Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor


Pada tulisan ini saya akan membagikan sidikit ilmu yang saya dapat tentang bagaimana cara menghitung determinan matriks. Metode yang digunakan adalah menggunakan Ekspansi Kofaktor. Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya. Untuk menghitung determinan menggunakan metode ini, rumusnya dijamin oleh Teorema berikut.

Teorema :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 \leq i \leq n dan 1 \leq j \leq n, maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

atau

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Untuk lebih memperjelas apa itu kofaktor, perhatikan Definisi dibawah ini.

Definisi :

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Contoh 1 :

Misalkan kita punya matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right ]. Tentukan minor entri a11, a12, dan a13. Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !

Penyelesaian :

minor entri a11 adalah M11 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 5& 6\\ 4& 8 \end{array} \right | = 5(8) – 4(6) = 16

kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(16) = 16

minor entri a12 adalah M12 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 2& 6\\ 1& 8 \end{array} \right | = 2(8) – 1(6) = 10

kofaktor a12 adalah C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(10) = -10

minor entri a13 adalah M13 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 2& 5\\ 1& 4 \end{array} \right | = 2(4) – 1(5) = 3

kofaktor a13 adalah C13 = (-1)1+3M13 = (-1)4(3) = 3

Contoh 2 :

Dari Contoh 1 diatas, tentukan determinan matriks A

Penyelesaian :

Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 1 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= 3(16) + 1(-10) + (-4)(3)

= 48 – 10 – 3

= 35

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right ]

Penyelesaian :

Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 3 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.

det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right |

= a31C31 + a32C32 + a33C33

= a31(-1)3+1M31 + a32(-1)3+2M31 + a33(-1)3+3M31

= a31M31 – a32M31 + a33M31

= 3\left | \begin{array}{rr} 6& 0\\ 6& 8 \end{array} \right | – 2\left | \begin{array}{rr} 0& 0\\ 8& 8 \end{array} \right | + 2\left | \begin{array}{rr} 0& 6\\ 8& 6 \end{array} \right |

= 3[6(8)-0(6)] – 2[0(8)-8(0)] + 2[0(6)-8(6)]

= 144 – 0 – 96

= 48

atau jika ingin lebih cepat, kita bisa melihat entri yang mengandung nol agar lebih mempersingkat waktu mengerjakan. Karena dalam baris pertama terdapat dua entri nol, maka i = 1 dan j = 1, 2, 3 kemudian gunakan rumus.

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13

= a11M11 – a12M12 + a13M13

= 0\left | \begin{array}{rr} 6& 8\\ 2& 2 \end{array} \right | – 6\left | \begin{array}{rr} 8& 8\\ 3& 2 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rr} 8& 6\\ 3& 2 \end{array} \right |

= 0 – 6[8(2)-8(3)] + 0

= 48

Contoh 4 :

Tentukan determinan matriks B = \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]

Penyelesaian :

dengan menggunakan kolom pertama pada matriks B sebagai kofaktor dan berdasarkan Teorema diatas dengan mengambil i = 1, 2, 3, 4 dan j = 1 maka diperoleh.

det(B) = \left | \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right |

= a11C11 + a21C21 + a31C31 – a41C41

= a11(-1)1+1M11 + a21(-1)2+1M21 + a31(-1)3+1M31 + a41(-1)4+1M41

= a11M11 – a21M21 + a31M31 + a41M41

= 2\left | \begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | – 1\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 2& 1& 0 \end{array} \right |

hitung lagi determinan untuk matriks 3×3 nya

= 2[ambil i = 1 dan j = 1, 2, 3] – 1[ambil i = 1, 2, 3 dan j = 3] {untuk matriks ketiga dan keempat tidak perlu dihitung karena koefesiennya 0, sehingga apabila dikali, hasilnya akan tetap = 0}

= 2[a11C11 + a12C12 + a13C13] – 1[a13C13 + a23C23 + a33C33] + 0 – 0

= 2[a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13] –  1[a13(-1)1+3M13 + a23(-1)2+3M23 + a33(-1)3+3M33]

= 2[a11M11 – a12M12 + a13M13] – 1[a13M13 + a23M23 + a33M33]

= 2(0\left | \begin{array}{rr} 1& 0\\ 2& 3 \end{array} \right | – 1\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 1& 3 \end{array} \right | + 1\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right |) – 1(1\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 2 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 1 \end{array} \right |)

= 2(0[1(3)-2(0)] – 1[2(3)-1(0)] + 1[2(2)-1(1)]) – 1(1[2(2)-1(1)] – 0[1(2)-1(3)] + 3[1(1)-2(3)])

= 2(0 – 6 + 3) – 1(3 – 0 + 3(-5))

= -6 + 12

= 6

 

Sumber : Anton, H., 1992, Aljabar Linier Elementer, Erlangga, Jakarta.

About these ads

37 comments on “Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor

  1. Untuk matriks 4×4 kan udah dapet jadi ke matriks 3×3, yang ada koef 0 ada 2.
    Kan yg pertama koef 2 dan koef -1. Itu dapetinya determinan pake ” aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi” bisa gak yah? soalnya dapet determinanya malah beda. Mungkin bisa di jabarkan

  2. kalo determinan matriks ini ngerti gk gan
    2000 1999 1998 1997 … 1
    1999 2000 1999 1998 … 2
    1998 1999 2000 1999 … 3
    1997 1998 1999 2000 … 4
    … … … … … …
    1 2 3 4 … 2000

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s