

$dx = u ~dy + y ~du$

substitusi ke pers (i), sehingga

$(1 + 2e^u)(u~dy + y ~du) + 2e^u (1-u) dy = 0$

$u ~dy + y ~du + u 2e^u ~dy + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy -u 2e^u ~dy = 0$

$u ~dy + y ~du + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy = 0$

$(u + 2e^u) ~dy + y(1 + 2e^u) ~du = 0$ [bagi dengan $y(u + 2e^u)$ ]

$\dfrac{1}{y} ~dy + \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{y} ~dy + \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = c_1$

$\ln y + \displaystyle \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~\dfrac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c_1$

$\ln y + \ln (u + 2e^u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{x}{y}$ , sehingga

$\ln y + \ln \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) = \ln C$

$\ln \left(y \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) \right) = \ln C$

$x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C$
$2xyy' -y^2 + x^2 = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

$2xy \dfrac{dy}{dx} -y^2 + x^2 = 0$

$2xy ~dy + (x^2-y^2)dx = 0$

ambil $M(x, y) = 2xy$

$M(kx, ky) = 2 ~kx ~ky$

$= k^2(2xy)$

$N(x, y) = x^2-y^2$

$N(kx, ky) = (kx)^2-(ky)^2$

$= k^2(x^2-y^2)$

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ adalah PD homogen

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ [bagi $x^2$ ]

$\dfrac{2y}{x}~dy + \left(1 -\dfrac{y^2}{x^2} \right) dx = 0$ … (i)

ambil $y = ux$

$dy = x ~du + u ~dx$

substitusi ke pers (i), diperoleh

$2u(x ~du + u ~dx) + (1-u^2)~ dx = 0$

$2ux ~du + 2u^2 ~dx + dx -u^2 ~dx = 0$

$2ux ~du + (u^2+ 1) ~dx = 0$ [bagi dengan $x(u^2+ 1)$ ]

$2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \dfrac{1}{x} ~dx = 0$

$\displaystyle \int 2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\displaystyle \int 2 \dfrac{u}{(u^2+1)} ~\dfrac{d(u^2+1)}{2u} + \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\ln (u^2+1) + \ln x = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

$\ln (u^2+1) = -\ln x + \ln C$

$\ln (u^2+1) = \ln \dfrac{C}{x}$

$u^2+1 = \dfrac{C}{x}$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , diperoleh

$\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + 1 = \dfrac{C}{x}$

$y^2 + x^2 = Cx$

$y^2 + x^2 -2\dfrac{C}{2} x + \dfrac{C}{4} -\dfrac{C}{4} = 0$

$(y-0)^2 + \left( x^2 -\dfrac{C}{2} \right)^2 = \dfrac{C}{4}$

10 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

sukardi

Oktober 31, 2017 @ 9:44 pm

keren
http://mathcyber1997.com

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	5 pada Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	septiansuryaandika pada Metode Regula Falsi (Regula Fa…
	lagu dj pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	7 pada Fungsi Pada (Surjektif)
	Nazhif Rizaldi pada Deret MacLaurin
	MayRomly pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	MayRomly pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	ansar pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Pembahasan Potensi Akademik Pa…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

10 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan