Des 17 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

$f(x, y)$ disebut fungsi homogen berpangkat $n$ jika memenuhi $f(kx, ky) = k^n f(x, y)$ dengan $k$ adalah konstanta.

Contoh 1.

$f(x, y) = x + 3y$

$f(kx, ky) = kx + 3ky$

$= k(x + 3y)$ , fungsi homogen pangkat 1
$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \tan \dfrac{y}{x}$

$f(kx, ky) = e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx}$

$= k^0 \left( e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx} \right)$ , fungsi homogen pangkat 0
$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$

$f(xk, ky) = (kx)^2 + 2 \cdot kx \cdot ky + (ky)^2$

$= k^2 (x^2 + 2xy + y^2)$ , fungsi homogen pangkat $n$
$F(x, y) = 5x-7y + 13$

bukan fungsi homogen karena $F(kx, ky) \neq k^n (5x -7y + 13)$
$F(x,y) = 4x^3 + 3y^3 -6xy$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n(4x^3 + 3y^3 -6xy)$
$F(x,y) = x^2 + 5y -6x^2y$ ,

bukan fungsi homogen karena $F(kx,ky) \neq k^n (x^2 + 5y -6x^2y)$

Bentuk umum PD Homogen adalah $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ . Jika $M(x, y)$ dan $N(x, y)$ maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam $x$ dan $y$ atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ atau $M \left( \dfrac{x}{y} \right) dx + N \left( \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ .

Jika PD sudah diubah menjadi $M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0$ , maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil $u = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

$M(u) ~dx + N(u) ~dy (u dx + x du) = 0$

$(M(u) + u N(u)) ~dx + x N(u) ~du = 0$

$\dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = 0$

Sehingga solusinya : $\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = C$ , dengan $u = \dfrac{y}{x}$

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$(x^2 -xy + y^2) ~dx -xy~dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = x^2 -xy + y^2$

$M(kx, ky) = (kx)^2 -kx ~ky + (ky)^2$

$= k^ (x^2 -xy + y)$

$N(x, y) = xy$

$N(kx, ky) = kx~ky$

$= k^2(xy)$

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ adalah PD homogen

$(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0$ , bagi dengan $x^2$ , diperoleh

$\left( 1- \dfrac{y}{x} + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 \right) dx -\dfrac{y}{x} ~dy = 0$ … (i)

misal : $y = ux$

$dy = u ~dx + x ~du$

substitusi ke pers (i)

$(1-u + u^2)~dx -u(u~dx + x~du) = 0$

$dx -u ~dx + u^2~dx -u^2~dx -ux ~du = 0$

$(1-u) ~dx- ux ~du = 0$ [bagi dengan $x(1-u)$ ]

$\dfrac{1}{x} ~dx -\dfrac{u}{1-u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx -\int \dfrac{u}{1-u} ~du = c_1$

$-ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1+1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1}{1-u} ~du -\int \dfrac{1}{1-u} ~du = c_1$

$\ln x + u + \ln (1-u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , sehingga diperoleh

$\ln x + \dfrac{y}{x} + \ln \left(1- \dfrac{y}{x} \right) = \ln C$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil $M(x, y) = 1 + 2e^{\frac{x}{y}}$

$M(kx, ky) = 1 + 2e^{\frac{kx}{ky}}$

$= k^0 \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right)$

$N(x, y) = 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right)$

$N(kx, ky) = 2e^{\frac{kx}{ky}} \left(1- \dfrac{kx}{ky} \right)$

$= k^0 \left( 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) \right)$

$\left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0$ adalah PD homogen … (i)

misal : $x = uy$

$dx = u ~dy + y ~du$

substitusi ke pers (i), sehingga

$(1 + 2e^u)(u~dy + y ~du) + 2e^u (1-u) dy = 0$

$u ~dy + y ~du + u 2e^u ~dy + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy -u 2e^u ~dy = 0$

$u ~dy + y ~du + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy = 0$

$(u + 2e^u) ~dy + y(1 + 2e^u) ~du = 0$ [bagi dengan $y(u + 2e^u)$ ]

$\dfrac{1}{y} ~dy + \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{y} ~dy + \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = c_1$

$\ln y + \displaystyle \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~\dfrac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c_1$

$\ln y + \ln (u + 2e^u) = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

substitusi kembali $u = \dfrac{x}{y}$ , sehingga

$\ln y + \ln \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) = \ln C$

$\ln \left(y \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) \right) = \ln C$

$x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C$
$2xyy' -y^2 + x^2 = 0$

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

$2xy \dfrac{dy}{dx} -y^2 + x^2 = 0$

$2xy ~dy + (x^2-y^2)dx = 0$

ambil $M(x, y) = 2xy$

$M(kx, ky) = 2 ~kx ~ky$

$= k^2(2xy)$

$N(x, y) = x^2-y^2$

$N(kx, ky) = (kx)^2-(ky)^2$

$= k^2(x^2-y^2)$

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ adalah PD homogen

$2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0$ [bagi $x^2$ ]

$\dfrac{2y}{x}~dy + \left(1 -\dfrac{y^2}{x^2} \right) dx = 0$ … (i)

ambil $y = ux$

$dy = x ~du + u ~dx$

substitusi ke pers (i), diperoleh

$2u(x ~du + u ~dx) + (1-u^2)~ dx = 0$

$2ux ~du + 2u^2 ~dx + dx -u^2 ~dx = 0$

$2ux ~du + (u^2+ 1) ~dx = 0$ [bagi dengan $x(u^2+ 1)$ ]

$2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \dfrac{1}{x} ~dx = 0$

$\displaystyle \int 2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\displaystyle \int 2 \dfrac{u}{(u^2+1)} ~\dfrac{d(u^2+1)}{2u} + \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1$

$\ln (u^2+1) + \ln x = \ln C$ , dengan $\ln C = c_1$

$\ln (u^2+1) = -\ln x + \ln C$

$\ln (u^2+1) = \ln \dfrac{C}{x}$

$u^2+1 = \dfrac{C}{x}$

substitusi kembali $u = \dfrac{y}{x}$ , diperoleh

$\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + 1 = \dfrac{C}{x}$

$y^2 + x^2 = Cx$

$y^2 + x^2 -2\dfrac{C}{2} x + \dfrac{C}{4} -\dfrac{C}{4} = 0$

$(y-0)^2 + \left( x^2 -\dfrac{C}{2} \right)^2 = \dfrac{C}{4}$

11 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

sukardi

Oktober 31, 2017 @ 9:44 pm

keren
http://mathcyber1997.com

Balas
Apent

Oktober 16, 2021 @ 1:23 am

Persaamaan differensial dengan metode homogen :
Hasil dari dy/dx = y-x/x

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…
	Zeni Perwitasari pada Soal dan Pembahasan Matematika…
	Ixan pada Pembahasan Matematika Dasar SI…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

11 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan